结合分裂Bregman的压缩感知电磁地图重构算法

林栋明， 王红军

(国防科技大学电子对抗学院，合肥，230037)

近年来，电磁地图作为一种较为新颖的电磁频谱管理和决策手段而倍受关注，其涵盖了多种电磁信号辐射源，如雷达、无线电等，可有效反映区域电磁信号的时域、频域和空域特征[1-2]，支撑军民领域对电磁态势掌控的需求。

目前，该领域的研究主要是针对电磁地图中的无线电环境地图[3]，而要实现区域无线电环境地图的构建，首先要获得区域内各个地理位置对应的无线电信息，尤其是每个位置的接收信号强度。随着无人化、小型化技术的发展，利用分布式感知网络实现电磁数据的获取成为目前的首选方式[4]。但是分布式感知网络并不能完全覆盖目标区域，这就导致获得的数据只能是部分的或残缺的。所以，有必要研究如何利用残缺的电磁感知数据重构出目标区域整体电磁态势的技术。

经典的克里金插值法(Kriging)[5]、反距离加权插值法(inverse distance weighting，IDW)[6]等诸多插值方法均被引入用于电磁地图的重构。文献[6]改进了优化型Shepard算法(modified Shepard’s method，MSM)。该算法将一个相对值设定成权值，并且在处理数据时利用采样点拟合一个特定形式的节点方程，并结合近邻搜索，然后将节点方程的值应用于插值点的估计，从而提高了采样点局部特征的利用率。虽然仿真结果显示该改进算法的平均绝对误差比经典的反距离加权插值法和优化型Shepard算法要低，但是，实验样本太少，存在局部最优的问题，适用场景小于反距离加权插值法。文献[7]着眼于传感器在无线电环境地图构建上的战术运用，通过不同的插值方法分析了传感器数目对地图构造质量的影响。实验结果中，克里金插值法的结果较为平滑，其作用效果优于反距离加权插值法和最近邻法(nearest neighbor，NN)，实验结果证明传感器数量是除传感器部署方式、密度、间距、插值方法以及传播环境外，可对地图质量造成影响的因素，以及克里金插值法在构建地图上的优势。总的来说，在电磁地图的构建上克里金插值法效果较好，但是其所得结果难以准确体现辐射源所处区域附近的电磁信号分布情况；反距离加权插值法虽然使用场景广泛，但是精度方面有待提高，且需要使用较多的感知节点。此外，插值法中的多项式回归法[8]以及局部多项式法等也可实现电磁地图的重构，其中多项式回归法可更好地拟合非线性数据，但无法避免数据过拟合，而局部多项式法可有效捕捉短程变化，但在邻域距离变化时作用效果难以保证。在分类上，插值法属于直接法。地图的构建方法还包括间接法以及混合法。间接法即通过构建电磁传播模型实现地图重构的方法，文献[9]是利用位置估计实现衰落信道无线电环境地图重构的一个例子，其主旨是利用估计的发射源位置实现每个位置的动态干扰预测。但是该方法的精度依赖于各个损失模型的经验取值，如果信道发生突变，则所得结论准确性并不高，并且该方法需要掌握目标区域内的电磁传播信息，而在非协作情况下，区域电磁环境信息显然难以知晓。混合法则是直接法和间接法的结合，此类方法精度高，但是复杂度高且适用场景受限[10-11]。

在传统信号恢复领域，奈奎斯特采样定理一直被视为经典，直到压缩感知(compressed sensing，CS)的出现[12]。压缩感知使得仅用少量采样数据即可实现原始信号的重建，因此，也有望实现电磁地图的重构。目前，针对压缩感知的研究多数集中于重构算法，这些算法主要分为两类：解决最小l1范数的贪婪型算法[13]以及解决最小l0范数的凸优化类算法[14]。在多数学者的研究下，压缩感知成功地解决了许多问题。如文献[15]将其应用于地震数据的谱反演中。实验证明所提方法复杂度低，且对于高频信号具有较强的重构能力，但是作用效果受原始信号信噪比影响较大，低信噪比下的作用效果不佳。以及文献[16]利用压缩感知减少硬件中的计算量等。无独有偶，Bregman迭代也是解决最小l1范数的有效方法[17]。另外，文献[18]从压缩感知入手，在数据重构时使用Bregman迭代进行数据恢复，并且用分裂Bregman实现噪声去除，形成了双重Bregman迭代的数据重构方法。该方法有效减少了算法的迭代次数并且可保证数据的重构精度，有效实现了地震数据的恢复。

