用矩阵研究一维弹性碰撞与圆周率的关系

2022-09-15岳国联黄绍书张利纯赵庆文

大学物理 2022年8期

岳国联，黄绍书，周奎，张利纯，赵庆文

(1. 六盘水市第三中学,贵州六盘水 553000；2. 六盘水市第八中学,贵州六盘水 553000)

在靠光滑竖直墙壁的光滑水平面上放置一质量为m1的弹性滑块，在滑块m1与光滑竖直墙壁之间另放置一质量为m2的弹性滑块.现给m1一个水平向左的初速度，m1与m2之间以及m2与竖直墙壁之间将会发生若干次弹性碰撞.如果m1是m2的1倍、100倍、10 000倍、1 000 000倍、100 000 000倍……那么总碰撞次数分别为3、31、314、3 141、31 415、……也就是说，一维完全弹性碰撞次数蕴涵着圆周率.

2003年,美国东伊利诺大学Gregory Galperin教授根据这一类似的碰撞模型撰文提出了一维弹性碰撞与圆周率的关系，其主要证明思路是将碰撞次数问题转化为类似于光学中平面镜反射次数问题来对碰撞过程进行阐述[1,2].这一碰撞模型的相关视频及讨论近年来风靡国内外的一些网站，从而引起诸多学者对该问题的研究兴趣，也有不少文献利用速度相空间将此问题转化为圆的问题进行研究[3-6].也有文献采用二阶矩阵对此问题进行计算研究[2,6]，但仅作了两次碰撞的计算，不够彻底.

实践表明，用二阶矩阵对这一连续多次碰撞问题进行计算和严密的分析处理，显得更为完善和更具普适性，且更为方便.

1 重构模型

不失一般性，假定两个弹性滑块的质量m1、m2之间满足m1=km2，其中k>0.设初始状态m1、m2的初速度分别为u0、v0，m1、m2间第n+1次碰撞前的速度分别为un、vn，如图1所示.

图1 一般化碰撞模型

基于这一模型，我们要研究m1、m2间及m2与墙壁间总碰撞次数与k之间的关系以及总碰撞次数与圆周率π之间的关系.

2 一维弹性碰撞完全解

根据系统动量守恒和动能守恒，m1、m2之间第1次碰撞过程满足：

(1)

(2)

(3)

由于

m1=km2

(4)

由式(1)—式(4)得m1、m2间第2次碰撞前各自速度为

(5)

连续的两次碰撞可看成是一种对速度的变换，因此，可将式(5)写成矩阵形式，即为

(6)

同理，m1、m2间第n+1次碰撞前速度与初速度之间的关系可写成矩阵高次幂形式，即

(7)

令

(8)

设λ1、λ2分别为行列式|λE-A|=0的两个特征根

λ2-2(k-1)λ+(k-1)2+4k=0

(9)

因为k>0，式(9)有两个不相同的复根

(10)

(11)

(12)

其中，待定矩阵P、Q由下式确定

(13)

将式(8)、式(10)—式(13)整理并用三角函数表示，化简可得

(14)

式中，0≤nθ<2π,由式(7)、(14)得到速度关系为

(15)

所以，m1、m2间第n+1次碰撞前速度的三角函数形式表示式为

(16)

式(16)为m1、m2之间第n次碰撞后m1的速度un的表达式，及m2与墙壁之间的第n次碰撞(若vn=0，则m2与墙壁间n-1次)，碰撞后m2的速度vn的表达式，此结论与文献[4]结论一致，具有普适性.

3 碰撞总次数与π的关系

取向左为所有矢量的正方向，显然m2与m1最后一次碰撞后的速度一定满足如下关系：

(17)

现在结合式(16)、(17)分两种情况讨论m2与m1及墙壁碰撞总次数N与圆周率π之间的关系，并通过一些数据进行计算验证.

3.1 m2初始状态静止

这里考虑m2初始状态静止，m1先向左碰撞m2，如图2所示.

图2 m1先向左碰撞静止的m2

初始条件：

(18)

由式(16)、(17)、(18)得

(19)

因为

(20)

所以有

(21)

由式(21)得m与m1和墙壁总碰撞次数为

(22)

式中“「⎤”表示向上取整数(下同).此结论与文献[4]和文献[5]结论一致.式(22)已经包含了vn=0时，m不再与墙壁相碰撞的情形在内，具有普适性.从式(22)不难看出，碰撞次数N1与圆周率π之间存在紧密关系.

(23)

(24)

3.2 m1初始状态静止

这里考虑m1初始状态静止，m2先向右碰撞m1，如图3所示.

图3 m2先向右碰撞静止的m1

初始条件：

(25)

设m1、m2间最多能碰撞n次，由式(16)、(17)、(25)，得

(26)

(27)

又由式(27)，可得m1、m2和墙壁间总碰撞次数为

(28)

(29)

由式(29)得

(30)

在m2初始状态静止、m1初始状态静止这两种情形下，m2与m1、m2与墙壁之间总的碰撞次数，也存在一定的关系，由式(22)、(28)可得此两种情形下，碰撞次数之间的关系为

(31)

4 验证计算

式(22)、(24)、(28)、(30)及其相应的推导过程，都诠释了一维弹性碰撞与圆周率之间存在的必然关系.为了直观体现这种关系，这里仅分别取k=1×102s(s=0，1，2，3，…)、k=4×102s(s=0，1，2，3，…)、以及k取其它几个任意值用计算机进行计算验证，对应的计算结果见表1、表2、表3所示.

表1 k=1×102s(s=0，1，2，3，…)

表2 k=4×102s(s=0，1，2，3，…)

表3 其它情况

计算结果表明了式(24)和式(30)的合理性.从总体上来看，k的大小决定碰撞次数的多少即圆周率π的精确位数.k越大，计算所得的圆周率的值就越精确，但是精度存在一定周期性变化，原因在于连续无穷多个不同的k值对应了相同的碰撞次数.当k=1×102s(s=0，1，2，3，…)时，式(22)或式(23)计算碰撞次数正好是10sπ的整数部分，式(24)计算的圆周率π也精确到了小数点s位；当k=4×102s(s=0，1，2，3，…)时，式(28)或式(29)计算碰撞次数正好是10sπ的整数部分，式(30)计算的圆周率π也精确到了小数点s位.