Jordan不等式在求解导数压轴题中的应用

山西太原市第三实验中学校（030031）董立伟

一、Jordan不等式

Jordan不等式有如下两种常用形式。

Jordan不等式形式1的后半部分以习题的形式出现在普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2A 版（人民教育出版社，2007 年1 月第2 版）第32页习题1.3的B组第1题。

在高考题与高考模拟试题中，涌现出不少以正弦、余弦函数与其他初等函数相结合的函数为模型函数的导数压轴题。由于这类函数的导函数形式较复杂，以及正弦、余弦函数具有周期性等特点，使得导数压轴题的求解思路不易找到，而且求解过程通常较为烦琐。借助Jordan 不等式，可以帮助我们快速找到问题的突破口，简化解题步骤。

二、Jordan不等式的应用

（一）适度放缩变形，简化关系形式，辅助范围确定

Jordan 不等式将sinx放缩为有关x的正比例函数形式，这使得放缩后的式子形式变得简单，从而更容易求出所得式子的取值范围。

第（2）问可借助第（1）问所得结论来证明，此处不再赘述。

（二）利用成立条件，巧设分类标准，辅助分类讨论

求解含有sinx、cosx的导数压轴题，通常需要分类讨论。如何快速准确地确定分类标准是这类问题的一个难点。Jordan 不等式自带成立条件（如形式1 中，形式2 中，这给我们寻找分类标准提供了参考。

［例3］已知函数f(x)=ex-cosx-ax（a∈R）。

（1）若f(x)在[ 0,+∞)上单调递增，求a的取值范围；

（2）证 明：∀x∈[ 0,+∞)，xex≥sin2x+2sinx-sinxcosx。

第（1）问的a的取值范围是( -∞,1 ]。因为其解答较为容易，所以略去解答过程。下面我们主要研究第（2）问。

证明：当x=0时，不等式显然成立。

分析：第（1）问明显是以Jordan 不等式为背景命制的，解答较为容易，略去其解答过程。下面我们主要研究第（2）问。

（三）寻找充分（或必要）条件，规避思维难点，辅助问题解决

当函数解析式中同时含有指数函数、对数函数、三角函数等多种函数形式时，由于函数形式的复杂性，使得很多时候正面求解导数压轴题并不容易。对此，我们可以先寻找原问题的充分（必要）条件，再证明所得条件也恰好是原问题的必要（充分）条件的方法。Jordan 不等式可以将sinx放大或缩小，为我们寻找这类问题的充分（必要）条件提供了可能。

［例5］已知函数f(x)=a(x2-1) -lnx，a∈R。

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）求实数a的取值范围，使得f(x)＞asin(x-1) +-e1-x在区间( 1,+∞)上恒成立（e=2.71828…为自然对数的底数）。

第（1）问较为容易，此处略去其解答。下面我们主要研究第（2）问。

先给出如下引理。

引理：当x＞0时，lnx≤x-1。

（1）若f()x＞0，求a的取值范围；

（2）当a=1时，证明：2f(x)+cosx＞e-x。

第（1）问的解答：f()x＞0，即ax-sinx＞0。由Jordan 不等式，当x∈()0,+∞时，sinx＜x，所以ax-sinx＞0 的一个充分条件是ax-x≥0，解得a≥1。

下证a≥1是f(x)＞0的必要条件。

f′(x)=a-cosx。因为f(0)=0，所以若有f(x)＞0，则有f′(0)≥0，即a-1 ≥0，解得a≥1。

因此，a的取值范围是[ 1,+∞)。

第（2）问的解答省略。

［例7］已 知函数f(x)=2sinx-xcosx-x。f′(x)为f(x)的导数。

（1）证明：f′(x)在区间( 0,π)存在唯一零点；

（2）若x∈[ 0,π ]时，f(x)≥ax，求a的取值范围。

分析：第（1）问较为容易，过程省略。下面我们主要研究第（2）问。

解：当x=0时，显然成立。

当x∈( 0,π ]时，由Jordan不等式，f(x)=2sinxxcosx-x＜2x-xcosx-x=x( 1-cosx)，所以f(x)≥ax成立的一个必要条件是x( 1-cosx)＞ax，即1 -cosx＞a。解得a≤0。

下证“a≤0”是“x∈[ 0,π ]时，f(x)≥ax成立”的一个充分条件。事实上，我们只需证明a=0 时成立即可。

Jordan 不等式是求解含有正弦、余弦形式的函数的导数压轴题的一个有力工具。在教学中，教师需要引导学生寻找试题与Jordan 不等式的契合点，帮助学生快速形成解题思路。