促进学生理解的“生长式问题串”设计策略
——以“二次函数背景下的最值问题”专题复习课为例
2022-09-19彭文斌
彭文斌
(四川省成都七中八一学校 610036)
苏联著名教育家赞可夫曾说：“教会学生思考，这对学生来说，是一生中最有价值的本钱．”数学教学的本质是教学生学会思考，其核心是发展学生的思维能力，数学课堂要致力于让学生思维真正发生．要到达这样的目的，教师在教学中要设计富有情境的、有思考价值的问题，在层层递进的生长式问题串驱动下，引领学生开展深度学习与深度思考，在这样的状态下获得的知识是自然生长的、是终身的．
因此，在数学课堂中，教师要善于构建具有生长样态的问题串，让学生体验数学发展的历程，把握数学知识的本源，感受数学独特的思维方式，在知识形成和解决问题的过程中，促进理解、融会贯通、灵活迁移，从而获得智慧、提升数学素养．下面以“二次函数背景下的最值问题”专题复习课的教学设计为例，谈谈引领学生思维生长、促进学生理解的生长式问题串的设计策略．
1 确立核心问题，找准问题起点
“二次函数背景下的最值问题”这节专题复习课的核心问题是在二次函数背景下，动点引发的有关线段或面积最值问题的探究．在核心问题大背景下，努力找到探寻的起点，让学生比较容易入手．故此，设置本节课第一个基础的起点问题：
问题1
抛物线y
=-x
-2x
+3位于x
轴上方的图象上有一动点P
，点P
距离x
轴最远时点P
的位置在哪里？
图1
这样的问题让学生很容易入手，发现距离x
轴最远的点是抛物线的顶点(图1)．问题1起点低，符合学生的已有知识基础，这个问题成了后续所有问题的起点，我们就可以设置该问题的一系列变式问题．2 明确生长点位，构建关联变式
英国科学哲学家波普尔也曾说过：“科学和知识的增长永远始于问题，终于问题——越来越深化的问题，越来越能启发新问题的问题．”在问题1的启发下我们寻找关联性极强的变式问题，探寻起点问题下的问题生长．因此，设计第二个引发深度思考的问题：
图2
问题2
已知抛物线y
=-x
-2x
+3与x
轴交于点A
,C
，与y
轴交于点B
，点D
(0,1)，点P
是位于第二象限抛物线上的动点，过点P
作PH
⊥x
轴交线段CD
于H
，当PH
取得最大值时，点P
还是抛物线的顶点吗(图2)？问题2与问题1关联性极强，直线CD
可以看作是将x
轴绕着点C
旋转得到，但却不能直接回答使得PH
最大时点P
是否还是抛物线顶点．从而引发学生深度思考与深入探究．问题2可以看作是由问题1生长出来的新问题，其解决方法和策略需要学生更加理性地思考，严格论证．在师生的合作交流中得到问题的解决：设点P
(m
,-m
-2m
+3)，易求得CD
的表达式为故点H
的坐标为故当时，PH
取得最大值．通过严格论证，学生发现当PH
取得最大值时，点P
并不是抛物线顶点．这种构建函数模型求线段最值的方法，让学生进一步理解了问题2与问题1的关系——其核心都是求函数的最值．进一步思考，问题2并不是求抛物线上动点P
到直线CD
距离的最大值，从而继续生长出了下面的问题：问题3
已知抛物线y
=-x
-2x
+3与x
轴交于点A
,C
，与y
轴交于点B
，点D
(0,1)，P
是第二象限抛物线上的动点，当点P
距离直线CD
最远时，求点P
坐标(图3)．
图3
问题3的提出是问题2的进一步探究，但学生想再直接建立点P
到CD
的距离PG
的函数模型就更加困难了.
解决这个问题让学生进入深度思考，继而想到平移直线CD
与抛物线相切于第二象限，切点即为点P
的位置．这一数形结合的方法自然而然地产生了．求切线和切点的方法背后的数形结合思想与方程思想可以让学生彻底领悟数学之美．对于这些方法的普适性更应在教学中去渗透．问题3还可以如何生长？其实解答完问题3之后学生就会发现，问题3和问题2中的点P
是同一点．由此生长出下一个问题：问题4
问题3中点P
的位置与问题2中点P
的位置是否相同？为什么？
图4
问题4的提出让学生寻求前两个问题的关联，从而对问题有更深入的认识：PG
=PH
cos∠HPG
(∠HPG
为定角，等于∠DCO
)，将求PG
的最大值转化为求PH
的最大值(图4)．由此让学生体悟数学的转化思想，感悟数学的统一美．3 遵循自然有道，把握生长方向
“最近发展区”理论告诉我们，学生认知的最大特性是“生长性”.
