数学建模取向的跨学科项目学习——以“体育运动与心率”为例

邹 尧，傅兰英

（浙江省杭州市保俶塔实验学校；浙江省杭州市西湖区教育发展研究院）

一、学习模型：以核心素养发展为中心

1.以数学建模突破项目难点

函数模型是一种重要的工具与数学语言，它从数学的角度分析变量与变量之间的关系、建立函数表达式.通过建立“体重与无氧阈心率”的函数模型，使学生经历选择模型、收集数据、求解模型、检验优化、应用模型的数学建模过程，学习数学建模的方法与步骤.选取以数学建模为主要环节，引导学生经历数学建模的过程，使学生掌握数学建模的基本要领后，再让学生独立开展项目学习，以数学的方法解决实际问题，提升数学核心素养.

2.以跨学科创造新的理解

跨学科项目学习是指学生对两个或两个以上学科的知识体系和认知方法在理解基础上的整合，从而创造出新的理解的学习过程.本项目为跨学科研究项目，在整个研究过程中，数学的角度就是分析变量与变量之间的关系、建立表达式，现实的角度就是研究引发心率变化的主要要素是什么，这些要素的影响程度如何.其中，运用体育、数学、生物等多学科的知识，研究体育运动与心率问题，提升学生的跨学科核心素养.

3.以项目学习激发自我实现

本项目以跨学科项目学习的教学形式、评价体系，开展研究性学习，形成可迁移的实践模型.从生活中发现问题——体育运动时心率会发生变化；从小组讨论聚焦问题的提出——影响心率变化的要素有哪些；从数学建模中分析问题——找到变量之间的关系；从团队协作中解决问题——怎样运动更健康、更有效.融合数学建模思想，借助信息技术工具的支持，运用生物学知识储备，进行体育运动数据的收集处理等，从课内到课外，让学生以全域视野获取相关信息，开展合作探究，在成果的形成过程中，提升学生的创新能力与团队协作素养.具体开展路径与其中蕴含的核心素养如图1所示.

图1 “体育运动与心率”项目开展路径与核心素养

二、学习背景：以问题驱动推进项目学习

1.项目背景与教学重、难点

本项目的实施对象为九年级学生，他们已经学习了一次函数、反比例函数、二次函数这三种模型，具备实施本项目的知识基础，也具有一定的数据分析、逻辑推理、团结协作等能力，并且经历过拓展性课程、STEAM课程，接触过项目化学习.但对于数学建模学习，相对较为陌生，学习具有一定的难度.

由此，确定了本节课的教学重点和教学难点.

教学重点：掌握数学建模的一般方法与步骤，会用数学模型解决实际问题；经历思考发现、提出问题、协作分析、解决问题的学习过程.

教学难点：建立数学模型，借助数据分析和信息技术求解模型、检验与优化模型.

2.驱动型问题与项目概念

本项目从体育运动的诸方面提出与健康或者安全有关的问题.例如，怎样运动才能达到锻炼身体的目的？怎样健康、安全地进行体育锻炼？于是确定了本项目的驱动性问题：怎样科学地进行运动？

本项目需要学生具备的数学核心概念为模型思想、数据分析观念、应用意识与创新意识；跨学科概念为心率与运动的联系、运动对健康的促进、合理运动的认识.

3.项目化学习目标

（1）通过运动中心率的变化发现问题，根据影响心率变化的要素提出问题；

（2）经历选择模型、收集数据、求解模型、检验优化、应用模型的数学建模全过程；

（3）掌握数学建模的一般方法，会用数学模型解决实际问题；

（4）通过查阅文献提出问题，设计、实施方案，合作学习解决问题.

三、学习实践：以数学建模构建项目学习

环节1：分析现状，发现问题

运动时，我们会感觉到心脏跳动得更快.

问题1：运动时影响心率的要素有哪些？

追问1：这些要素的影响程度如何？

追问2：怎样运动更健康、更有效？

学生查阅生物、体育学科的相关资料，对体育运动与心率的关系有一定的知识储备.

环节2：思考讨论，提出问题

在学生查阅资料、了解问题后，进行分组，在小组内交流自己的思考，最终整理分析，提出想要深入研究的问题.在课堂上，学生进行小组分工，制作PPT，汇总大家收集到的资料与观点；课后寻找更多的资料，完善自己的PPT，准备汇报；在下一节课中，提出小组要研究的问题，并分析理由.

各小组分别提出了“运动时间与心率的关系”“运动强度与心率的关系”“体育运动与无氧阈心率”“跑步速度与心率的关系”等问题.研究“体育运动与无氧阈心率”的小组采访了某医院康复医学科的一名医生，具体采访内容如图2所示.

图2 医学专家采访内容

从以上采访中，我们可以得出结论：平时运动时，控制心率在无氧阈心率附近，既安全、健康，又能达到更好的锻炼效果.

在听取各组汇报后，学生在思维碰撞中得出：如果能获得一个人的无氧阈心率值，又能找到运动速度、运动强度、运动时间与心率对应的关系，那么，当这个人运动时心率为无氧阈心率值时，就可以得出对应的运动速度、运动强度、运动时间的值，而这就是这个人适宜锻炼的速度、强度与时间.

