对偶空间、转置映射与一般线性群下的逆变向量和协变向量

涂泓， 冯承天

对偶空间、转置映射与一般线性群下的逆变向量和协变向量

涂泓1，2， 冯承天1

（1.上海师范大学 数理学院，上海 200234；2.上海师范大学 上海市星系和宇宙学半解析研究重点实验室，上海 200234）

从线性代数中的对偶空间出发，阐明了转置映射和转置矩阵等不为物理工作者所熟悉的概念.在此基础上，给出了一般线性群（，）下的逆变向量与协变向量，及其分量的变换法则.

对偶空间； 转置映射； 逆变向量； 协变向量； 一般线性群

0 引言

数理科学中广泛地应用了在某一变换群下的逆变向量（张量）和协变向量（张量）.不过，完整地阐明它们本原的文献却不多见.本文作者以线性代数中的对偶空间和转置映射理论系统地叙述了在一般线性群下的这两种矢量，以及它们的分量变换法则.

1 对偶空间与对偶基

设为域上的一个向量空间，而是上的一个线性泛函，即（）∈，∈，且满足

（+）=（）+（），，∈，，∈（1）

2 转置映射与转置矩阵

设维空间1的基为1，2，，a，维空间2的基为1，2，，b，而考虑1到2的线性变换，即∈（1，2），此时，

（a）=α11+α22+…+αb，α∈，=1，2，…，，=1，2，…，， （4）

有其矩阵形式

将式（8）的左边作用于a，利用式（3），（4），（6），有：

将式（8）的右边作用于a，利用式（3），有：

因此β=α.于是，若记=T，则式（8）可表示为：

其中，T是的转置矩阵，故f为的转置映射.

3 向量空间中基及其向量分量的变换

考虑下列特殊情况：对于1=，使用基1，2，，a；对于2=，使用基1，2，，b，且是的恒等变换，在中考虑基的变化.此时，从式（5）有：

是×的满秩矩阵，即∈（，），因此存在（T）-1.可将式（13）写成：

利用这些关系，可以得出同一向量的分量随基的变化规律.为此将∈分别在基1，2，，a及1，2，，b中展开：

即

利用式（12），即有：

如果以式（12）为基准，那么式（15）中的矩阵（T）-1与式（12）中的矩阵一般是不同的.因此，把中的元称为逆变向量，而它们的分量即为逆变分量.因此，式（15）即逆变分量在基底变换（12）下的变换.

即

而利用式（13），有：

4 几点说明

中的量——逆变阶协变阶张量分量的变换法则.

2） 由于这里讨论的是（）的变换，即（，）群下的张量，其中=dim，包括了在物理学上有重大应用的一些群，如（2），（3），（3），（2，）等.

3） 如果考虑的是正交变换，即满足-1=T，那么由于（-1）T=，逆变与协变没有区别.

5 结论

在向量空间的对偶空间、向量空间之间的线性变换，及其在相应的对偶空间之间诱导出的转置映射的框架下，严格地推导出了两种向量分量的变换法则，进而阐明了不必区别这两种向量的条件，并对如何把这里的讨论推广到一般线性群下的张量，以及微分流形上作了说明.对数理文献中关于这方面的论述给出了坚实的数学基础.

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The dual space， the transposed mapping， and the contravariant and the covariant vectors of the general linear group

TUHong1，2， FENGChengtian1

（1.Mathematics and Science College， Shanghai Normal University， Shanghai 200234， China；2.Key Lab for Astrophysics， Shanghai Normal University， Shanghai 200234， China）

In this paper，the concepts of the dual space and the transposed mapping in linear algebra were enunciated，which were not well known by physicists. Based on the proposed concepts，two kinds of vectors named as contravariant vector and covariant vector for the general linear group and their transformation laws were fully explained and illustrated.

dual space； transposed mapping； contravariant vector； covariant vector； general linear group

10.3969/J.ISSN.1000-5137.2022.04.001

2022-04-21

涂 泓（1967—）， 女， 博士， 主要从事数理理论方面的研究. E-mail： tuhong@shnu.edu.cn.

涂泓， 冯承天. 对偶空间、 转置映射与一般线性群下的逆变向量和协变向量 ［J］. 上海师范大学学报（自然科学版）， 2022，51（4）：397‒400.

TU H， FENG C T. The dual space， the transposed mapping， and the contravariant and the covariant vectors of the general linear group ［J］. Journal of Shanghai Normal University（Natural Sciences）， 2022，51（4）：397‒400.

O 411.1

A

1000-5137（2022）04-0397-04

（责任编辑：顾浩然）