问题与征解

问题

问题18(供题者:北京大学 冯荣权、许地生) 用Mn()表示所有n阶实方阵构成的集合,则在矩阵加法和数乘下,Mn()为实数域上的n2维线性空间.证明:Mn()的任一超平面(即n2-1维子空间)中都存在正交矩阵.

解答

问题9(供题者:东南大学 陈建龙) 设A为3阶实对称矩阵，它的3个特征值为λi(i=1,2,3)，满足λ1=λ2≠λ3，α1，α2为属于特征值λ1的线性无关的特征向量.证明A由λ1，λ3，α1，α2唯一确定.

我们提供两个解答，分别由杨雪和贾经纬给出.提供本题正确解答的还有读者(以姓名拼音为序):彭凯军(合肥工业大学，E-mail:kaijunpeng@hfut.edu.cn)；张伟(兰州大学，E-mail:zhangw@lzu.edu.cn).

解答1以下解答由杨雪(北京科技大学数理学院研究生，E-mail：s20200729@xs.ustb.edu.cn)给出.

解答2以下解答由贾经纬(内蒙古大学数学科学学院,E-mail:jialixin203@163.com)提供.

证问题9可推广如下：

设A是一个n阶(n≥2)实对称矩阵，1个n-1重特征值λ1，1个单特征值λ2，α1，…，αn-1为属于特征值λ1的线性无关的特征向量，则A由λ1，λ2，α1，…，αn-1唯一确定.

事实上，将α1，…，αn-1采用施密特正交规范化过程后得到的向量组记作e1，…，en-1，则U=(e1，…，en-1,αn)是一个n阶正交阵，

因此

供题者点评本题是一个经典的反问题，即已知实对称矩阵的特征值与部分特征向量，求出原矩阵.一般教材只给出具体例子的求法，但读者应思考为何那里的解法决定的矩阵是唯一的.此题本来是想面向非数学专业学生练习的，现提供的两种解法均是正确的，特别是解法2给出了推广情形，并得到了一个具体表达式，这是出题者更喜欢的.当n=3时，此表达式还可进一步化简，只与已知条件有关，读者可再思考一下.

问题12(供题者:国防科技大学 王银坤) 证明:对于n≥1且n为整数,等式

成立.

我们提供两个解答,分别由张伟和曹子昂给出.提供本题正确解答的还有读者(以姓名拼音为序):陈超平(河南理工大学，E-mail:chenchaoping@sohu.com)；石勇国(内江师范学院E-mail:matshi@126.com)；吴发乾(广西科技师范学院,E-mail:903477542@qq.com)；杨宇明(电子科技大学,E-mail:yangym@uestc.edu.cn).

解答1以下解答由张伟(兰州大学数学与统计学院,E-mail:zhangw@lzu.edu.cn)提供.

解答2以下解答由曹子昂(湖南农业大学信息与智能科学技术学院2021级本科生,E-mail:1940545459@qq.com)提供.

(1)

而

代入(1)式得到

即证等式当n=m+1时也成立.由数学归纳法，原等式对所有正整数n成立.