具有惯性项的粘性Cahn-Hilliard方程的指数吸引子

张晓雨， 姜金平， 王小霞， 黄厚曾

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

引言

本文研究的是如下具有惯性项的粘性Cahn-Hilliard方程的指数吸引子问题：

(1)

其中Ω∈R2，g∈L2(Ω)，粘性系数α≥0，非线性项f满足如下条件：

f∈C(R,R)，|f″(s|≤k0(1+|s|p),∀s∈R,P<1,

(2)

(3)

1 预备知识

定义如下Hilbert空间并赋予范数

定义1[5]设{S(t)}t≥0为完备度量空间X中的半群，集合M⊂X称为半群{S(t)}t≥0的指数吸引子，如果满足：

(ⅰ)正不变性：S(t)M⊆M,∀t≥0;

(ⅱ)有限维数：M有有限分形维数，即dimFM<∞;

(ⅲ)集合M⊂X为半群{S(t)}t≥0的指数吸引集，即对每一个有界集B⊂X,存在常数k=k(B),l>0，使得

dist(S(t),B)≤ke-lt。

引理1[6]设χ⊂H是不变紧子集，且W是H的紧嵌入，存在时间t*>0，使得：

(ⅰ)映射(t,z0)→S(t)z0，即[0，t*]×χ→χ是Lipschitz连续的；

(ⅱ)映射S(t*):χ→χ有如下分解形式：

S(t*)=S0+S1，S0:χ→H，S1:χ→W,

其中S0满足

S1满足

‖S1(z1)-S1(z2)‖W≤C*‖z1-z2‖H，

其中C*>0,则半群{S(t)}存在指数吸引子。

引理2[3]假设条件(2)和(3)成立，g∈L2(Ω)，u0∈V2，u1∈H，则问题(1)存在唯一解u(t)满足

u(t)∈C([0,T],V2)，ut(t)∈C([0,T],H)，

并且{u0,u1}→{u(t),ut(t)}在H上连续。

2 有界吸收集

定理1假设非线性项f满足条件(2)和(3),g∈L2(Ω)，则问题(1)生成的解半群{S(t)}t≥0在H中存在有界吸收集B=BH(0,ρ1)。

证明选0<ε<1，用v=ut+εu与(1)式做内积，得

+ε‖Δu‖2-α(Δut,ut)-(Δf(u),v)=(g,v)。

(4)

结合Hölder不等式，Young不等式，得

ε2(u,v)-α(Δut,ut)=ε2(u,v)-α‖∇v‖2-αε2‖∇u‖2+2εα(∇v,∇u)

≥-ε2‖u‖‖v‖-2αε‖∇u‖‖∇v‖-α‖∇v‖2-αε2‖∇u‖2

根据条件(2)和(3),利用Sobolev嵌入定理可知，存在K>0，使得

‖f(u)‖L∞

所以

(5)

且

所以(4)式可记为

令

E(t)=‖v‖2+‖Δu‖2-ε‖u‖2-α‖∇u‖2-(g,u)，

则

则有

则

使用Gronwall引理，有

‖v‖2+‖Δu‖2+‖u‖2+‖∇u‖2≤(‖u1+εu0‖2+‖Δu0‖2+‖u0‖2+‖∇u0‖2)e-2t

其中

‖v‖2+‖Δu‖2+‖u‖2+‖∇u‖2≤ρ2，

所以若u是(1)式的解，令B=∪t≥0S(t)B′，其中

B′={(u0,u1)∈H:‖u1+εu0‖2+‖Δu0‖2+‖u0‖2+‖∇u0‖2≤ρ2}。

则B为(1)式的解半群在H中的有界吸收集。

3 指数吸引子

定理2对任意R>0和任意z1=(u10,u11),z2=(u20,u21)∈H，使得‖zi‖H≤R(i=1,2),则存在常数Q>0，有

‖S(t)z1-S(t)z2‖≤eQt‖z1-z2‖H，∀t∈(0,∞)，

(6)

其中Q是与ε,α,K有关的常数。

wtt+wt+Δ2w-Δ(αwt)-Δ(f(u1)-f(u2))=0。

(7)

用wt与(7)式做内积，得

(8)

且

(9)

把(9)式代入(8)式，得

进一步放缩，可得

其中Q是与ε,α,K有关的常数。

再利用Gronwall引理，可得(6)式。

定理3存在常数M>0，使得

其中z0=(u0,u1),z(t)=(u(t),ut(t))。

(10)

(11)

结合(5)式，Hölder不等式，Young不等式及定理1，得

(12)

(13)

把(12)式，(13)式代入(11)式，得

(14)

由定理3的有界性及范数的等价性，可得

(15)

对(14)式使用Gronwall引理并结合(15)式，有

其中C3,C4,C5都为正常数。

通过比较，可得出utt和Δut的有界性，则有

即

定理4对∀T>0,映射(t,u0)→S(t)u0，即[0，T]×χ→χ是Lipschitz连续的。

证明对u0,u1∈χ,t1,t2∈[0,T]，有

‖S(t1)u0-S(t2)u1‖H≤‖S(t1)u0-S(t1)u1‖H+‖S(t1)u1-S(t2)u1‖H。

由定理3可得

因此

‖S(t1)u0-S(t2)u1‖H≤L[|t1-t2|+‖u0-u1‖H]。

其中L=L(T)≥0。

定理5设χ∈H是不变紧子集，且W到H是紧嵌入，则映射S(t*):χ→χ有如下分解形式：

S(t*)=S0+S1，S0:χ→H，S1:χ→W。

并且S0和S1满足下列不等式：

(16)

(17)

(18)

使用Poincaré不等式，有

引入泛函

由范数的等价性，当ε足够小时，有

(19)

其中c是正常数。

记θ1=1-ε，有

结合(19)式，得

利用Gronwall引理和(19)式，有

结合(5)式及定理3的有界性，有

则

(20)

则有

在(0,t*)上积分，结合初值条件，有

其中

因此，

定理6设非线性项f满足条件(2)和(3)，g∈L2(Ω)，则问题(1)生成的解半群{S(t)}t≥0在χ上存在指数吸引子。

证明可由定理4和定理5得到指数吸引子的存在性。