《飞行性能与计划》课程教学中培养学生数学思维能力的典型教学案例

陈昌荣，党淑雯

（上海工程技术大学航空运输学院（飞行学院），上海 201620）

《飞行性能与计划》课程教学过程中的量化分析相关的教学内容可分为两类，一是依据性能描述模型开展计算分析，二是结合手册做插值计算，根据课程知识特点及教学目标，在教学过程中，对学生的数学思维能力和量化分析能力有较高要求。虽然在实际应用中飞行性能的具体量化分析已经实现自动化[1]，但从培养学生思维能力的角度考虑，掌握重要关系式背后的含义有助于培养学生透过表面现象看本质的能力。本文结合几个描述性能模型的重要关系式，阐述学生学习和掌握课程核心知识点的教学过程。

1 案例1：非标准大气中的真实高度H与指示高度Hi的关系

飞机上的高度表显示的指示高度是根据飞机与基准面的气压差按标准大气环境计算出的，由于实际温度与标准大气温度存在偏差，实际飞行高度H与高度表指示高度Hi存在差异，H与Hi的近似关系式是：

这里，T表示实际温度，TISA表示指示高度对应的标准温度。

在飞行原理中，大气温度对实际飞行高度的影响有定性结论：当实际气温高于标准温度，实际飞行高度高于高度表指示高度，温度越高，实际飞行高度越高；当实际气温低于标准温度，实际飞行高度低于高度表指示高度，温度越低，实际飞行高度越低。式（1）不仅有助于学生理解上述定性结论，而且可定量估算实际飞行高度与指示高度的偏差。

式（1）有什么实际用途？冬季低温时，实际飞行高度低于高度表指示高度，为确保起飞越障的安全，应知道低温时实际高度与指示高度的偏差，式（1）能快速估算出实际高度与指示高度之差。需要指出，应用式（1）时易出现的错误是误认为TISA等于标准海平面温度288K。

2 案例2：声速a与气温T的关系

声速在空气中随温度而变，声速a与空气温度T的近似关系式是：

这里a0和T0分别表示标准海平面的声速和温度，T表示实际温度。

马赫数Ma的定义为：

这里v表示真空速。由于声速a随温度T而变，所以同一真空速对应的马赫数随温度而变。

由式（2）可知空气中的声速只随温度而变，温度越高，声速越大。掌握式（2）（3）有助于理解以等马赫数爬升和下降过程中的真空速变化规律。学生也可根据式（2）（3）理解到，在对流层，以等马赫数爬升过程中，真空速逐渐减小；而以等马赫数下降过程中，真空速逐渐增大；在平流层，以等马赫数爬升或下降过程中真空速不变。

3 案例3：真空速v与指示空速vi的关系

气流的动压q与密度和空速的关系式是：

这里 和v分别表示实际空气密度和真空速，0表示标准海平面的空气密度，vi表示指示空速。由式（4）可得出真空速v与指示空速vi的近似关系式为：

计算飞行性能时需要的空速是真空速，而飞行员在驾驶舱速度表看到的是指示空速。真空速 v与指示空速 vi的近似关系式（5）不便于记忆，而动压公式（4）容易记忆，理解了动压公式（4），就可方便地推导出真空速v与指示空速vi的近似关系式（5）。学生从式（4）可知空气动压是单位体积空气的动能；从式（4）的单位可知空气动压是垂直于气流方向上单位面积受到的空气作用力。

