聚焦“一致性” 落实新课标——《分数加减法》单元整体教学实践

■ 葛丽霞

4月21日，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》 （后简称新课标）。本次课标修订强调素养导向，不仅优化了课程设置，完善了课程内容结构，还强化了学业质量指导，加强了学段衔接，细化了实施要求。其中，新修订的《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域强调：要让学生感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算的一致性，形成运算能力和初步的推理意识。在实际教学中如何实现数运算的一致性，有效落实新课标理念呢？本文以《分数加减法》大单元为例，谈谈在具体实践中的一些尝试。

一、缘起：基于真实学情的问题分析

在新旧课标的对比研读中，我们不难发现，“数运算的一致性”是2022版数学课程标准的一个重要理念，也是一个全新的提法。数学新课标修订组组长史宁中教授在新课标的解读中曾指出：“当前的教材和教学中关于数的运算，加减乘除有各自的算理，整数、分数、小数运算有各自的算法，使得这些知识似乎是支离破碎、缺乏内在一致性。”为了改变这一现状，新课标提出了数的运算的一致性理念。其实，从算法的角度而言，数的运算都可以还原成计数单位与计数单位运算，计数单位上的数字与计数单位上的数字的运算。也就是说，整数、分数、小数运算的算理应该落实到计数单位的个数上来，这样，小学阶段所有的数运算的算理、算法就一致起来了。教学中也确实存在史宁中教授所说的问题，比如在学习《异分母分数加减法》之前，我们进行的一次学情调研就反映出，学生对分数的加减法算理的理解并没有和整数、小数进行贯通。我们的调研题目如下：

前测题1.请你先算出结果，然后在下面写一写你这样计算的道理。

调研结果：

第二题：结果的正确率为58.5%，没有学生能从分数单位的角度来讲清道理。其中，错误的做法主要有两种。

一种是将分母相加，分子不变。

我认为，这样算的道理是分子一样加分母2+4=6，所以就是

另一种是分子和分子相加，分母和分母相加。

因为分母不相同，所以要相加，分子的不相同也要相加，所以是

结果分析：从前测来看，对于同分母分数加减法，学生只是记住了计算法则，虽然题能做对，但对算理的掌握是很不清晰的。而第二题中，学生的第一种错误，把异分母分数加减法中的分母相加，分子不变，显然是由于同分母分数加减法的负迁移。因为同分母的加减法的法则是分母不变，分子相加，所以学生就会想到相同的不变，不同的相加。而第二种出现了分子和分子相加、分母和分母相加的情况，我们又对此进行了进一步的访谈，他们的想法是整数加法时个位和个位加，十位和十位加，所以分数加法就是分子和分子相加，分母和分母相加。

调研结果证明，多数学生不明白整数加减法个位和个位相加。十位和十位相加，其实是相同的计数单位才能相加，而分数的计数单位又恰恰有些特殊，分数的分母决定了分数的计数单位，所以相加只能是相同的分母才能相加。

究其原因可知：我们之前的教学只是盯着一个知识点或一个课时，着眼点太小，教学散点化、浅表化、知识碎片化，所以学生不但不能有效迁移整数、小数的算理，反而还出现了负迁移。而大概念统领的大单元教学，具有大视角、统摄性，注重知识的关联性、结构化、培养高阶思维等特点，正好可以解决当前我们面临的这一问题。

新课标也指出：在小学“数与代数”领域，要让学生感悟数的概念的一致性，体会数的运算的一致性。教学中，要沟通数的概念与数的运算之间的关联。于是，我们基于数的运算的一致性理念，把《分数加减法》作为一个主题大单元进行研究，借助大概念统领下的单元整体教学帮助学生更好地实现算理贯通、算法统整。

二、设计：基于数运算一致性大概念统领的单元教学构思

（一）准确把握和凝练单元大概念

综合不同学者的观点，结合我区教学实践，我区小学数学教学团队前期总结出了以下几种大概念的提取路径：（1）课程标准；（2）思想方法；（3）学科知识本质；（4）概念派生；（5）学习难点；（6）评价标准。《分数加减法》大单元的大概念，我们主要是通过研读课程标准、提炼学科知识本质，最终凝练出来的。

