最优化方法课程中融入专题研究型教学方法的探索与实践

贺素香， 周树民

(武汉理工大学理学院数学系，武汉 430070)

1 引 言

最优化方法于19世纪40年代末形成一个数学分支，它是研究从众多方案中选择某方案以达到目标最优的学科.最优化方法拥有比较完善的知识体系，课程内容不仅涉及到决策问题的最优解的理论特性，还涉及到寻求最优解的计算方法及其在实际问题中的计算性能表现[1-2].伴随着近代科学技术的发展，特别是高速度大容量电子计算机的普及和优化计算方法自身的发展，最优化方法已渗透到航空航天、生命科学、工程技术等自然科学领域和经济金融等社会科学领域.因此，最优化方法目前已成为许多高校为高年级本科生开设的一门十分重要的课程.

为了激发学生学习最优化方法课程的热情，并且让学生切实掌握这门课程的基本概念和方法，许多教育工作者从课堂教学模式、教学理念、教学方法等方面对这门课程开展了研究和探索.例如，参考文献[3]提出了基于研究型教学理念的数学建模和最优化课程建设设计，并取得了良好效果；参考文献[4]对这门课程的教学方法进行了研究与实践，提出了相应教学改革方案，并给出了相关教学方法在课程中的实践模式；参考文献[5]从这门课程的算法实现角度，探讨了基于Matlab的微课设计教学形式, 从而满足了不同学生的兴趣和需求，达到了理想的教学效果；参考文献[6]基于教学研究中的一些新理念和新方法，张襄松和马元魁对这门课程的教学模式进行了有益探索.

结合上述教研特性，笔者探索在这门课程中融入专题研究型教学方法.专题研究型教学方法是相对于传统的以知识传授为主的课堂教学而提出的一种教学方法，它倡导以课程内容中的一些难点、重点或者学科前沿问题为研究主题，通过查阅资料、分析思考、课堂讨论和撰写研究报告以使学生最终深入理解和熟练掌握相应专业知识点，同时提高学生的自主探究和独立思考能力.作为一门蓬勃发展的年轻学科，最优化方法的每一个分支都在不断涌现新的理论、方法和应用，因此在最优化方法课程中融入专题研究型教学方法对培养学生的科研意识和创新性思维等十分必要.

最优化方法作为笔者学校信计专业大三学生的一门选修课程，不仅注重介绍优化方法的基本思想和原理，还注重培养学生对所学优化算法的实际应用能力，相应开设了上机实验课.在掌握最优化基本方法的基础上，通过上机实验课的实践训练，学生可以充分运用所学的数学基础知识对实际问题进行分析、归纳和提炼，从而建立相应的最优化模型，然后在选择适当的优化算法的前提下，编写计算机程序进行实际问题的求解，最后对计算结果进行分析和总结.这门课程的开设在提高学生的数学素质和数学修养方面起着重要作用.针对学生在最优化方法课程学习中普遍反映的一些算法思想原理太抽象而难以深入理解，从而导致传统的课堂讲授很难达到预期的教学效果，笔者结合最优化方法的特性和笔者学校开设最优化方法课程的宗旨以及自身从事最优化理论与方法领域的教学和科研经历，将从基于最优化方法课程内容的专题设计、专题研究型教学方法的实践和教学效果等方面探讨在这门课程的知识传授中融入专题研究型教学方法.

2 基于最优化方法课程内容的专题研究设计

在最优化方法课程中融入专题研究型教学方法旨在为学生构建合理的优化方法知识结构，深入理解基本优化方法思想，了解最优化方法学科发展的前沿和实际应用，激发学生对学科前沿存在的问题的研究热情以及培养学生的创新思维能力，因此，如何从最优化方法课程中提炼出具有代表性的专题研究是至关重要的.笔者学校为信计专业开设的最优化方法课程内容主要分为线搜索方法、无约束优化方法、约束优化方法和现代优化方法四个部分.基于这些内容，下面具体探讨专题研究的设计思想.

