借力使力 巧解难题

王桂华 李树祥

同学们在平时的训练中时常会遇到一些感觉无从下手的题目，这些难题如何解决呢？这就需要善用科学思维，通过知识迁移，借用相关知识，从而达到借力使力，顺利求解的目的。现以几道简谐运动题目为例分析如下。

一、借助列表法

在实验问题中，处理数据的一种重要方法就是列表法，即先根据实验数据列表，再根据表中数据得出相应的结论。若简谐运动题目中也给出了一部分数据，但无法利用这些数据根据公式列方程求解时，则可以借助于列表法。

例1如图1所示，某同学看到一只鸟落在树枝上P处，树枝在10s内上下振动了6次。鸟飞走后，他把50 g的砝码挂在P处，发现树枝在10s内上下振动了12次。他把50 g的础码换成500 g的砝码后，发现树枝在15s内上下振动了6次。根据上述数据估计鸟的质量最接近（）。

A.50 g B.200 g

C.500 g D.550 g

分析：本题中给出了一系列数据，绝大多数同学会试图利用这些数据通过计算作答，但涉及的简谐运动周期公式T=2属于中学物理的学习范围，导致很多同学无法正确求解。如果我们借用列表法来处理此题，那么就可以順利求解了。

解：根据题述数据列表如表1所示，猜想小鸟的质量与树枝的振动情况有关，然后在相同时间内去比较振动次数与质量的关系，或者在相同的振动次数下去比较时间和质量的关系。因为表中第1、2两行的时间相同，所以可以将第3行的时间也转换为“10”，即将15s振动6次转换为10s振动4次。观察在相同时间内振动次数与质量的关系可以发现，振动次数越多，相应的质量越小，而振动次数“6”介于4与12之间，故其对应的质量“X”应介于50与500之间。

答案：B

二、借助模型

“物理模型”是为了便于研究物理问题，而采取舍弃个别的非本质因素突出主要的本质因素，通过抽象思维或形象思维，运用理想化、简单化和类比等方法，建立的描述某一物体本质或某一物理过程的理想模型。在某些物理问题的求解过程中，若不能直接套用公式求解，则可以考虑先将具体问题抽象成理想模型，再运用模型遵循的物理规律求解相关问题。

例2如图2所示，AEC是一段半径为2m的光滑圆弧，且和水平面AB相切于A点，圆弧AEC的弧长为8 cm。设一可视为质点的物体从C点分别沿光滑斜面CDA和弧面CEA滑至A点所用的时间为tu、t2，从圆弧CEA中点E沿光滑斜面EA和圆弧面EA滑至A点所用的时间为t3、t。请比较t、tz、ts、t，的大小关系。

分析：物体沿圆弧运动时，做的并不是匀速圆周运动;物体沿斜面运动时，斜面倾角未知，则加速度无法求解。如果将圆弧AEC所在的整个圆画出来，其示意图如图3所示，那么就构成了等时圆模型。根据等时圆模型规律可知，物体从C点沿斜面CDA滑至A点和从E点沿斜面EA滑至A点所用的时间相等。当物体沿弧面运动时，因为圆的半径远大于圆弧长度（此圆弧对应的圆心角约为2.3°<5°），所以物体沿圆弧面的运动和单摆类似，都是由重力的分力提供回复力，也就可以把这种运动看成一个类单摆模型，摆长相当于物体做圆周运动的半径，物体运动的周期与振幅无关

解：设斜面CDA的倾角为0，当物体沿斜面CDA运动时，根据运动学公式得2Rsin θ=gt，sin θ（R为圆弧半径），解得s=0.894 s。根据等时圆模型规律得t=t，。当物体沿圆弧面CEA和EA运动时，根据单摆周期公式得。因此ti、tz、ts、t的大小关系为t=ts>t2=to

三、借助图像

根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性地表示成物理图像，将物理量间的代数关系转变为几何关系，运用图像直观、形象、简明的特点，分析求解物理问题的方法称为图像法。当遇到一些难于利用物理公式列方程求解的物理问题时，就可以考虑运用图像法求解。在运用图像法解题的过程中，需要明确图像所表达的物理意义，抓住图像的斜率、截距、交点、面积等关键信息。

