高阶隐藏混沌系统研究

范义刚

（安徽理工大学电气与信息工程学院，安徽 淮南 232001）

0 引言

自Lorenz于1963年发现混沌现象，便正式拉开了学者研究混沌的序幕。分维性、遍历性、有界性、对初始值的强依赖性和对参数的敏感性是混沌的显著特征，经过学者的研究，也出现了很多经典混沌系统，如Lorenz系统、Chen系统、蔡氏系统和Rössler系统等。除了以上经典的三维系统，三阶系统以上统称为高阶系统，近些年，四阶、五阶，甚至更高阶的系统已经成为一大热点，高阶系统往往意味着系统会拥有更丰富的动力学特性，且在一些领域有显著优势，例如密码系统，高阶系统的密钥空间更大，混沌序列的为随机性更好，复杂度更高。

学者还发现系统的平衡点的个数也不局限于有限个，无平衡点系统和线平衡点系统就是典型的例子。顾名思义，线平衡点系统中的平衡点就是一条线，线平衡点的形状可以多种多样，例如方形、圆形和心形等。通常具有线平衡点的系统表明系统可能产生隐藏吸引子，自从隐藏吸引子被发现，它就成了非线性领域热门话题，此外，多稳定性是混沌中一个有趣的现象。所以该文基于现有的混沌系统，旨在设计一个新的具有线平衡点的高阶混沌系统，且该系统具有隐藏吸引子和多稳定性。

1 系统数学模型

1.1 系统模型

该文在Atiyeh Bayani所提出的系统基础上，添加了一个线性项，设计了一个新的具有隐藏吸引子的混沌系统，文献[4]中平衡点受到x轴和w轴的影响，而该文所提出的系统的平衡点在整个w轴，该文采用归一化（即无量纲）的方程，该系统的数学模型如公式（1）所示。

式中：、、和是状态变量；、和为系统参数。

使公式（1）右边为0，显然y和z均为0，代入公式（1），可以得到系统平衡点为（0，0，0，），其中为任意数，平衡点在整个轴，所以系统的平衡点为线平衡点，这意味着系统在特殊的系统参数和初始值下可能会产生隐藏吸引子。

对线平衡点的稳定性进行分析，设=-1.2，=-2，=0.3，设置初始值 [（0），（0），（0），（0）]为（-1，0，-1.6，0），计算得到给定条件下公式（1）的Jacobian矩阵如公式（2）所示。

公式（2）对应的特征多项式如公式（3）所示。

由公式（3）得知多项式系数=2，=0.2k，=0，=0，根据Routh-Hurwitz稳定性判据，如果平衡点稳定，需要满足这些条件：＞0，-＞0，（-）-＞0，a4＞0。显然特征多项式的系数不满足判据条件，因此公式（1）的线平衡点不稳定，进一步说明该系统在特定条件下可以产生隐藏吸引子。在系统的初始值和参数确定后，通过四阶龙格库塔法计算出一组李雅普诺夫指数（），第一李雅普诺夫指数（）=0.0205，第二李雅普诺夫指数（）=0.0028，第三李雅普诺夫指数（）=-0.8335，第四李雅普诺夫指数（）=-1.1898，符合混沌的定义，因此根据李雅普诺夫维数定义，可以计算出李雅普诺夫维数（D），如公式（4）所示。

接着为了证明混沌系统的有界性，求解公式（1）的耗散度，如公式（5）所示。

从公式（5）来看，系统耗散度为负，且只受参数影响，而系统轨迹会被混沌吸引盆吸引，以e的速度收缩到吸引子上，证明了系统的有界性。

从以上的分析来看，李雅普诺夫指数有正有负，李雅普诺夫维数不是整数且耗散度为负，说明该系统可以产生混沌现象。

2 动力学特性分析

2.1 相图和庞加莱截面

为进一步证明公式（1）能够产生混沌现象，设=-1.2，=-2，=0.3，初始值 [（0），（0），（0），（0）]为（-1，0，-1.6，0），采用四龙格库塔法，步长为0.01，通过数值模拟得到系统轨迹图和庞加莱截面图，结果如图1所示。其中相图（相轨迹图）是系统运动时的刻画，反映了系统状态量的变化，通常作为观察动力学特性的最直接方法。为了方便研究系统轨迹在平面上的投影，利用二维图可以直接判断非线性系统所呈现的简单动力学行为，而对复杂一些的动力学行为，为更直观地分析系统运动状态，三维立体图则是不错的选择。相轨图可初步判定动力学行为的复杂程度，为进一步分析动力学特性奠定基础。图1（a）为混沌吸引子在--上的系统轨迹图，图1（b）为吸引子在-平面上的相轨迹图，图1（c）为=0时，系统轨迹图在-平面的投影。

