2022年数学新高考Ⅰ卷第16题探究

蔡海涛

(福建省教育学院数学研修部 350025)

直线与圆锥位置关系中的弦长问题是解析几何的一种重要类型，由于这类问题常常涉及较为繁杂的计算，较多出现在高考的解答题中，2022年新高考Ⅰ卷在客观题出现(第16题)，让笔者眼前一亮，下面谈谈对该试题的探究，以期抛砖引玉.

1 题目呈现

本题以椭圆为载体，考查了椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、椭圆的定义以及椭圆中的弦长等基础知识；考查了空间想象、运算求解等能力；考查函数与方程、数形结合、化归与转化等思想；考查直观想象、数学运算等核心素养；体现基础性、综合性.

2 解法分析

因为△AF1F2为正三角形，

由等腰三角形性质，得

|AE|=|EF2|，|AD|=|DF2|.

则△ADE的周长等于|DE|+|DF2|+|EF2|=4a.

与椭圆方程联立,得13x2+8cx-32c2=0.

所以△ADE的周长是13.

则△AF1F2为正三角形，∠AF2O=60°.

显然直线DE是线段AF2的垂直平分线.

所以∠DF1O=30°.

故|DE|=|DF1|+|EF1|

评析本题的难点是求弦DE的长度，发现|DE|=|DF1|+|EF1|，利用圆锥曲线的极坐标方程使得解法优化，其余解题思路同解法1.

3 变式拓展

设过右焦点F的直线为y=x-c，

故矩形MNPQ面积最大值为4.

变式2已知ABCD的四个顶点均在双曲线上，点P(0,1)在边AB上，且则ABCD的面积等于____.

解析由平行四边形的对称性与双曲线的对称性，知点O为平行四边形的中心，A，B，C，D四点在两支双曲线上各有两点，不妨设点A，D在左支上，点B，C在右支上，如图1，考虑点A，B关于双曲线中心的对称点A′,B′，因为单支双曲线上不存在四点构成平行四边形，知A′=C,B′=D，所以ABCD的对称中心为O.

图1

将点A，B的坐标代入双曲线方程，得

因为抛物线的焦点F到准线的距离为2，

则抛物线方程为y2=4x(p>0)，焦点F(1,0).

设直线AB方程为x=my+1，

与抛物线方程联立,得y2-4my-4=0.

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，不妨假设点A在x轴上方，点B在x轴下方.

则y1+y2=4m，y1y2=-4.

设点M到直线AB的距离为d，则