由于电磁地图涵盖的范围十分广阔，本文只研究其中的电磁信号覆盖强度地图的重构(其后内容均称为电磁地图)，利用等磁线绘制电磁地图。等磁线类似于地质学上的等高线，可反映区域内电磁数据的变化情况。考虑到参考信号接收功率(reference signal receiving power，RSRP)在分析电磁信号的覆盖情况时所得的结果比接收信号强度(received signal strength indicator，RSSI)更准确，因此算法研究中采用该参数作为衡量电磁信号强度的标准。

针对现有算法存在的不足，考虑到压缩感知仅通过少量采样信息即可将原始信号恢复出来[19]以及Bregman迭代在精度提升方面的较好效果[20]，论文提出一种新型的结合分裂Bregman的压缩感知电磁地图重构算法，算法研究价值和创新点如下：

1) 提出了滤波式分区正交匹配追踪算法(filtered subdistrict orthogonal matching pursuit，FSOMP)。通过将目标区域划分为若干个小区域，并重构出各小区域的电磁地图，再进行数据融合并利用中值滤波提升数据的精度，有效减少了重构时间；

2)利用分裂Bregman全变分迭代对压缩感知得到的电磁数据进行处理，通过利用电磁数据之间的相关性提升数据精度，结果精度优于多种当前新近的算法。

由此，在非协作和采集数据残缺条件下，实现对目标区域电磁态势的重构。

1 模型构建

结合分裂Bregman的压缩感知电磁地图重构算法实现流程如图1所示。

图1 算法实现流程

算法首先依据电磁数据量将目标区域划分成数个小区域，划分之后每个区域的电磁数据量不超过8 000。电磁数据量的计算依据是电磁分辨率。所谓电磁分辨率是指将目标区域按照一定的长度进行栅格划分(保证该长度同目标区域边长的比值不大于0.01)，并将每个栅格中心处所采集的电磁数据作为所在栅格电磁数据的代表，此时对应的栅格长度即为电磁分辨率。显然，分辨率太大，所得的数据量就会过多，会导致运算量过大；分辨率太小，则所得到的数据就不能很好地表示区域内的电磁分布情况。如1 000 m×1 000 m的区域，电磁分辨率设为20 m，则该区域的电磁数据总量即为2 500。

然后利用感知节点对电磁数据进行采样，再通过改进正交匹配追踪算法对残缺的采样数据进行重构；之后根据该重构出的数据之间的相关性，利用分裂Bregman对数据进行精度提升。依据所得到的精度更高的数据，最终利用等磁线重构出目标区域趋于实际的电磁地图。

1.1 基于压缩感知的OMP算法改进

设存在一维信号x∈RN，其信号分量用xi表示，i∈[1,N]。此时，将该信号映射至一个M×N型的测量矩阵Φ上，可以得到测量值为y=[y1,y2,…,yM]T，这里要求M<

y=Φx

(1)

而在信号重构时，则是通过观测值和测量矩阵反推出信号值。引入稀疏性约束以及信号稀疏化，重构过程就可以用式(2)描述如下：

min ‖θ‖l0s.t.y=Aθ

(2)

式中:A=ΦΨ称作传感矩阵；维度为N×1的θ中仅有少量非零元素；Ψ为N×N型稀疏基矩阵；‖•‖l0为l0范数。

在电磁地图重构中，可将测量矩阵Φ调整为一个对角矩阵K，即将数据限定于一个规则的网格之中，根据已知的网格数据求取未知的网格数据，K满足：

(3)

式中:I为单位矩阵，表示已知电磁数据所在位置；0为零矩阵，表示未知电磁数据所在位置。

那么式(1)的求解即可转化为对式(4)的求解：

y=Kx

(4)

式中：y为含有M个非零数值的N维列向量。

这里，针对正交匹配追踪算法(orthogonal matching pursuit，OMP)进行改进并结合中值滤波提出了滤波式分区正交匹配追踪算法，即FSOMP算法。该算法将目标区域分成数个小面积区域，分别在每个子区域中随机抛洒一定数目的感知节点对其进行采样，之后串行或并行重构出各个小面积区域的电磁数据，然后将数据进行融合得到目标区域的整体电磁数据，最后利用一维中值滤波器对其进行滤波处理。

