圆锥摆模型的探究与拓展

刘万强 肖梦军

圆锥摆是水平面内的匀速圆周运动的典型实例，建立圆锥摆模型，研究其受力特点、运动特点、等效模型及临界问题，突破圆锥摆的动力学分析这一学习难点，可以更好地激发同学们的研究、创造与创新意识。

一、圆锥摆模型的建立

1.模型特点：一根质量和伸长量可以忽略不计的细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球，摆球在水平面内做匀速圆周运动，细线所掠过的路径为圆锥表面。

2.受力特点：如图1所示，摆球只受竖直向下的重力mg和沿细线方向的拉力F两个力作用。这两个力的合力提供摆球做圆周运动所需的向心力F。（也可以理解为拉力F的竖直分力与摆球的重力平衡，拉力 F的水平分力提供向心力）。

3.运动特点：设摆长为L，细线与竖直方向之间的夹角为，摆的周期为T，根据牛顿第二定律得Fn==mr，其中 r=，解得T=。因此周期T越小，圆锥摆转得越快，越大，摆高h=Lcos越小，拉力F=越大，摆球的加速度a=gtan越大。

二、圆锥摆模型的拓展

拓展1：影响周期、加速度等的因素。

根据圆锥摆的运动特点可得，圆锥摆的摆角大小决定拉力的大小，也决定周期、加速度等描述运动快慢的物理量。根据圆锥摆的运动特点可以将其分为以下三种。

1.等长摆：如图2甲所示，其特点是摆长 L相同，周期T=2πLcos由决定。

2.等高摆：如图2乙所示，其特点是摆高 h相同，周期T=2π相同。

3.等角摆：如图2丙所示，其特点是摆角0相同，摆球的加速度a=gtan θ相同。

例1天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转。一根轻绳穿过圆环P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B（m1≠m2）。设两球同时做如图3所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则（）。

A.两球运动的周期相等

B.两球的向心加速度大小相等

C.小球A、B到圆环P的距离之比等于m2：m

D.小球A、B到圆环P的距离之比等于m1：m2

解析：选其中一个小球为研究对象，进行受力分析，受到重力和轻绳的拉力F作用，设轻绳与竖直方向之间的夹角为，小球到圆环P的距离为l，则，解得周期T=。因为任意时刻两球均在同一水平面内，所以两球运动的周期相等，选项A正确。因为连接两球的轻绳的张力F相等，向心力Fn=Fsin 0=mω2lsin ，所以m与l成反比，即选项C正确.D错误。因为向心加速度an=，所以两球的向心加速度大小不相等，选项B错误。

答案：AC

拓展2：“类圆锥摆”问题。

将圆锥摆摆绳的拉力由接触面的支持力等效替代，将不同位置的支持力作用线的交点等效为轻绳的悬点，则其加速度、周期等运动分析与圆锥摆相同，这类圆周运动称为“类圆锥摆”问题。根据类圆锥摆的运动特点可以将其分为以下三种。

1.等长半球摆：如图4甲所示，其特点是摆长L相同，周期T由决定。

2.等高圆环摆：如图4乙所示，其特点是摆高h相同，周期T=2π相同。

3.等角漏斗摆：如图4丙所示，其特点是摆角相同，摆球的加速度a=gtan相同。例2如图5所示，一个内壁光滑的圆锥筒固定在地面上，圆锥筒的轴线竖直。一个小球贴着筒的内壁在水平面内做圆周运动，由于微弱的空气阻力作用，小球的运动轨迹由A轨道缓慢下降到B轨道，则在此过程中（）。

A.小球的向心加速度逐渐减小

B.小球的角速度逐渐减小

C.小球的线速度逐渐减小

D.小球的周期逐渐减小

解析：以小球为研究对象，进行受力分析，如图6所示，根据牛顿第二定律和圆周运动规律得F。=/n5=ma。=v2=mω2r，因此小球在A、B两轨道上运动时的向心力Fn=大小相等，向心加速度an=不变，选项A错误。根据ω= g可知，若半径r减小，则角速度ω增大，选项B错误。根据v=gr 可知，若半径r减小，则线速度v减小，选项C正确。根据T=2π可知，若角速度ω增大，则周期T减小，选项D正确。