庞加莱截面是由庞加莱在19世纪提出的，是分析动力学特性的常用工具，在分析复杂的动力学行为的过程中起到降维的作用，因此庞加莱截面在研究非线性动力学特性方面比较方便，基该方法就是选取合适的二维空间，形成一个系统轨线通过的平面，使这些轨线从平面穿过，穿透过去的位置就是系统轨迹留下的点，当有很多点时就构成了熟知的庞加莱截面。换言之，就是系统的轨迹在某一特定的二维空间留下的投影。所以根据图1（c）可以看出，构造的=0时-所形成的庞加莱截面中含有很多的稠密点，意味着系统处于混沌状态。

图1 系统相图和庞加莱截面图

2.2 多稳定性和隐藏吸引子

分岔图作为研究非线性动力行为的方法之一，可更深层次地分析动力学特性。当系统参数变化时，它的庞加莱映射在某一个坐标轴上的投影构成了参数变化下的分岔图。对固定的系统参数，分岔图中的与周期数相等的信号点可以代表系统处于稳定周期状态。当有无数的点分布在某一区域内，这些无数周期的点在相同的位置不会重叠，表示非线性系统处于混沌状态。所以，从分岔图中可以观察到系统的非线性动力学行为随参数变化的过程。混沌系统对初始值极为敏感，在混沌振荡中2个差值极小的初始值产生的混沌轨迹，在特定条件下会随着时间变化以指数方式靠近和分离，而李雅普诺夫指数（）正是表征这一运动状态的特征，表示吸引子沿着某一个方向平均发散或者收敛的快慢程度。在多维空间中，例如维空间，就有个李雅普诺夫指数，并按照从大到小排序，就得到一个组合≧≧……≧LE，这个组合也被称为李雅普诺夫指数谱。其中LE也被称为最大李雅普诺夫指数，它决定轨道覆盖整个吸引子的快慢，LE是最小的李雅普诺夫指数，决定轨道收敛的快慢。李雅普诺夫指数的正负可以代表系统所处的状态，例如最大李雅普诺夫指数为0，其余的为负，代表系统为周期状态，如果最大李雅普诺夫指数是正的，系统表现出混沌状态。

多稳定现象在含有隐藏吸引子的非线性系统中表现得尤为突出，得益于能够产生隐藏吸引子的混沌系统对初始值的敏感性。因为在系统参数确定的情况下，系统在不同初始值下产生不同的混沌吸引子，换言之，就是在非线性动力学系统中存在不止一种的稳定状态。而与自激吸引子相比，隐藏吸引子的动力学特性更丰富有，吸引子也更难以定位，不但受系统参数影响，系统初始值也会极大地影响吸引子。自激吸引子与隐藏吸引子的主要区别在于自激吸引子的吸引盆与不稳定平衡点相关联，而隐藏吸引子的吸引盆不与任何不稳定平衡点的小领域相关。含有隐藏吸引子的系统对初始值的变化很敏感，即系统参数固定情况下，系统轨迹从不同初始值出发，可以形成超过多种的混沌吸引子，表现出多稳定性。所以为了探究隐藏吸引子对初始值的敏感性，设置=-1.2，=-2，=0.3，初始值则为（-1，（0），-1.6，0），当（0）从-3变化到3时，绘制分岔图和李雅普诺夫指数谱图，如图2所示。图2（a）是初始值y（0）变化时的分岔图，图2（b）是初始值y（0）变化时的李雅普诺夫指数谱，其中LE是第一李雅普诺夫指数，LE是第二李雅普诺夫指数，LE是第三李雅普诺夫指数，LE是第四李雅普诺夫指数，（0）在（-3，-1.94）和（-1.77，-0.67）区间内，系统轨迹为周期吸引子，在（0）（-1.93，-1.78）和（-0.66，3）区域内，系统处于混沌状态。初始值（0）从-1.94变化到-1.93时，系统从混沌状态突然变化到周期状态，这种现象称为切分岔，如图2所示，初始值（0）变化时，系统会呈现不同状态。

图2 随初始值y（0）变化的分岔图和李雅普诺夫指数谱

3 结论

该文先求得系统的平衡点为线平衡点，根据雅可比矩阵分析平衡点的稳定性，结果表明系统可能会产生隐藏吸引子，李雅普诺夫维数和耗散度进一步证实了系统为混沌系统，说明该系统可以产生混沌现象。再使用数值模拟法得到系统相图，借助分岔图和李雅普诺夫指数图验证了混沌系统对参数和对初始值的敏感性。其中，研究初始值对系统的影响时，发现在给定参数下，系统轨迹从不同初始值出发，可以生成不同的吸引子，表现出多稳定性现象，具有丰富的动力学特性。研究结果有助于基于隐藏吸引子系统下的图像加密、保密通信和同步控制等的应用。