双重逆极限空间中极限跟踪性与弱Specification性的研究

冀占江，张更容

(1.梧州学院 大数据与软件工程学院,广西高校图像处理与智能信息系统重点实验室,广西 梧州 543002;2.湖南第一师范学院 数学与计算科学学院,湖南 长沙 410205)

在动力系统(X,f)的研究中，由于连续映射f不一定是同胚的，因此系统(X,f)是不可逆的.为了克服这种不可逆性，学者在逆极限空间中引入与f相关的移位映射σf，由于移位映射σf是同胚的，这就为研究移位映射σf的动力学性质带来了很大方便，很多学者通过研究逆极限空间上移位映射σf的动力学性质来揭示原空间X上自映射f的动力学性质，至今为止逆极限空间的理论已经非常成熟[1-5].随着动力系统的发展和问题研究的深入，人们发现逆极限空间中有限个符号已经难以解决生活中的实际问题.文献[6-7]将逆极限空间的概念推广到双重逆极限空间，双重逆极限空间上的理论尚不完善，有待进一步研究.跟踪性和弱Specification是在动力系统中非常重要的概念，不仅与系统的稳定性密切相关，也与其他学科的发展联系紧密[8-15].论文受文献[8-9]研究思路的启发，给出双重逆极限空间上极限跟踪性和弱Specification性的概念，利用自映射f∘g与移位映射σf∘σg之间的关系，得到如下结果：映射f∘g具有极限跟踪性当且仅当移位映射σf∘σg具有极限跟踪性，映射f∘g具有弱Specification性当且仅当移位映射σf∘σg具有弱Specification性.从而推广和改进了文献[8-9]的结果，为极限跟踪性和弱Specification性在其他学科的应用提供了理论支撑.

1 基本概念

定义1设X，Y是拓扑空间，称f是一个同胚映射，如果f:X→Y是一个一一映射，并且f和f-1都是连续的．

定义2[6]设(X,d)是紧致度量空间，f:X→X，g:X→X连续映射，f∘g=g∘f，记集合

定义移位映射σf∘g:Xf∘g→Xf∘g为

则σf∘g是同胚映射，并且σf∘σg=σg∘σf，i,j∈.

定义3设(X,d)是度量空间，f:X→X连续，称f具有极限跟踪性，如果对任意的极限伪轨{xi}i≥0，存在y∈X，y极限跟踪{xi}i≥0.

定义5设(X,d)是紧致度量空间，f:X→X，g:X→X为同胚映射，

定义7[9]设(X,d)是紧致度量空间，f:X→X连续，称f具有弱Specification性，如果∀ε>0，∃M=M(ε)>0，任取X中序列{xi}i≥0，任取满足0≤ai≤bi

注2仿照f具有弱Specification性的定义，下面给出双重映射f∘g有弱Specification性的概念.

2 主要结果

定理1设(X,d)是紧致度量空间，f:X→X，g:X→X都是同胚映射，且f∘g=g∘f，则f∘g具有极限跟踪性当且仅当σf∘σg具有极限跟踪性.

证明假设f∘g具有极限跟踪性．由于X是紧致度量空间，故X是有界的，令M=diam(X).对任意的ε>0，存在m1>0，n1>0满足

由f和g一致连续性知，对ε>0，存在0<δ1<ε，对任意的0≤i≤2m1和0≤j≤2n1，当d(u,v)<δ1时，有

d(figj(u),figj(v))<ε.

(1)

则存在N1∈+，当s,t>N1时，有

故对δ1>0，存在N2∈+，当s,t>N2时，有

由(1)式知，当s,t>N2，0≤i≤2m1，0≤j≤2n1时，有

(2)

figj(yh,k)=figj(fm1-hgn1-k(x))=fm1-(h-i)gn1-(k-j)(x)=yh-i,k-j，

当|h|>m1或|k|>n1时，有

当|h|≤m1，|k|≤n1时，令m1-h=i，n1-k=j，则0≤i≤2m1，0≤j≤2n1，有

故当s,t>N2时，由(2)式有

因此，当s,t>N2时，∀h,k∈，有

假设σf∘σg具有极限跟踪性. ∀η>0，存在m2>0，n2>0，满足

由f和g一致连续性知，对η>0，存在0<δ2<η，对任意的0≤s≤2m2和0≤t≤2n2，当d(u,v)<δ2时，有

d(fsgt(u),fsgt(v))<η.

(3)

d(fg(yi,j),yi+1,j+1)<δ2.

由(3)式知，当i,j>N3，0≤s≤2m2，0≤t≤2n2时，有

d(fs+1gt+1(yi,j),fsgt(yi+1,j+1))<η.

(4)

易知

当|h|>m2或|k|>n2时，有

当|h|≤m2，|k|≤n2时，令m2-h=s，n2-k=t，则0≤s≤2m2，0≤t≤2n2，并且有

故当i,j>N3时，由(4)式有

则当i,j>N3时，∀h,k∈，有

定理2设(X,d)是紧致度量空间，f:X→X，g:X→X都是同胚映射，且f∘g=g∘f，则f∘g具有弱Specification性当且仅当σf∘σg具有弱Specification性.

证明设f∘g具有弱Specification性．由于X是紧致度量空间，故X是有界的，令T=diam(X).∀ε>0，∃m1>0，n1>0，满足

由f和g一致连续性知，对ε>0，存在0<δ<ε，对任意的0≤k≤2m1和0≤h≤2n1，当d(u,v)<δ时，有

d(fkgh(u),fkgh(v))<ε.

(5)

由(5)式知，当0≤k≤2m1，0≤h≤2n1时，对任意的i,j∈，ai≤m≤bi，cj≤n≤dj，有

(6)

figj(ys,t)=figj(fm1-sgn1-t(xm1,n1))=fm1-(s-i)gn1-(t-j)(xm1,n1)=ys-i,t-j，

当|s|>m1或|t|>n1时，有

当|s|≤m1，|t|≤n1时，令m1-s=k，n1-t=h，则0≤k≤2m1，0≤h≤2n1，再结合(6)式可得

故对任意的i,j∈，ai≤m≤bi，cj≤n≤dj，有

则σf∘σg具有弱Specification性.

3 结束语