例3如图4所示，甲、乙两物体同时经过空中同一水平面上的O，、02两点时的速度相同，甲物体做竖直上抛运动，乙物体是沿竖直方向振动的弹簧振子，O2是其平衡位置，两物体从O，、O，两点向上运动到最高点的高度相同，则两物体谁先到达最高点？

分析：在高中物理教材中没有弹簧振子的周期公式，且题给已知量也很少，如何求解时间呢？因为甲、乙两物体上升的高度相同，初速度相同，所以可以借助u—t图像处理

解：甲物体做竖直上抛运动，加速度不变，乙物体从平衡位置开始向上做加速度增加的减速运动，两物体运动的u—t图像如图5所示，观察图像可以发现，乙物体先到达最高点。

四、借助隔离与整体法

选择研究对象是解决物理问题的首要环节。研究对象选择的合理可以使问题得以简化，反之，会使问题复杂化，甚至无法得以解决。隔离法是指将研究对象从其周围的环境中隔离出来单独进行研究，这个被隔离的研究对象可以是一个物体，也可以是物体的一个部分，广义的隔离法还包括将一个物理过程从其全过程中隔离出来;整体法是指将几个物体看成一个整体，或将看上去具有明显不同性质和特点的几个物理过程看成一个整体过程来处理。隔离法和整体法看上去是相互对立的，实则在本质上是统一的。隔离与整体法广泛地应用在受力分析、动量定理、动量守恒定律、动能定理、机械能守恒定律等问题中。

例4如图6所示，一个质量为m的木块放在质量为M的平板小车上，它们之间的最大静摩擦力是fmax，在劲度系数为k的轻质弹簧作用下，二者沿光滑水平面做简谐运动，为使小车能随木块一起振动，二者不发生相对滑动，则简谐运动的振幅不能大于（）。

A.  B.  C.  D.

分析：高中物理教材中的弹簧振子是弹簧和一个小球相连，本题中是弹簧连接质量为m的木块，木块又放置在小车上，因此需要借助隔离与整体法进行分析。

解：以小车为研究对象，在水平方向上只受摩擦力作用，故其加速度aM。小车与木块不发生相对滑动，由小车和木块组成的整体的加速度a=aM。以由小车和木块组成的整体为研究对象，根据牛顿第二定律得，解得。

答案： A

五、借助题目所给课本外的知识

当遇到一些新材料、新情景和新设问的物理问题时，必须寻找到设问与题目所给材料中的关联点，利用材料中所给知识结合所学关联知识进行分析与求解。

例5简谐运动具有如下特点：

①做简谐运动的物体受到回复力的作用，回复力Fa的大小与物体偏离平衡位置的位移x成正比，回复力的方向与物体偏离平衡位置的位移方向相反，即F=—kx，其中k为振动系数，其值由振动系统决定。

②简谐运动是一种周期性运动，其周期与振动物体的质量的平方根成正比，与振动系统的振动系数的平方根成反比，而与振幅无关，即T=2m

（1）如图7所示，摆长为L，摆球质量为m的单摆在A、B两点之间做小角度的自由摆动，当地重力加速度为g。

a.当摆球运动到P点时，摆角为0，写出此时摆球受到的回复力F的大小。

b.请结合简谐运动的特点，证明单摆在做小角度摆动时周期。

（提示：用弧度制表示角度，当0角很小时，sin θ=0，0角对应的弧长与它所对的弦长也近似相等）

（2）类比法、等效法等都是研究和学习物理过程中常用的重要方法。长度为L的轻质绝缘细线下端系着一个带电荷量为十q，质量为m的小球。将该装置放在竖直向下的匀强电场E中，如图8所示;将细线上端悬点处固定另一个带正电的小球，如图9所示。带电小球在8、9两图中均做小角度的简谐运。动。请分析求出带电小球在8、9两图中振动的周期。

分析：题目给出了简谐运动的周期公式，这是高中物理教材中没有的，要想顺利求解本题就需要借助这个公式分析研究。

解：（1）a.因为单摆摆球所受重力指向平衡位置方向的分力提供回复力，所以F=mgsin 9。

b.根据F=mgsin θ，当0很小时，sin θ=0，0等于0角对应的弧长与半径的比值，0角对应的弧长近似等于它所对的弦长（摆球偏离平衡位置的位移x），得F回mg，即振动系数k=T，将k代入简谐运动周期公式T=2m，得单摆在做小角度摆动时的周期T=2m