在线搜索方法中，精确线搜索中的黄金分割法是一类很有重要意义的方法.黄金分割法的基本思想是通过选取试探点使包含极小点的搜索区间不断缩短，直到区间长度满足一定的精度要求.具体地说，黄金分割法对两个试探点的选取要求满足两个条件，即两个试探点在区间中的位置是对称的，为了减少计算量，在下次迭代中保留一个旧试探点，只增加一个试探点.基于对试探点的这两个要求，在每次迭代区间长度的缩短率相同的条件下，黄金分割法中的区间长度的缩短率恰是著名的黄金分割数，并由此得到两个试探点的表达式.黄金分割法仅要求函数在搜索区间上为单峰函数即可，不要求可微，甚至不要求连续，在迭代中只用到函数值，要求的条件十分宽松，因此适用范围很广.黄金分割法中的黄金分割数蕴含着神奇之美，它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用.进一步在发现相邻两个斐波那契数的比值随序号的增加而逐渐趋于黄金分割数的基础上，产生与黄金分割法紧密相关的斐波那契法，并且理论表明斐波那契法的收敛速度快于黄金分割法.鉴于黄金分割法的重要作用和黄金分割数的特殊意义，考虑设计黄金分割法的研究专题，研究内容包括黄金分割法的起源、黄金分割法的应用和黄金分割法的计算实例，由此不仅让学生欣赏到数学的魅力之处，还能够培养学生发现隐藏在数学奇妙背后的有价值的数学方法的洞察能力.

在无约束优化方法中，Newton法是一种比较有代表性的方法，也是机器学习中常用的一种优化算法.Newton法的核心在于牛顿方向，此方向可以从目标函数的二阶近似的角度去推导.当搜索步长为1时，Newton法即为经典Newton法.尽管经典Newton法具有很好的二阶局部收敛性，但是它对初始点的要求比较苛刻，如果初始点选择不当，则得到的迭代点序列可能会远离原问题的最优解.为此，阻尼Newton法修正了经典Newton法中步长为 1的不足，在迭代中取步长为最优步长或者非精确步长，由此得到的阻尼Newton法具有很好的全局收敛性，甚至在一些较强的假设条件下具有至少二阶的收敛速度.但是，在阻尼Newton法中仍然需要计算牛顿方向，牛顿方向中含有目标函数的Hesse矩阵的逆矩阵，Hesse矩阵可能会非奇异或者病态，则会导致无法确定搜索方向或搜索方向不是下降方向.鉴于此缺陷，于是出现了若干种从不同角度考虑的修正Newton法，如对原Hesse矩阵添加修正项的修正Newton法.然而这些修正Newton法仍然涉及到计算目标函数的Hesse矩阵及其逆矩阵，计算成本较高.针对这种计算量大的问题，拟Newton方法不考虑计算目标函数的二阶导数，而仅需计算其一阶导数，从而得到基于拟牛顿方程的近似目标函数的Hesse矩阵或者其逆矩阵的矩阵迭代式.拟Newton法的Davidon-Fletcher-Powell(简写为DFP)方法和Broyden-Fletcher-Goldforb-Shanno(简写为BFGS)方法是拟Newton法的两种代表性方法，并且相应的BFGS公式在信赖域方法和序列二次规划方法中起着重要的作用.之后优化学者Broyden提出了涵盖DFP方法和BFGS方法的Broyden族方法.因此，鉴于Newton法的特性与作用，考虑设计Newton法的研究专题，研究内容包括(拟)Newton法的产生、(拟)Newton法的发展、(拟)Newton法的应用和(拟)Newton法的数值实验，从而培养学生的发展性思维、独立思辨能力及创新性意识.

在约束优化方法中，序列无约束极小化方法是一类求解约束问题的主要方法，其主要包括罚函数法和增广Lagrange法.罚函数法是利用原问题的目标函数和约束条件构造新的目标函数——罚函数, 从而通过求解一系列以罚函数为目标函数的无约束最优化问题以获得原问题的最优解.罚函数法结构上比较简单，易于操作，对初始点没有要求，因此，罚函数法在数值计算中具有很广泛的应用.但是罚函数法的缺点在于收敛速度通常比较慢；它要求罚因子趋向于无穷大，这样会使得罚函数的相应Hesse矩阵的病态程度变得越来越严重；另外，或者需要求解以1范数为罚函数的不易求解的非光滑优化问题.尤其内罚函数法在具体实施时又必须要求初始点是严格可行的，而这需要耗费相当大的工作量.与罚函数法相比，由于引入了Lagrange乘子，增广Lagrange法不需要罚参数趋向于无穷大，而是仅要求罚参数大于某一阀值即可.增广Lagrange函数法的优点还在于增广Lagrange 函数具有与原问题中函数相同的光滑性，这使得它在数值实现时表现得相当有效，因此，近几十年来，它不仅在最优化的传统分支中得到了深入研究，而且在最优化的新兴分支中也得到了有效应用.鉴于增广Lagrange方法的蓬勃发展潜力，考虑设计包括增广Lagrange方法的提出、增广Lagrange方法的特性以及增广Lagrange方法的应用的研究专题.由此增强学生对最优化方法课程的系统性认识，即由约束问题的求解到无约束问题的求解，由不考虑乘子的罚函数法到考虑与约束问题的最优性条件相关的乘子的增广Lagrange法，同时培养学生对所学方法在实际应用中的探究能力，深刻理解增广Lagrange法在学科前沿问题中展现的有效性.