1.研读课程标准，确定关键要素

我们查阅了2022版数学课程标准，在学段目标和内容要求、教学提示中都可以提取出“计数单位”和“数运算的一致性”这样的高频词。我们发现，计数单位在数的认识和数的运算中发挥着重要的作用。东北师范大学马云鹏教授指出：数的认识与数的运算均要以“计数单位”作为核心要素统领。由此，我们把“计数单位”确定为单元大概念的关键要素。

2.寻找知识本源，提炼学科本质

在数的运算主题下《分数加减法》这一单元，如果叩问学科知识本质，我们应当回到“加减的意义”上来。在寻找知识本源，不断向前追溯的过程中，我们会发现：数的运算中“整数加减法”“小数加减法”“分数加减法”虽然形态不同，它们背后的算理是一致的，即“计数单位相同时，可以直接相加减”。分数加减法的本质是实现分数单位的统一。

这样，我们通过研读课程标准，确定关键要素，寻找知识本源，提炼学科本质，最终凝练出本单元的大概念为：分数加减法计算是整数、小数加减法运算的拓展，是相同计数单位的不断累加（或减少）。

（二）确立大概念统摄的学习目标

学习目标可以说是教学和学习的“北斗”。目标的确立主要分为以下几个步骤。

1.对接新课标

我们分别在课程标准中找到本单元相关的内容要求和学业要求。如图1和图2所示：

图1 对接新课标示例1

图2 对接新课标示例2

然后将这些要求按行为条件、行为动词、认知水平、核心概念等先分解再调整合并，具体如表1所示：

表1 新课标要求分解表

通过分析发现，新课标对本单元的要求分为三个层次。第一层次是理解层次，核心概念是公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数、运算的一致性，这些核心概念的习得为分数加减法的学习奠定了知识基础；第二层次是掌握层次，核心概念是分数加减法和分数加减法混合运算。要求学生经历算法探究的过程，理解算理，掌握分数加减法的计算方法，感悟加减运算本质都是相同计数单位个数相加减；第三层次是应用层次，运用分数加减法计算解决实际问题，要求学生能灵活运用分数加减法的知识解决实际问题。

2.教材分析

本单元的学习内容围绕“分数加减法计算是整数、小数加减法运算的拓展，是相同计数单位的不断累加（或减少）”的单元大概念展开，其知识的生长点是：整数小数加减法、分数的意义和基本性质、简单的同分母分数加减法；为五年级将要学习的分数乘法、分数除法、分数四则混合运算与百分数和分数、小数的互化奠定基础。

这一单元的内容作为小学加减运算内容的终结，是在学习了整数加减法、小数加减法的基础上教学的，它承载着贯通整数、小数、分数加减法的内在计算本质的重要作用，如图3。

图3 《分数加减法》单元知识的贯通作用

3.学情分析

学习本单元前，学生已经具备了充分的整数、小数加减法计算的能力，但对知识的关联性感知度比较低。考虑前面已经介绍的实证调研情况，本单元应注重分数加减法与整数、小数加减法运算的勾连，打通算理。教学重点是让学生能整体把握小学阶段加减法的运算本质。

综合以上分析，我们把《分数加减法》主题大单元的目标确定为以下三条：

图4 《分数加减法》主题大单元目标

具体分析：

目标一，体现的思维发展层次为识记、理解层次，注重发展学生的数感和运算能力，培养推理意识，为单元大概念落地奠定知识基础。

目标二，其思维发展层次为理解、应用层次，是单元大概念的推理建构阶段。这一目标也是本单元的核心目标。我们把发展运算能力和推理意识确定为本单元最主要落实的核心素养，需要学生体会和运用转化思想、数形结合思想。

