带电细圆环与导体圆柱面系统静电问题的研究

袁晓忠，刘世勇

(上海交通大学 物理与天文学院，上海 200240)

本文拟研究圆柱面内电势分布、圆柱面上感应电荷分布及轴线上感应电荷的电场等情况，并分析讨论导体圆柱面对轴线上一对等量同号点电荷所受静电力的影响．

1 模型建立

如图1所示，真空中有一半径为R的无限长接地导体圆柱面，其内包含两半径为r0(r00)． 两圆环所处平面与圆柱面对称轴z轴垂直，且圆心在z轴上，关于原点O左右对称，坐标分别为-H和H．

系统关于z轴具有旋转对称性，柱坐标系中圆环电荷密度可用δ函数表示为[3]

(1)

系统对应的边值问题为

(2)

其中r为考察点离开z轴的距离，u为电势，而ε0为真空介电常量．

图1 带电细圆环与导体圆柱面系统示意图

2 处理方法

圆柱面内，扣除z=-H与z=H两个平面及其上面的带电细圆环，电势满足的是拉普拉斯方程．考虑到系统具有左右对称性，边界条件u|r=R=0，及z→-∞与z→+∞时电势u趋于零，容易写出电势在3个区域的形式：

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(3)

(4)

(5)

u1|z=-H-=u2|z=-H+

(6)

其中-H-与-H+表示坐标z从左侧与右侧无限逼近-H．由此得到

(7)

(8)

由此得到

(9)

(10)

(11)

J1(x)为1阶贝塞尔函数．由式(7)及式(11)解得

(12)

(13)

这样关于电势的边值问题全部解决,有了电势分布，可以确定电场强度分布情况，这里我们仅讨论圆柱面轴线上的电场强度：

(14)

(-H

(16)

其中还利用了贝塞尔函数J0(0)=1的性质．有了电势分布，还可以确定圆柱面内表面感应电荷面密度：

(z<-H) (17)

(18)

(19)

圆柱面轴线上的电场强度E(z)由带电圆环轴线上产生的电场E环与感应电荷轴线上产生的电场E感叠加而来，即E(z)=E环+E感，故感应电荷的电场为

E感=E(z)-E环

(20)

显然有

(21)

感应电荷的电场也可以利用电荷面密度式(17)—式(19)，通过积分而获得，即

(22)

3 分析讨论

图2显示圆柱面轴线上的电势随坐标z的变化情况． 这里取H=1 m，r0=0.5 m，实线为R=1 m，虚线为R=2 m．在z=±H处电势出现双峰，由于柱面上感应电荷带负电，减小R会遏制电势双峰的高度．

图2 轴线上电势随z的变化情况

图3 圆柱截面上电势随r变化情况

图3显示在z=-H-0.1(m)截面上，电势随r的变化情况．这里取H=1 m，R=2 m，实线为r0=1.5 m，虚线为r0=1 m．考察点离带电圆环的最近距离为0.1 m，峰值基本出现在最近处，而圆环半径越小，峰值越高，这些结论都易于理解的．

图4显示圆柱面内表面感应电荷面密度随坐标z的变化情况．这里取H=1 m，点划线为R=1 m，r0=0.8 m，虚线为R=1 m，r0=0，实线为R=0.6 m，r0=0．在z=±H处感应电荷面密度也会出现两个峰值，在其它条件不变的情况下，圆环半径的增加导致感应电荷分布不断向z=±H平面附件收缩，而R的减小也会产生同样的效果，这一切都是很好理解的．

图4 圆柱内表面感应电荷面密度随z变化情况

图5显示感应电荷在圆柱面轴线上产生的电场随坐标z的变化情况．这里取H=1 m，r0=0，实线为R=0.6 m，虚线为R=1 m．显然R增大时感应电荷产生的电场总体变小，变化趋缓．R=0.6 m时，随坐标z的变化电场3次改变方向，而R=1 m时，电场仅在z=0处改变方向．

图5 感应电荷在轴线上产生的电场随z变化情况

图6 轴线上两点电荷受感应电荷吸引力及直接库仑排斥力随距离d变化情况

当r0=0时，带电圆环退化为圆柱面轴线上两等量同号点电荷，图6显示两点电荷受感应电荷吸引力的，量值随其间距离d=2H的变化情况，虚线为R=0.1 m，点划线为R=0.8 m，而实线对应点电荷间直接的库仑排斥力．比较有趣的是在R=0.1 m情况下，就所取的距离范围，吸引力强于排斥力，即由于感应电荷的影响，轴线上两等量同号点电荷受到的静电力为吸引力．这一结果与镜像法研究无限大接地导体平板附近两个同号点电荷受力情况不符，一个点电荷的像电荷与另一个点电荷间的吸引力总是小于两同号点电荷间的排斥力(点电荷与导体板间距离不为零)．对于我们的模型，很难有简单的像电荷去替代感应电荷，在特殊情况下出现感应电荷比等量点电荷的影响强也是可以理解的，下面做些简单分析．轴线上的点电荷在导体圆柱面上产生的感应电荷对自己没有影响，但对轴线上另一个同号点电荷会产生吸引力．容易证明处于一条直线上的点电荷，其在直线上各点产生的场强，一定比以点电荷为中心而将其电荷量沿着该直线左右对称扩展分布开的线电荷产生的电场强度小(考察点在线电荷外面)．两个点电荷各自在圆柱面上产生的感应电荷沿轴线分布固然是以z=-H或者z=H平面为对称面而扩展开来的，但感应电荷微元在轴线上产生的电场与轴线有一定夹角，这又会削弱感应电荷在轴线上产生的电场，最终结果如何，取决于两者的博弈．在d>>R情况下，角度的影响比较小，感应电荷的扩展分布使得其电场有可能强于点电荷的电场．当然如果R非常小，感应电荷的分布局域在点电荷附近，两者对远处的影响几乎可以抵消．如图7所示，左侧z=-H处带电圆环在圆柱面上形成的感应电荷在轴线上z=H处形成的电场强度量值随圆环半径r0的变化情况(实线)，为方便比较虚线示意轴线上z=-H处等量点电荷在轴线上z=H处形成的电场强度量值，这里取H=1 m，R=0.1 m．在其它条件不变的情况下，圆环半径的增加导致圆柱面上的感应电荷不断向z=-H平面附件收缩(见图4说明)，最终导致远处(d>>R)轴线上感应电荷电场的减小． 感应电荷分布收缩到一定程度，其产生的电场会比等量点电荷产生的电场小，转折点近似在r0=0.8R附件，这一结果印证了前面分析的正确性．

图7 带电圆环的感应电荷在轴线上确定位置的电场随圆环半径变化情况

4 总结

通过求解相关边值问题，将带电细圆环与导体圆柱面系统中的电势用贝塞尔函数来展开，进而图示分析了电势的分布．由电势得到圆柱面内表面感应电荷面密度的分布情况，计算了感应电荷在轴线上产生的电场，并对轴线上点电荷所受感应电荷的吸引力进行了计算，发现在适当条件下，由于感应电荷的影响，轴线上一对等量同号点电荷受到的静电力为吸引力．