（2）图8中，摆球受到重力G、静电力F电和摆线拉力F作用，与重力场中的单摆类比，等效重力G'=G+F电，等效重力加速度g'=g+，将g'代入单摆周期公式T=

图9中，摆球受到重力G、库仑力F库和摆线拉力F作用，与重力场中的单摆类比，两带电小球之间的库仑力始终沿摆线方向，不产生回复力的效果，则单摆周期与重力场中的相同，即T=2m

六、借助简谐运动特点分析非简谐运动问题

简谐运动是指物体在与位移大小成正比，与位移方向相反的回复力作用下的振动。回复力F跟位移x的关系可以表示为F=—kx。简谐运动中各个物理量都是在不断变化的，在远离平衡位置的过程中，因为F=-kx =ma，x增大，F增大，a增大，而a与0反向，所以速率v减小，动量和动能也减小;在靠近平衡位置的过程中，因为F=—kx=ma，x减小，F减小，a减小，但a与v同向，所以v增大，动量和动能也增大。

简谐运动具有周期性和对称性。周期性是指振动的质点经过周期的整数倍时间时，其位移、速度、加速度等物理量将恢复到初始值;对称性是指振动的质点在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率，等大反向的位移、加速度和回复力，振动的质点往返经过同一位置时的速率相等，通过振动过程中任意两点A、B的时间与逆向通过B、A两点的时间相等，通过关于平衡位置对称的两段位移所用的时间相等。

利用简谐运动的上述特点有时可以解决些整体过程并不是简谐运动的问题。

例6如图10所示，—轻质弹簧左端固定，右端系一小物块，物块与水平面之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力都为f，弹簧无形变时，物块位于O点。每次把物块拉到0点右侧不同位置由静止释放，释放时弹簧弹力F大于f，物块沿水平面滑动一段路程直到停止，下列说法中正确的是（）。

A.释放物块时弹簧的弹性势能等于物块在整个滑动过程中克服摩擦力做的功

B.从不同位置释放物块，物块速度达到最大的位置保持不变

C.物块能够返回到0点右侧的临界条件为F>3f

D.物块能够返回到0点右侧的临界条件为F>4f

分析：弹簧振子在不受摩擦力作用时做简谐运动，这是同学们熟悉的。然而，当振子做阻尼振动时，弹簧振子的运动就不再呈现完美的对称性，在整个过程中机械能不断减少，振幅会越来越小，最终停止，这样全过程中振子不再做简谐振动。遇到这样的问题多数同学们会因为无法在脑海中形成正确的运动图景而找不到切入点。实际上，当弹簧振子沿单方向运动时，即使受到弹簧弹力之外的恒力作用，仍然可将它的运动视为简谐运动，依旧可以利用简谐运动的对称性求解相关问题

解：因为有摩擦阻力的存在，物块最终停下来的位置不一定在平衡位置O，所以最终弹簧可能依然存在弹性势能，这样释放物块时弹簧的弹性势能就可能只有部分用来克服摩擦力做功，选项A错误。弹簧弹力与摩擦力平衡的位置为物块速度最大的位置，根据f=—F=kx可知，摩擦力f不变，物块速度达到最大的位置也保持不變，选项B正确。设物块在最左端受到的弹簧弹力为F'，物块向左运动的过程可视为一个简谐运动在一周期内的运动，物块向右运动的过程同样也可视为另一个简谐运动在一周期内的运动。根据简谐运动的对称性可知，在最大位移处物块受到的回复力大小相等，物块第一次从最右端运动到最左端的过程中有F—f=F'+f，再恰好向右运动到0点时有F'-f=f， 解得F=4f。因此物块能返回到0点右侧的临界条件为F>4f，选项C错误，D正确。

答案： BD

总结：借力使力时必须要牢牢掌握问题本身涉及的知识点，例如，求解涉及简谐运动的问题时，要熟练掌握描述简谐运动的振幅、位移、周期、频率等物理量的含义和单摆的周期公式，以及运动过程中各量的变化情况，要正确理解简谐运动的对称性、周期性和适用条件等。当然，求解物理问题可以借用的方法还有很多，上述方法只是抛砖引玉，同学们需要在平时的训练中总结出适合自己的更多方法。

（责任编辑张巧）