目标三，思维发展层次为应用、分析层次，学生分数加减运算方面的运算能力和推理意识都已经建立，凭借已有的迁移能力，可以进一步分析并应用于问题解决，是单元大概念的迁移运用。

这样的单元目标体现了知识体系由低到高、由浅入深的发展脉络，能够促使学生思维发展由识记到感受再到运用，单元大概念也从初步形成到推理建构最后达到迁移运用。最终把大概念作为目标的内核，有效促进运算能力和推理意识双发展的核心素养形成。

（三）基于目标层级划分学习专题，促进学生思维进阶

大概念要想转化为学生的实际所得，需要理清知识脉络，整体架构和开发学习专题，促进学生思维进阶。

1.划分学习专题

根据新课标的要求，我们对接现行青岛版教材中的教学内容发现，青岛版教材将分数加减法编排为两个自然单元，分数加减法（一）教学最大公因数、同分母分数加减法、加减混合运算、最小公倍数和分数与小数的互化。分数加减法（二）重点教学通分、异分母分数加减法和分数加减混合运算。知识点多且杂，于是，我们从整体架构的层面进行规划。根据知识的相关联性和学生学习的进阶性，将原来课本的两个自然单元，划分为三个学习专题（如图所示）。

图5 单元大概念的深度建构

2.构建进阶式学习进程

本单元学生的学习起点是整数、小数的加减法运算以及分数的意义和性质。我们从这一起点出发，三个专题的学习呈进阶发展。在专题一的学习中，通过学习公因数和公倍数为寻找相同的计数单位做好了铺垫，其进阶层级为理解层次。专题二是学生建构大概念、打通算理的重要阶段，学生在解决问题的过程中会领悟到分数的加减和整数小数的加减一样，都是相同计数单位的加减，其进阶层级为掌握层次。而专题三则是基于对大概念的理解与掌握的基础上的迁移运用。学生的整个学习进程是一个层层推进的过程，在逻辑上紧密联系。在本单元活动的整体架构中，运算能力和推理意识贯穿单元进程的始终，能有效提升学生的数学核心素养。

图6 《分数加减法》单元进阶结构图

三、洞见：基于数运算一致性大概念统领的单元教学实践

（一）以核心专题二为例，说明如何把大概念作为理解的锚点，让其在每一节课中生根、生长

本单元学生产生的学习困惑，最主要集中在专题二的学习内容中，其症结在于学生不能有效迁移整数、小数加减运算的算理。由此可知，唤醒学生对整数小数运算算理的深度感知是我们要给学生补上的重要一课。基于以上认识，我们对专题二精心设计，通过专题开启课、专题建构课以及专题反思课的主题式学习让大概念有效落地。

图7 专题设计

1.专题开启课

通过漫谈加减法的学习活动，在这一专题中对大概念进行初步感知，学生在梳理、归纳完成思维导图后进行全班交流。明确加减法运算的两个关键要素就是“计数单位”“单位个数”。为大概念的落地做好铺垫，也为整个专题二的学习打好基础。

2.专题建构课

由同分母分数加减法、通分和异分母分数加减法三节紧密关联的课组成。（1）同分母分数加减法通过计算、说理、总结的方式，重点让学生体会“分数单位的累加或减少”。（2）通分是借助分数的大小比较，帮助学生理解分数单位之间的关系，在画图、比较、说理中让学生明确“通分的本质就是寻找两个分数的相同计数(分数)单位”。（3）异分母分数加减法，完成的是大概念的深度构建。学生在课堂中自主探究、合作交流，在多次对比、辨析中打通了算理，体会加减法计算的本质。

3.专题小反思课

这一课主要是通过借助阅读绘本故事《猫鼠大战抢奶酪》中的部分情节，对本专题学过的知识在读与思的过程中进行复盘，在反思分享中进一步体会数运算的一致性。有了这样整体的设计，核心概念贯穿始终，学生对大概念的认知经历了从积累经验到探索推理再到反思分享的过程。在教与学的“起”“承”“转”“合”中层层深入地对大概念进行持续构建，教师的教和学生的学也自然地发生着变化。