如何让学生在问题情境中自然而有力地获得知识的生长，得到思维提升，享受数学学习的乐趣，体验数学特有的魅力，激发自由创造的潜能，滋养数学内在的理性精神，需要教师的精铺巧设与智慧引领．在完成了问题2～4的探究之后，问题还有哪些值得挖掘、变式的地方应该往哪个方向去研究，需要教师精心设计问题变式．可考虑往三角形面积最值方面去变式，设计中提供以下三个问题，为后续研究提供参考：
问题5
已知抛物线y
=-x
-2x
+3与x
轴交于点A
,C
，与y
轴交于点B
，点D
(0,1)，P
是第二象限抛物线上的动点，PG
⊥CD
，PH
⊥x
轴，当PG
与PH
取得最大时，△PHG
的周长是否最大？此时△PHG
的面积是否最大(图4)？
图5
问题6
已知抛物线y
= -x
-2x
+3与x
轴交于点A
,C
，与y
轴交于点B
，点D
(0,1)，P
是第二象限抛物线上的动点，求△PCD
面积的最大值，并求此时点P
的坐标(图5)．问题7
△PCD
面积取得最大值时，与问题2、问题3有没有本质的区别？问题5是问题4的延续，关联性强，探究显得自然流畅；问题6是问题5的进一步变式，将线段最值问题变式为与动点相关的三角形面积最值问题．前面问题的铺垫，让问题5～6的探究迎刃而解，一切的探究活动的开展都显得自然有道．对其中的方法、思想、内涵，学生在回答完问题7后得到了认识上的升华，大大促进了学生对数学思想方法的理解和对问题本质的认识．
4 构建阶梯变式，引领深度学习
问题情境设计注重层次性、递进性、阶梯性等基本原则，这同样符合最近发展区理论．教师始终有意识地挖掘学生的认知需要与已有水平之间的矛盾，不断地培养和激发学生的求知欲望，让其始终处于“愤悱”状态中．在探究完前七个关联性很强的问题之后，课堂探究活动应该步入深层次学习．因此，考虑设计具有一定挑战性的问题：
图6
问题8
已知抛物线y
= -x
-2x
+3与x
轴交于点A
,C
，与y
轴交于点B
，点D
(0,1)，P
是第二象限抛物线上的动点，OP
与线段CD
相交于点E
，求的最大值(图6)．问题8变为了求的最大值，需要利用相似转化，具有一定挑战性．师生充分交流，得出解决方案：过点P
作PH
⊥x
轴交CD
于H
，易知△PEH
∽△OED
，故又因为OD
=1，所以求的最大值即为求PH
的最大值，于是问题转化为问题2．从问题1至问题8，始终遵循了问题变式的层次性和阶梯性，遵循了问题发生的内在关联，符合学生已有认知能力，满足了学生求知的需求，引领着学生逐步进入深度思考、深度学习．在问题8探究结束后，设置了一个与此节课相关性极强的问题9(2020年成都中考试题)：
图7
问题9
如图7，在平面直角坐标系中，已知抛物线y
=ax
+bx
+c
与x
轴交于A
(-1,0),B
(4,0)两点，与y
轴交于点C
(0,-2)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D
为第四象限抛物线上的一点，连结AD
,BC
交于点E
，连结BD
，记△BDE
的面积为S
，△ABE
的面积为S
，求的最大值．问题9是本节课所学方法的应用，更是对内容理解的升华．这一成都中考题的解答，让学生感知复杂题目的产生就是立足于基本方法、基本技巧．将面积之比的最大值问题转化为的最大值问题，从而回到了与问题8类似的问题．通过对问题9的交流分享，及时反馈学生对本节课知识方法的理解与掌握，学生真正进入了深度学习．随着一个个生长性问题的提出和解决，在探究过程中学生思维得到了培养，能力得到了提升．课堂最后可以试着让学生提出一个二次函数背景下的最值问题，并尝试解答．
美国教育心理学家加涅曾指出“教学设计必须以帮助学习过程而不是教学过程为目的．”让“生成式问题串”引领、驱动课堂教学，只是教师优化教学设计的一种重要方式和途径．在建构主义理论指引下，在生成性视野中，教学的过程是研究、倾听、对话的过程．因此，在重视问题串设计的同时还要让课堂教学实施走向民主化、开放化，重视对学生学习的关注、对过程的关注，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力．