式（4）有助于理解等表速爬升和下降过程中的真空速变化规律，学生可根据式（4）掌握到：等表速爬升过程中，真空速逐渐增大；等表速下降过程中真空速逐渐减小。

4 案例4：爬升梯度 与推力TN、阻力D、重力G和升阻比L/D的关系

爬升梯度与作用力的关系可近似表示为：

这里，TN和D分别表示推力和阻力，L和G分别表示升力和重力，L/D表示升阻比。

民航飞机在航路下降阶段使用空中慢车推力，推力接近于零，所以下降梯度就是式（6）当推力TN为零时的情况，下降梯度可近似表示为：

公式(6)中假设爬升过程中的加速度为零，也就是假设真空速不随高度的升高而增大，经过这一简化，适合学生在以下几个延展知识的理解和应用：

（1）理解以绿点速度爬升和下降时的爬升梯度和下降梯度特点。升阻比最大时所对应的速度被定义为绿点速度，空客飞机实际给出的绿点速度是近似对应于最大升阻比，不是准确对应于最大升阻比状态[2]。学生通过式（6）可理解：对于给定的推力，以绿点速度爬升时的爬升梯度最大，这有助于学生理解一发失效后的起飞航迹第四段为什么采用绿点速度[3]。学生通过式（7）可理解：以绿点速度下降时的下降梯度最小，这有助于学生理解巡航时发生一发失效后的飘降为什么用绿点速度[4]。

（2）理解高高原机场着陆为什么使用比较小的襟翼放出量。高高原机场空气稀薄导致复飞性能差，例如，拉萨机场海拔3570米，对应的标准温度是-8℃，在夏季下午温度可达25℃，实际温度比标准温度高33℃，这导致发动机推力减小。为了在满足复飞爬升梯度要求的情况下使最大着陆重量尽可能大，式（6）中的TN-D应尽可能大，这需要降低阻力D使升阻比达到最大，所以着陆应采用比较小的襟翼放出量。

（3）理解失速改出措施。失速时，要改出需要向前推驾驶杆操纵升降舵以减小迎角，迎角减小则阻力减小，有助于TN-D<0变成TN-D>0，使飞机进入爬升状态。前推驾驶杆，则飞机向下俯冲降低高度，高度降低则空气密度增大，而TN-D具有随空气密度增大而增大的性质，所以高度降低也有助于TN-D<0变成TN-D>0，使飞机进入爬升状态。

（4）理解升降舵与爬升和下降的关系。升降舵的名称易使人认为飞机的爬升和下降是由升降舵决定的。理解了式（6），就知道操纵升降舵可使飞机抬头、低头，也就是操纵升降舵可改变迎角大小，但飞机是爬升还是下降取决于推力与阻力之差TN-D：TN-D=0时，平飞；TN-D>0时，爬升；TN-D<0时，下降。

5 案例5：升力公式的含义

升力公式可表示为：

这里CL表示升力系数，q表示动压，S表示机翼投影面积，表示空气密度，v表示真空速。

升力公式在分析起飞、爬升、巡航、下降、着陆各阶段性能时都有用途，以巡航阶段[7]为例，教学中设定三个问题：问题一，高度保持不变巡航过程中，最大航程马赫数如何变化？问题二，等马赫数巡航过程中，最佳巡航高度如何变化？问题三，以等马赫数保持高度不变巡航，怎么实现？这三个问题都可在升力公式的理解基础上可得以解答。巡航过程中随着燃油消耗，飞机重量逐渐减小，巡航时升力等于重力，所以需要的升力应逐渐减小。回答问题一：高度不变则空气密度不变，所以式（8）中的速度v应逐渐减小，所以最大航程马赫数逐渐变小。回答问题二：由于v不变，则应降低，即最佳巡航高度应逐渐升高。回答问题三：高度不变则 不变，马赫数不变则v不变，巡航过程中S不变，所以降低升力需要CL逐渐减小。CL迎角和构型有关，巡航时构型不变，所以需要迎角逐渐减小。迎角减小则阻力减小，推力等于阻力，所以需要逐渐减小油门以逐渐减小推力。

6 结语

本文主要围绕《飞行性能与计划》课程，通过实际高度与指示高度的关系、声速与温度的关系、真空速与指示空速的关系、升力的含义等知识点为例，阐述分析了坚持问题为导向，提高学生思维能力，尤其是数学思维能力的教学案例。此外，有关如何提高学生基本理解能力及分析解决问题能力的具体案例作者另有文章论述。