答案：D

拓展3：圆锥摆的临界问题。

根据圆锥摆的动力学方程mgtan=mω2Lsin得角速度ω=，可见圆锥摆的摆角越大，角速度ω越大，运动越快。当摆角确定时，仅由重力和拉力（等效于拉力的支持力）的合力提供向心力，此时的角速度ω。称为临界角速度。当摆球实际运动的角速度ω<ω。时，重力和拉力（等效于拉力的支持力）的合力提供的向心力过大，需要其他力（弹力或摩擦力）来削弱;当摆球实际运动的角速度ω>ω。时，重力和拉力（等效于拉力的支持力）的合力提供的向心力过小，需要其他力（弹力或摩擦力）来弥补。圆锥摆临界问题的常见案例有以下四种。

1.接触面弹力与轻绳拉力束缚：如图7甲所示，当ω很小时，物体悬空;当ω较大时，物体与侧壁接触。

2.双绳束缚：如图7乙所示，当ω很小时，轻绳B松弛;当ω较大时，轻绳B绷紧。

3.接触面双弹力束缚：如图7丙所示，当ω很小时，内轨对车轮有压力;当ω较大时，外轨对车轮有压力。

4.弹力与摩擦力束缚：如图7丁所示，当ω很小时，摩擦力指向外侧;当ω较大时，摩擦力指向内侧。

例3如图8所示，内壁光滑的玻璃管内用长为L的轻绳悬挂一个小球。当玻璃管绕竖直轴以角速度ω匀速转动时，小球与玻璃管间恰无弹力作用。下列说法中正确的是（）。

A.仅增加绳长后，小球将受到玻璃管斜向上方的弹力

B.仅增加绳长后，若仍保持小球与玻璃管间无弹力，則需减小ω

C.改变小球质量后，小球仍不受到玻璃管的弹力

图8 D.仅增大角速度至ω'后，小球将受到玻璃管斜向上方的弹力

解析：设轻绳与竖直方向之间的夹角为，小球的质量为m，当玻璃管绕竖直轴以角速度ω匀速转动时，对小球进行受力分析，如图9所示，则Fn=mgtan=mω2r=mω2Lsinθ。增加绳长L后，小球需要的向心力增大，小球有做离心运动的趋势，小球将挤压右侧管壁，玻璃管对小球的弹力斜向下，选项A错误。增加绳长L后，小球做圆周运动的半径增大，要想保持小球与管壁之间无弹力，则需减小角速度ω，选项B正确。改变小球质量后，根据mgtan0=mω2Lsinθ中的质量可被约去可知，小球做圆周运动的半径不变，小球仍不受到玻璃管的弹力，选项C正确。仅增大角速度至ω'之后，小球需要的向心力增大，小球有做离心运动的趋势，小球将挤压右侧管壁，玻璃管对小球的弹力斜向下，选项D错误。

答案：BC

例4如图10所示，半径为R的半球形陶罐固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合，转台以一定的角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，物块陶罐随陶罐一起转动且相对罐壁静止，物块和O点的连线与OO'之间的夹角θ=60°，重力加速度大小為g。下列说法中正确的是（）。

A.若ω=，则物块受到的摩擦力恰好为零

B.若ω=，则物块受到的摩擦力恰好为零

C.若ω=，则物块受到的摩擦力沿罐壁切线方向向下

D.若ω=，则物块受到的摩擦力r=1/3mg

解析：当物块受到的摩擦力为零时，物块只受重力和支持力作用，如图11所示，则Fn=mg mgtan 0=mwRsin 0，解得，选项A正确，B错误。当ω=<ω0时，物块受到的静摩擦力f的方向沿罐壁切线方向向上，选项C错误。当ω=时，物块受到的静摩擦力f的方向沿罐壁切线方向向下，则fcos θ+Nsin θ=mω2r，Ncos θ=fsin θ+mg，其中 r=Rsin θ，解得f=3/3mg，选项D正确。

答案：AD

总结：圆锥摆是生产生活中常见的模型，建立圆锥摆模型，分析其特点可以起到化繁为简、化难为易的作用。掌握圆锥摆（类圆锥摆）模型的受力特点和运动特点，从物理观念来看，可以帮助同学们加深对力的合成与分解的理解，进而应用牛顿运动定律解决动力学问题;从科学思维来看，可以帮助同学们掌握类圆锥摆中应用的等效法，进而提高逻辑思维能力;从科学探究来看，同学们通过寻找向心力的来源，可以进一步理解和掌握圆周运动的动力学问题的探究方法;从科学态度与责任来看，体会等效思想的内涵，有助于提高同学们的科学素养，通过动态分析摆球的受力情况，有利于同学们科学思维观和方法论的形成，为同学们的终身学习、研究和发展奠定基础。

（责任编辑张巧）