（二）以专题二中的关键课例《异分母分数加减法》一课，说明如何在课堂教学中贯通运算本质，打通算理，理解算法

1.从割裂到关联，彰显核心问题的逻辑之链

理解的本质就是建立联系。落实核心素养的培养，问题链的设计是个很好的抓手。教师可以借助问题链进行有效的课堂提问，基于大单元视角构建以核心素养为导向的课堂教学。在《异分母分数加减法》一课的教学中，老师在重视学生自主探究、合作学习的基础上，通过问题的逻辑之链深入引导，将学生的思维一步步引向更深处，进而打破算理和算法的鸿沟。如，在学生呈现出不同的方法后，教师引导学生聚焦画图法和通分法，让学生思考它们有什么共同的特点。在学生找到共性之后，又引导学生思考变成小数的方法，让学生从计数单位的角度来思考，转化小数的方法又和画图法、通分法之间寻找相同之处，在整个探究活动中，教师通过关键问题一次次促进学生深度思考。

2.从散点到结构，突显单元的整体之意

在基于大概念统领的大单元学习中，学生的学习体验一定是从“一”到“多”、从“多”到“类”的不断提升的过程。《异分母分数加减法》一课的课前，教师可以设计让学生结构化整理整数、小数、同分母分数的计算方法的学习任务。课中在学生总结出异分母分数加减法的计算方法后，教师又将之前学过的整数加减法、小数加减法、同分母分数加减法的计算方法呈现出来，深入分析每一种算法背后的道理。学生在相互启发和碰撞中总结出整数加减法、小数加减法、分数加减法在算理上的一致性，即都是相同计数单位个数的相加减。教师有意识地引导学生逐步把分数加减运算融入整个数的体系中，利用迁移学会联系地思考问题，举一反三，触类旁通，实现深度学习，促进思维可持续发展。这样，教师有结构地教，瞻前顾后，有效串联知识与方法；学生也就能有关联地学，联结新知、旧知，从散点到结构不断完善认知体系。

图8 打通算理

3.从结论到学习，凸显专家思维的培养之韵

新课标强调学生是形成中的专家，要像学科专家一样探究和学习。要想让学生具有“专家思维”，就不能死记结论。因为结论的可迁移性是非常弱的，比如异分母分数加减法要先通分，再按同分母分数加减法进行计算，这只是个结论。我们要引导学生不仅学习结论，还站在专家的角度思考为什么会有这样的结论。要通过结论来形成“专家思维”，引导学生思考为什么要通分，通分的目的是为了让计数单位变成一样的，分数单位相同才可以相加减……有了这样的思考，学生就会慢慢构成大概念的网络，学生头脑中的数学抽象、数学建模等素养就能逐渐形成，也就慢慢会形成“专家思维”。就像大概念专家刘徽教授所说：“如果我们的课堂只是教了结论，那么从学校教育通往现实世界、从现在通往未来的这座桥梁是断裂的，结论基本只能在学校内部流转。而如果建构了‘专家思维’，那么就在学校教育和现实世界、现在和未来之间搭建了一座牢固的桥梁，专家思维是可以从学校教育迁移到现实世界的。”

审视我们现在的课堂，我们正在实现着由教学散点化转变为由大概念统摄，由学习浅表化转变为思维不断进阶发展，由知识碎片化转变为有结构相关联，最终达到从教知识技能转变为落实学科核心素养。数运算一致性大概念统领的单元整体教学，让我们的学生学会了有逻辑地思考、有系统地推理，有依据地表达。

数运算一致性理念下大概念统领的单元整体教学，让数学学习由原来“宽而浅”的学习变为大概念教学追求的“少而精”的学习。也正如《人是如何学习的》一书中所说：实现“用少量主题的深度覆盖去替换学科领域中对所有主题表面的覆盖，这些少量主题使得学科中的概念得以理解”。