FSOMP可有效避免数据量过多造成OMP算法运行出现奇异值导致精度下降的问题，同时大大减少了算法的运行时间。

算法的流程如下：

输入参数：子区域传感矩阵A，采样数据y，迭代次数ε，原始算法为稀疏度，这里设为子区域电磁数据维度的均方根，转换成列向量形式的K。

1.2 基于分裂Bregman的全变量迭代

FSOMP得到的结果不够精确，需要利用分裂Bregman进行精度提升，该处理可从不够精确的重构数据中有效提取电磁数据间的相关关系，从而提高数据的精度。

分裂Bregman在求解正则问题上具有较好的效果，当用于求解全变量问题时，以各向异性为例[21-22]，要求解如下问题：

(5)

(6)

利用Bregman迭代可得下式，

(7)

为了解决以上问题，引入常规分裂Bregman，此时需解决下列问题：

(8)

为了提高解决效率，为其引入高斯-赛德尔迭代(Gauss-Seidel)，即：

(9)

因此，基于分裂Bregman的各向异性全变量去噪的算法可以概述如下：

第2阶段，迭代求值。当预测值和上一预测值之间差的l2范数小于阈值时，算法进行如下迭代：

(10)

式中：shrink(τ,ϑ)=(τ/|τ|)max (|τ|-ϑ,0)。

第3阶段，全变量迭代完成，输出最终的重构电磁数据，然后利用该数据通过等磁线绘制出相应的电磁地图。

2 实验仿真与性能分析

2.1 评价指标选取

电磁地图重构算法的评价指标较多，其中关键性指标有以下4种。

1) 均方根误差(root mean square error，RMSE)

RMSE可有效衡量每个重构值和原始值的平均偏离程度，且能够定量地表示所得重建数据的精度。计算式为：

(11)

2) 决定系数R2

决定系数R2可有效反映数据预测重建结果和真实值之间的接近程度，该系数越大，则预测结果的分布越接近真实数据的分布，即所得地图的无线电覆盖情况和真实情况的一致程度越高，其计算过程见式(12):

(12)

3) 电磁地图重构质量

重构的电磁地图必须以较高的质量表征出目标区域内的相关无线电信息，否则便无法为人类的实践活动提供支撑，可以从有无牛眼现象、等磁线形态、异常值分布等方面进行判断，所谓等磁线即类似于地理学上的等高线，表示区域电磁信号强度的变化情况。

4) 鲁棒性

在可用节点数少于预期计划时，算法的作用效果不能有太大变化，因此算法应具有较好的鲁棒性，可以通过减少采样点占比，观察算法的均方根误差大小以及变化情况来进行判断。

因此，在验证所提算法的作用效果时，论文从电磁地图重构质量、均方根误差、决定系数以及鲁棒性对算法的作用效果进行评价。

2.2 结果分析

提取Brussels地图中3 200 m×3 200 m的区域，研究其中的LTE移动通信网的电磁覆盖情况，并利用等磁线绘制电磁地图，其实际电磁地图如图2所示。该区域中存在3个基站(以下均称为辐射源)，其最大发射功率为43 dBm，频带宽度设置为2110FDD-10 MHz，小区半径为350 m。将该目标区域进行栅格化分，并设置电磁分辨率为20 m，最终可得到25 600个栅格，总计25 600个电磁数据。将该区域均分成4块子区域，并在每个子区域随机抛洒640个低成本的感知节点，即保证每个子区域都有一定数目的感知节点，共计随机抛洒感知节点2 560个，采样点(感知节点)占电磁数据总量的比例仅为10%，并认为这些节点均可获得数据。性能评估基于core i9平台采用蒙特卡洛仿真方法实现。

图2 原始电磁地图

算法在运行时将该目标区域分解成为了4块子区域，边长均为1 600 m，先利用FSOMP对该区域进行初步重构，其重构结果如图3所示。

图3 FSOMP算法运行结果

图3是FSOMP得到的初步重构结果，尽管等磁线较为杂乱，但是均方根误差仅为1.360 9。FSOMP实质为对电磁地图的粗重构，即得到一个初步的结果。在得到粗重构结果后，需要利用分裂Bregman对粗重构的结果进行精重构，即进行精度提升,其结果如图4(a)所示，此时的均方根误差仅为1.254 5，且等磁线的形态同实际情况更加吻合。

