数学建模视角下对2022年高考卷剖析

潘冬丽

(广东省肇庆市第一中学 526020)

数学建模作为核心素养的一项关键部分，在处理分析实际问题时往往可以做到事半功倍.如果能把问题进行模型化，数据就可以可视化，图形就可以立体化.本文以2022年高考题为例剖析数学建模本质，进而有效培养学生的建模思维.

1 建立模型构造

高中数学建模构建的核心就是几何与代数有机融合.突破数学代数结构特征与几何知识相关，能够从数学问题挖掘、构建几何模型去解决.

图1

A.1.0×109m3B. 1.2×109m3

C. 1.4×109m3D. 1.6×109m3

解析依题意可知棱台的高为MN=157.5-148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V．

棱台上底面积S=140.0km2=140×106m2，下底面积S′=180.0km2=180×106m2，

≈(96+18×2.65)×107

=1.437×109

≈1.4×109(m3)．

例2(2022年全国高考甲卷理科第7题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则( ).

A.AB=2AD

B.AB与平面AB1C1D所成的角为30°

C.AC=CB1

D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45°

图2

故选D．

例3 (2022年新高考Ⅰ卷第14题)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程____．

图3

当切线为m时，设直线方程为kx+y+p=0，其中p>0，k<0，

当切线为n时，易知切线方程为x=-1，

2 突破建模情景

常规问题很难解决时，我们通过构建数学模型，调整思维角度，敢于构想新的问题意境，往往柳暗花明又一村.

例4 (2022年新高考Ⅱ卷第12题)若x，y满足x2+y2-xy=1，则( ).

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

由x2+y2-xy=1可变形为

解得-2≤x+y≤2.

当且仅当x=y=-1时，x+y=-2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；

由x2+y2-xy=1可变形为

解得x2+y2≤2.

当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确；

因为x2+y2-xy=1变形可得

但是x2+y2≥1不成立，所以D错误．

故选BC．

A.a

C.c

当x∈(-1,0)时，f′(x)>0，

当x∈(0,+∞)时，f′(x)<0，

所以函数f(x)=ln(1+x)-x在(0,+∞)单调递减，在(-1,0)上单调递增.

故a

设g(x)=xex+ln(1-x)(0

令h(x)=ex(x2-1)+1，

h′(x)=ex(x2+2x-1)，

又h(0)=0，

所以g(0.1)>g(0)=0.

即0.1e0.1>-ln0.9，所以a>c

故选C.

例6(2022年全国高考甲卷理科第16题)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1

解析由题知f′(x)=2lna·ax-2ex.

因为x1,x2分别是函数f(x)=2ax-ex2的极小值点和极大值点，所以函数f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增.所以当x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)时，f′(x)<0，当x∈(x1,x2)时，f′(x)>0.

若a>1时，当x<0时，2lna·ax>0,2ex<0，则此时f′(x)>0，与前面矛盾.

故a>1不符合题意.

若0

因为0

又因为lna<0,所以y=lna·ax的图象由指数函数y=ax向下关于x轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的|lna|倍得到，如图4所示.

图4

设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(x0,lna·ax0)，则切线的斜率为g′(x0)=ln2a·ax0.

故切线方程为y-lna·ax0=ln2a·ax0(x-x0).

则有-lna·ax0=-x0ln2a·ax0.

例4、例5、例6分别通过构建一种数学函数模型的形式，把复杂问题简单化，重点考查学生的数学建模能力.

3 回归数学模型还原

数学模式讲究数学问题的属性迁移，在数学模型维度解决，回归到认知的问题.

图5 图6

A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9

解析取OD1=DC1=CB1=BA1=1，则CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3.

故k3=0.9，故选D.

例8(2022年北京高考卷第9题)已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T={(Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为( ).

图7

因为PQ=5，故OQ=1.

故S的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆.

而△ABC内切圆的圆心为O，半径为

故S的轨迹圆在△ABC内部，故其面积为π.

故选B.

A. [-5,3] B. [-3,5]

C. [-6,4] D. [-4,6]

解析依题意如图8建立平面直角坐标系，则C(0,0)，A(3,0)，B(0,4).

图8

因为PC=1，所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上运动.

设P(cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π]，

=cos2θ-3cosθ-4sinθ+sin2θ

=1-3cosθ-4sinθ

因为-1≤sin(θ+φ)≤1，

所以-4≤1-5sin(θ+φ)≤6.

例7、例8、例9分别通过把数学复杂问题回归数学模型，体现出高考命题注重应用性，增强试题灵活性，减少死记硬背和机械刷题，突出数学建模优势.

从以上2022年高考题得到数学建模本质，需要广泛知识面、高度开放性和灵活性，核心在于利用所学知识分析问题和解决数学问题的能力，进一步培养学生的数学建模能力.