一种求解三维简约布里渊区体积的方法

李建军，张振东

(北京工业大学 电子科学与技术学院,北京 100124)

布里渊区(BZ，Brillouin Zone)是固体物理学中的一个非常重要的概念，在晶格振动及能带论等与波相关的章节都有涉及[1,2]. BZ定义为波矢空间的点的集合，三维情况下，BZ是由倒格矢的垂直平分面围成的区域. 根据从原点到各布里渊区需穿越垂直平分面的数目，划分为第一BZ(不穿过任何垂直平分面)，第二BZ(穿过1个垂直平分面)，以及第N个BZ(穿过N-1个垂直平分面)[3]. 不论是能带论中的E-k关系，还是晶格振动中ω-q关系，都具有关于倒格矢的平移对称性，因此可以通过平移将E-k或ω-q关系约化在第一BZ内表示，因此第一BZ也叫简约布里渊区，通常所说的BZ一般是指简约布里渊区.

BZ的一个重要性质是所有BZ的体积都相等，且等于倒格子原胞的体积[4]. 对于不同的晶体结构，由于倒格子形式不同，因此简约BZ的形状也不同. 当前，为了具体计算简约BZ区的体积以体现其等于倒格子原胞的体积，需要针对不同的简约BZ形状采用不同的方法求解其体积，即使是求解同一种BZ的体积，也有不同的方法[5-8]. 这就增加了本知识点的教和学的难度. 据此，本文根据简约BZ的结构特点，提出一种可求解各种形状BZ体积的普适方法，此方法简单且易于掌握.

1 简约BZ体积的求解

简约BZ是由距k空间原点Γ最近或次近的倒格点的连线的垂直平分面围成的凸多面体，因此Γ点位于该多面体内部. 设凸表平面的数目为N，从Γ点到多面体的各顶点做连线，则凸多面体被划分成为N个以Γ为顶点的棱锥，简约BZ的体积V便是这N个棱锥体积的和，即

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(2)

图1 面心立方简约布里渊区的体积的求解

(3)

式(3)中，利用了两个矢量叉乘的模等于其围建的平行四边形的面积这一性质，将式(3)代入式(2)，得

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(5)

将式(5)代入式(1)，即得到求解BZ体积的普适公式为

(6)

由式(6)可见，不论是哪种形式的布里渊区，只要确定出其表面各顶点的坐标以及与各表面相对应的倒格矢，即可求得其体积.

归纳用式(6)求解BZ体积的具体过程如下：① 从原点Γ向有N个表平面的BZ的各顶点做直线，以各直线为棱边将BZ划分为以Γ为共同顶点的N个棱锥体；② 写出以各棱锥底面为垂直平分面的倒格矢Gn；③ 写出棱锥底面各顶点的坐标An,m；④ 由式(5)求各棱锥的体积；⑤ 由式(6)对各棱锥的体积求和得到BZ的体积.

2 应用实例

下面首先以面心立方正格子为例，给出应用实例. 对于面心立方的正格子，其固体物理学原胞的基矢为

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其中，a是晶格常量，i、j、k是直角坐标系3个方向的单位矢量. 根据正、倒格子基矢间的关系，求得倒格子基矢为

(8)

面心立方的简约BZ是由体心立方8个顶角的最近邻倒格矢及6个次近邻倒格矢的垂直平分面围成的14面体，如图1(a)所示.14个面中的8个面是正六边形，6个面是正四边形.从原点Γ向各面的顶点引直线作为棱边，由于简约BZ的对称性，简约BZ被划分为8个体积相同的正六棱锥和6个体积相同的正四棱锥.

(9)

最后，把8个六棱锥与6个四棱锥的体积求和，得简约BZ的体积为4(2π/a)3，与前述倒格子原胞的体积相等.

对于正格子为体心立方的晶体结构，其固体物理学原胞的基矢为

(10)

根据正、倒格子基矢间的关系，求得体心立方的倒格子基矢为

(11)

(12)

图2 体心立方简约布里渊区体积的求解

3 结语

为求解BZ的体积，可将其离散为以原点Γ为共同顶点的N个棱锥体来求解. 此方法简单直观、易于掌握，且适于求解任意晶体结构的BZ区体积. 布里渊区是固体物理学的一个重要概念，本文提出的BZ体积的求解方法对该知识点的教与学提供了有益的手段.