在现代优化方法部分中，粒子群算法是基于对简化的社会模型的模拟而提出的，它被认为是蚁群算法、鱼群算法之外的一种群体智能的优化算法.粒子群算法的基本原理可简单描述为：一个由若干个粒子组成的群体在搜索空间中以一定的速度飞行，每个粒子在进行搜索时考虑到了自己搜索到的历史最好点和群体内其他粒子的历史最好点，在此基础上进行位置的更新和速度的调整；其中所有的粒子都有一个由被优化的函数决定的适应值，若所有粒子达到了预设的足够好的适应值或迭代次数，则停止搜索.与遗传算法相比，尽管粒子群算法也是从一个随机初始解开始进行迭代，同样采用适应值以评价当前解是否被接受，但它不采用交叉与变异操作，而是粒子们在搜索空间中追随其最优粒子以搜索全局最优解.粒子群算法由于其简单性、易于实现、无需梯度信息、参数少及其天然的实数编码特点适合处理实际优化问题等优点，近年来它备受人工智能领域学者们的青睐.因此，鉴于粒子群算法的良好性能及其广泛的实用性，考虑设计包括其研究背景、原理及其应用的研究专题.由此让学生理解与传统优化算法思想不同的现代智能优化算法的特色与性能，培养学生善于观察和思考的能力，激发学生敢于突破已有方法的束缚而勇于探索新方法的热情.

除了上面具体探讨的研究专题的设计外，其他还有很多研究专题可以考虑设计，如约束优化问题的最优性条件专题、最小二乘问题的专题、信赖域方法的专题、共轭梯度方法的专题和可行方向法的专题等等.

3 专题研究型教学方法的实践

基于设计好的有待研究的专题，为了充分发挥专题研究型教学方法在最优化方法课程中的实施效果，笔者学校最优化方法课程组从组建专题研究小组、制定专题研究计划、组织专题研究讨论、撰写专题研究报告以及设定专题研究考核方式等五个方面对其进行具体探讨和实践.

3.1 组建专题研究小组

为了培养学生的良好合作学习能力，为了集思广益，让学生从专题研究中真正领会最优化方法的学科内涵以及取得更好的研究效果，任课教师在第一次课时就阐明分组原则.教师首先根据选课的人数确定好由2～3人组成的小组数目，结合学生所在班级的班委意见，选出组织能力强、有责任心、学习成绩好的同学担任小组组长，负责开展小组的专题研究活动.然后小组组长根据同学的学习情况和个人特长组建小组成员后，小组选择感兴趣的专题，要求组员明确自己的任务，发挥自身的优势，组员间更要相互信任、支持和配合.教师通过组建小组展开专题研究，有利于学生之间的沟通、激励、启发和理解，培养学生的团队精神、学习动力和创新能力，增强学生的凝聚力，激发学生的学习热情，促进学生素质的共同提高，最终达到完成专题研究的有效结果.

3.2 制定专题研究计划

在专题研究小组及其选题确定好后，小组成员则需要根据选题的基本内容查阅相关文献资料，进一步细化研究内容和明确研究目标.授课教师根据教学基本要求及教学进度安排，组织各小组讨论专题研究课题的具体计划细节，包括课题的研究背景与意义、国内外研究现状分析、研究内容与目标、研究方案、时间进度安排、预期研究结果以及各组员的任务分工，然后小组选出一位思维缜密、擅长写作的组员负责写出一份相应的课题实施计划书.通过制定专题研究计划，各小组则会对所选的专题研究现状有广泛的认识、对研究内容有更清楚的理解、对研究目标有更准确的把握及对专题研究的完成有更细致的时间安排等，从而为专题研究任务的顺利完成奠定基础，进一步也为学生今后申报大学生创新创业项目及撰写毕业设计论文的开题报告等积累经验.

3.3 组织专题研究讨论

根据各小组的专题研究计划安排，当与某组专题研究相关的知识点授课结束后，授课教师在后续课堂上组织学生进行十分钟的专题研究讨论.首先，该组对开展的专题研究进展情况做出汇报，包括已经取得的结果、目前遇到了哪些问题和预计采取的措施以及下一步的工作计划等.每次一人汇报，组员可做补充，其他组的组员提出疑问或建议，鼓励全体学生积极参与讨论，从而发现新问题和新想法.最后，教师对本次讨论做出点评.专题研究讨论的模式为学生的学习积极主动性的调动、学生自主学习最优化方法热情的激发、语言表达和沟通能力的提高及各组间共同学习、共同分享研究成果氛围的促进等提供良好平台，更为学生今后顺利通过职场面试提供技能储备.