正如前文所述，反距离加权插值法的应用场景广泛，受限程度低；克里金插值法克里金插值法(Kriging)已被证明是重构电磁地图的优秀算法；局部多项式法可有效捕捉数据的短程变化以及多项式回归法(local polynomial， LP)可有效拟合非线性数据，因此将其设置为对照对象。此外，由于移动平均法(moving average,MA)可以消除突变值对整体数据的影响，可以减小电磁数据各种衰落现象的影响，因此也将其作为对照对象。分别将这5种插值方法用于电磁地图重构，得到结果分别见图4(b)～(f)。

图4 不同算法下的电磁地图重构结果

很明显，经过第2阶段的分裂Bregman迭代降噪，最终得到的结果质量有很大改观，等磁线分布有序程度高，和原始的等磁线分布较为接近，可较好地反映辐射源所在区域的细节情况，且无牛眼现象，重构的地图质量高；而反距离加权插值法所得结果等磁线分布最为杂乱且牛眼现象严重，因而所重构的电磁地图质量低；而克里金插值法所得到的结果中，虽然等磁线的分布和原始的等磁线分布较为接近，但是存在一定程度的牛眼现象，导致等磁线略杂乱，所重构的电磁地图质量并不高；而局部多项式法所得结果虽然没有牛眼现象且等磁线分布和原始分布接近，但是在辐射源所在区域无法较好反映辐射源的细节情况，因此重构的地图质量并不高。至于另两种算法，从实验结果看，二者均没有什么异常值，但是根本无法准确的显示该区域的电磁覆盖情况，因此，从重构的地图上判断，这两种算法并不适合用于电磁地图的重构。

然后再分析算法所得数据的精度以及重构数据分布同实际电磁分布的一致程度。表1为本文算法、反距离加权插值法、克里金插值法等方法在感知节点占比为10%情况下的均方根误差以及相应的决定系数。

表1 数据精度衡量1

从表1可明显地看出，本文算法所得结果具有最小的均方根误差，即精度最高；同时，由于决定系数最大，因此所得结果的电磁分布同实际电磁分布也最为接近。

分析算法的鲁棒性。通过利用尽可能少的感知节点实现电磁地图重构来评估算法优劣，即利用较低的占比并保证一定的作用效果。因此将采样节点占比从10%减小至6%，即研究占比为10%、9%、8%、7%、6%对应情况下论文算法的作用效果，结果如图5内各图例表示的离散点所示。

图5 算法鲁棒性分析

从图5中可以明显看出，尽管采样节点占比降低，但论文算法所得结果的均方根误差一直是最小的，并且幅度变化并不剧烈，相差5%的数据量，均方根误差仅仅提高0.229 0，而数值精度位于第二的克里金插值法虽然仅提高了0.072 9，但是其均方根误差却始终高于本算法；其他算法如反距离加权插值法提升了0.306 0、局部多项式法提升了0.336 8，多项式回归法提升了0.004 6，移动平均法提升了0.008 3，但这些算法的均方根误差均在2以上，重构精度不高，另外，移动平均法以及多项式回归法的均方根误差均在5以上，因此结合前述内容判断此两种算法不适宜用于电磁地图的重构问题。

由于实际情况中，很多时候感知节点的数量不一定能够满足需求，因此，必须考虑极少感知节点可用情况下的算法重构效果。在这种情况下，对数据的精度要求比较高，下面主要从均方根误差、决定系数两个方面对算法性能进行分析。表2为考虑感知节点数量占电磁数据总量的比例为2%的情况下，算法的重构效果。

表2 数据精度衡量2

从表2可看出，本文所提算法所得结果有最小的均方根误差值，且所得数据分布和实际电磁数据的分布最为接近，其次是反距离加权插值法、局部多项式法、多项式回归法以及移动平均法；而克里金插值法在此种应用情况下所得结果误差很大，并且所得数据和实际电磁数据偏差极大。

综上所述，从电磁地图重构质量、所得结果的均方根误差以及决定系数和鲁棒性这几个方面来看，文中所提出的算法具有较好的性能。

3 结语

针对分布式感知网络在实际条件下难以实现对目标区域电磁态势全覆盖感知的问题，提出了一种结合分裂Bregman的压缩感知电磁地图重构算法。在压缩感知部分，通过对OMP算法的改进，有效减少了算法运行时间并提高了所得重构电磁数据的精度；在分裂Bregman部分，通过引入分裂Bregman全变量去噪，进一步提取电磁数据之间的相关性，进而提高数据精度，最后重构出电磁地图。仿真实验证明，重构出的电磁地图同实际的电磁覆盖情况相接近且精度较高，算法具有一定的实际应用前景。