一元微积分中函数极限的求解方法

◎刘 燕

(克拉玛依职业技术学院基础部，新疆 克拉玛依 834000)

一、引 言

在高职高专的高等数学上册中，一元微积分是由函数、极限与连续、导数与微分、微分学的应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程七个教学模块构成，其中连续、导数和定积分是微积分中非常重要的三个数学概念，而这三个数学概念都是用极限刻画的，因此，熟练掌握极限的求解方法对学好一元微积分是至关重要的.

二、函数极限的求解方法

1.利用观察法求极限(观察型)

在极限概念的章节中，有许多节要求观察在自变量的某种变化过程中函数的变化趋势.这种类型的题目就是典型的利用观察法求极限，它的求解方法是先作图或列表，然后观察当自变量在指定的变化过程中函数的变化趋势.

图1

2.利用无穷小的性质求极限(无穷小型)

无穷小的性质有三条：

(1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小；

(2)有限个无穷小的乘积仍为无穷小；

(3)有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.

当遇到无穷小量相加、相减、相乘时，一般情况下可以判定此时极限为无穷小型，我们常常利用无穷小的性质求极限.针对性质(3)要牢记，常见的有界函数有七个，它们分别是常数、正弦、余弦、反正弦、反余弦，反正切和反余切，只要函数中含有有界函数，就要认真分析剩余的部分是否无穷小.

3.利用无穷小与无穷大的关系求极限(无穷大型)

通过分析发现，函数在极限条件下是无穷大时，可以判断该极限属于无穷大型，可以利用无穷大与无穷小在同一条件下互倒的关系解题.

该定理表明，在计算两个无穷小之比的极限时，可将分子或分母的乘积因子代换为与其等价的无穷小量，进而简化极限求解的计算过程.

当→0时，sin～，ln(1+)～，

=1.

注意：在利用等价无穷小代换定理时，对于代数运算中各无穷小不能分别替换，必须整体代换.

5.利用极限运算法则求极限(公式型)

通过分析发现，只要符合极限的四则运算法则的条件都可以利用法则解题.

6求下列极限：

通过分析发现,分子、分母在某种极限条件下极限都为0，且分子或者分母含有根式函数，这时常常利用平方差公式对分子或分母进行有理化，从而求解极限.

有些极限用一般的方法无法求解，但借助变量代换法求极限却能顺利解决.

设e-1=，则=ln(+1)，当→0时有→0，故

夹逼准则又称两边夹准则.在极限求解过程中，常常把函数或数列通过放大和缩小，使两边的新函数或新数列极限相同，进而利用夹逼准则求原函数或原数列的极限.

图2

12.利用函数的连续性求极限(代入型)

由于初等函数在其定义域内都是连续的，所以求极限时我们常常观察一下函数是否在该点有定义，若有，即可利用函数的连续性求极限，若无，改用其他方法.

因为函数()=esin 是初等函数，并且它在=0处有定义且连续,

13.利用导数的定义求极限(凑导型)

∵′(0)=1，

=2′(0)-3′(0)=-1.

14.利用L′hospital法则求极限(未定型)

有些极限可以通过巧妙地构建函数，使其在某区间上符合Lagrange中值定理的条件，从而利用Lagrange中值定理求极限.

三、结束语

在高职高专教材中，一般情况下有这十五种求极限的方法，在极限求解计算中到底运用哪一种方法，还需要具体问题具体分析，请读者在计算中认真分析，找准类型，灵活运用求极限方法.一个求极限的题目，有时所用到的方法也不止一个，大家在能够融会贯通的情况下，选择出适当的方法，这样不仅准确率高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果.