3.4 汇报专题研究成果

专题研究完成后，授课教师指导各小组对研究成果进行分析总结和认真梳理，并按照学术规范撰写专题研究结题报告，包括研究目标和执行情况概述、研究工作主要进展和取得的主要成果、存在的问题和建议及需要说明的情况.然后，教师把各组完成的结题报告放在QQ群中供各小组互相交流学习，尤其不同选题的小组间可分享到最优化方法课程中的不同方法的原理、数值计算性能及应用的实质，甚至相同选题的组间可领会到各组的研究水平、思维深度与广度和创新能力的差异.最后，教师组织各组进行五分钟的专题研究答辩，即通过提炼专题研究结题报告，将研究成果以幻灯片的形式汇报给大家，同时接受教师和同学的提问.通过专题研究成果的汇报过程，学生对最优化方法课程中的基本思想原理的理解得到夯实，学生的逻辑思维、归纳分析、提炼总结等能力得到提升，而且学生的公众场合的演讲能力和水平也会得到提高.

3.5 设置专题研究考核方式

为了切实发挥专题研究教学方法的作用，提高专题研究教学方法的成效，促进学生积极参与专题研究的教学活动，有必要设置专题研究考核方式细则.根据前述的专题研究实践方式，最优化方法课程组将专题研究的考核内容细分为四部分：

(i) 专题研究计划考核 (20%)：此部分主要考核学生对最优化方法课程专题研究的工作态度、对教材与相关文献资料的阅读与综述能力、对研究内容与方案的明确度、对时间进度安排的合理性等；

(ii) 专题研究讨论考核(20%)：此部分主要考核学生对专题研究讨论的参与度，即是否热心参与讨论？是否积极发表意见？是否勇于提出问题？

(iii)专题研究结题报告的考核(40%)：此部分主要考核学生的研究能力、写作与总结提炼能力及撰写规范性等；

(iv) 专题研究答辩的考核(20%)：此部分主要考核学生的答辩态度、对研究内容的讲解、观点的表达及对所提问题的反应等.

4 专题研究型教学方法的教学效果

课程组从2016年在最优化方法课程中开始实施专题研究型教学方法以来，共进行了四轮次教学实践.每次教学实践结束后，课程组都会对各小组进行问卷调查，内容主要涉及对专题研究教学方法、专题研究选题、专题研究实践方式方面的满意度以及组员的心得体会.下表给出了2016年至2019年期间课程组对开展的专题研究型教学方法实践过程中选课学生进行的满意比(满意人数/选课人数×100%)问卷调查的反馈汇总表：

表1 2016年至2019年期间专题研究型教学方法的满意比调查表

从反馈结果看，大部分学生对在最优化方法课程中实施专题研究教学方法比较满意，并且学生普遍反映他们不仅深刻理解了最优化方法的思想原理，了解了最优化方法的发展前沿，还获得了传统授课方法所不能培养的诸多能力.例如，一个小组选择了关于Newton法的专题研究，为了验证阻尼Newton法优于传统Newton法的理论结果，小组不满足于教材中例子给出的对比数值结果，他们还查阅了最优化方法经典算例集，对其中的四个算例进行了数值计算，并在阻尼Newton法的数值实验中还采用了不同的线搜索技巧，给出了更详细的对比数值结果，结果进一步说明了阻尼Newton法的全局收敛性的优越性以及阻尼Newton法中线搜索技巧选取的重要性.再如，一个小组选择了增广Lagrange乘子法的专题研究，为了理解罚函数方法的病态问题，他们还查阅了罚函数方法的文献，从理论上深刻理解罚函数方法的这种不足，然后根据对比数值试验，加强了对增广Lagrange乘子法的优越性认识.

学生们普遍认为通过这样的专题研究实践过程，他们的学习积极性与科研探索性得到了激发，动手实践、合作交流、论文写作及灵敏应变等能力得到了提升，为将来的进一步深造或者走向工作岗位奠定了基础.

5 结 论

专题研究型教学方法为笔者学校最优化方法课程的教与学已初步注入了活力，很好地体现了“学生为主体，教师为主导”的教育理念，它的实践不仅使学生受益，也对教师不断更新知识、提升业务能力提出了更高的要求.因此，为了让学生今后更好地在最优化方法的课程学习中享受到获取知识与提高能力的乐趣，课程组仍需要不断提升自身的专业素养和探索新的实践方式及更丰富的专题设计以充分发挥专题研究型教学方法的优越性.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.