图的ISDD指数的界

程 宇，邵燕灵

(中北大学 理学院，山西 太原 030051)

0 引 言

本文所考虑的图均为简单无向图.设图G=(V(G),E(G))为n阶m条边的无向图，其顶点集为V(G)={v1,v2,…,vn}，边集为E(G)，且|E(G)|=m.di为顶点vi的度，i=1,2,…,n.图G的最大度记为Δ,最小度记为δ.

图G的反对称分割指数[7](ISDD指数)是由Ghorbani等在2021年提出的一个新分子拓扑指数，其被定义为

文献[7]给出ISDD(G)和SDD(G)的一些上、下界，并给出ISDD(G)和SDD(G)之间的不等式关系，还证明了在顶点数为n的树中，星图的ISDD(G)值最小，路图的ISDD(G)值最大.

本文还用到了其他拓扑指数，包含遗忘指数[8]

第二萨格勒布指数[9]

第一萨格勒布指数[11]

本文利用一些已知的不等式给出了ISDD(G)的一些上、下界，得出了ISDD(G)和SDD(G)之间的关系，并证明了在一定条件下ISDD(G)和SDD(G)是线性相关的.

1 预备知识

引理 1[12]设x1,x2…xn为正实数，则

当且仅当x1=x2=…=xn时，等式成立.

引理 2[13](柯西-施瓦兹不等式) 设ai,bi∈R，1≤i≤n，则

当且仅当对于任意的1≤i,j≤n，aibj=ajbi时，等式成立.

引理 3[14]设ak,bk≥0，且0<ωbk≤ak≤Ωbk，1≤k≤m，则

当且仅当ω=Ω和ak=ωbk时，等式成立.

引理 4[15]设0

2 ISDD(G)指数的界

根据已知的不等式得出了ISDD(G)指数的一些上、下界.

定理 1设G是边数为m，最大度为Δ，最小度为δ的图，则

(1)

当且仅当G为二部半正则图或正则图时，式(1) 左边等号成立，当且仅当G为正则图时，式(1) 右边等号成立.

(2)

当且仅当di=δ,dj=Δ时，式(2)左边等号成立，当且仅当di=dj时，式(2)右边等号成立.故

当且仅当G为二部半正则图或正则图时，左边等号成立，当且仅当G为正则图时右边等号成立.证毕.

定理 2设G是边数为m，最大度为Δ，最小度为δ的图，则

(3)

当且仅当G为正则图时，式(3)等号成立.

证明根据引理1可得

故

当式(3)等号成立时，对于任意一条边vivj∈E(G),didj=δ2，di=dj，即di=dj=δ，所以，G为正则图.

反之，当G为正则图时，

证毕.

定理3设G是边数为m，最大度为Δ，最小度为δ的图，则

(4)

当且仅当G为正则图时，式(4)等号成立.

证明根据引理1可得

故

反之，当G为正则图时，

证毕.

定理 4设G是边数为m，最大度为Δ，最小度为δ的图，则

(5)

当且仅当G为正则图时，式(5)等号成立.

证明注意到

因为

(6)

故

同理，能得出

反之，当G为正则图时，

证毕.

定理 5设G是边数为m，最大度为Δ，最小度为δ的图，则

(7)

当且仅当G为正则图时，式(7)等号成立.

证明根据引理2可得

又由式(6)可得

反之，当G为正则图时，

证毕.

定理 6设G是一个边数为m，最大度为Δ，最小度为δ的图，则

(8)

当且仅当G为正则图时，式(8)等号成立.

证明假设

根据式(2)可得

因为

可得

根据引理3等式成立的条件，可得

易得di=Δ=δ，所以，G为正则图.

反之，当G为正则图时，

另一方面,

所以

(9)

反之，当G为正则图时，

证毕.

3 ISDD(G)和SDD(G)之间的联系

给出ISDD(G)和SDD(G)之间的不等式关系，并证明了在一定情况下，ISDD(G)指数和SDD(G)指数是线性相关的.

引理 5设f和k为任意正实数，则

证明因(f-k)2≥0，故

f2-2kf+k2≥0,f2+k2≥2kf,

证毕.

ISDD(G)+k2SDD(G)≥2km.

故

ISDD(G)+k2SDD(G)≥2km.

证毕.

定理 8设G是一个边数为m，最大度为Δ，最小度为δ的图，则

(10)

当G为正则图时，式(10)等号成立.

证明记

0

代入引理4可得

因此

当G为正则图时，有

ISDD(G)·SDD(G).

证毕.

故

αSDD(G).

证毕.