综上，建立了本项目的四个子项目：“无氧阈心率”“运动速度与心率”“运动强度与心率”“运动时间与心率”，确定了内容与目标.若要得出适宜的运动速度、强度与时间等，需要先从子项目1“无氧阈心率”开始研究.

【设计意图】由本项目驱动性问题引导学生分析问题，学生在课后通过查阅资料、走访专家、小组讨论，提出了很多可供研究的切入点.项目中涉及一些跨学科知识，由于学生的知识储备不同，学生在处理跨学科问题时会遇到一定的挑战.经历充足时间的资料查阅、专家采访等，学生对生物与体育学科的知识储备有所提升.在研究过程中，学生从情境中发现并提出问题，培养了学生独立思考、提出问题的能力；再由小组协作讨论交流，明确本项目的研究对象与任务，培养学生分析问题的能力.

环节3：数学建模，分析问题

1.定性分析，选择模型

问题2：如何获得无氧阈心率呢？

师生活动：教师布置任务，学生自己查阅文献资料，查找获得无氧阈心率的方法.课堂上，学生分小组分享交流，最后由小组长总结分析.各组学生提出的方法如图3所示.

图3 学生查找的四种获得无氧阈心率的方法

通过大家的总结、分析，发现“个体无氧阈心率推算值计算公式法”最为简便，由公式“无氧阈心率=k1+k2×年龄+k3×身高+k4×基础心率+k5×体表面积”（其中k1，k2，k3，k4，k5为已知常数），代入年龄、身高、基础心率、体表面积即可获得无氧阈心率.

师生活动：学生发现公式中的“体表面积”“基础心率”不易测得，提出疑问，再次查阅资料、小组讨论后，发现基础心率与体重的负三分之一次方成正比，体表面积常用S=0.007 1×身高+0.013 3×体重-0.197 1来计算，即体表面积和基础心率都可以用含身高、体重的关系式来计算、估计.

将年龄记为15，推导出仅用身高、体重来估计无氧阈心率的表达式：（H代表身高，W代表体重）.

师生活动：有学生发现基础心率与身高可以仅用体重来估计.学生经过思维碰撞，提出问题——无氧阈心率是否也可以由体重来估计？于是，需要先找到身高和体重的关系.

课堂中，学生用平板电脑上网查阅得出H=k6W+k7，整理后得到无氧阈心率关于体重的函数模型无氧阈心率=，整个推导过程如图4所示.

图4

【设计意图】学生通过分析研究对象，思考解决“建立无氧阈心率与体重关系”的核心问题.从无氧阈心率的获得方法中发现，可以通过函数模型估计出无氧阈心率的值，这种方法较其他实验测量法更方便.同时，在数学表达式推导的过程中，由学生自己发现问题并解决问题，运用平板电脑在课堂上补充需查阅的资料，结合信息技术提高学习效率.

2.数据收集，求解模型

问题3：能否运用模型，代入自己的体重求出无氧阈心率的值？

追问1：为什么这个函数模型不能直接应用？

追问2：用怎样的方法获得a，b，c的值？

师生活动：通过代入数据计算，可算出系数a，b，c的值.

追问3：我们要收集数据，那么要收集谁的数据？

师生活动：如果要研究我国15岁的学生，网上有数据可以采用；如果要研究特定的人群，如本校九年级学生，就可以选择采用学生的数据.数学模型中a，b，c的意义非常重要，这里用到统计的方法获得时，要注意强调其意义.

学生讨论商议，选择“简易无氧阈测定法”，通过带上心率测量手环，全力跑1000米，跑步过程中最大心率值记为无氧阈心率，多测几次，取平均值.学生来到操场佩戴好手环开始跑步测试，并记录最高心率.体重的收集在课前一周，要求学生早上起床时记录，并计算出一周中的平均体重.

追问4：在得到数据后，我们通过几组数据得出系数a，b，c的值？

追问5：三组数据就能求出系数a，b，c的值，可是这样求出的a，b，c的值合理吗？

追问6：我们能求出多少组a，b，c的值？应该如何处理这么多组系数呢？

师生活动：教师在学生收集数据后，引导学生用数据去完善之前的数学模型.在求解a，b，c的过程中，“取平均”是统计学中常用的方法，可引导学生采用这种方法求解a，b，c的值，可得无氧阈心率=.

而除此之外，还有很多估算系数的方法，如用MATLAB软件计算系数.教师用MATLAB软件将数据代入后，得出数学表达式.

【设计意图】计算对于部分学生来说本就是薄弱环节，对于这个新的函数关系式，体重的负三分之一次方的运算就先难住了他们.采用计算器、iPad中的计算软件，都可以化繁为简，解决学生计算困难的问题.同时，加强信息技术的使用指导，对未来学生自行开展研究做好铺垫.

3.检验优化，应用模型

问题4：如何检验所求数学模型的合理性？

师生活动：先让学生独立思考，提出检验方法.例如，通过对比用关系式计算出来的无氧阈心率与实际测得的心率，研究它们之间的关系；学生在GeoGebra软件上绘制数学模型的函数图象（如图5），再将数据描点进行对比，通过拟合程度来验证；收集九年级其他班级学生的数据，将数据描点，观察其拟合程度等.

图5 GeoGebra软件中绘制的函数图象

追问1：有什么优化模型的方法？

师生活动：学生思考后回答，计算时将“取平均”改用“取方差最小”的方法等，同时数据的获得要控制误差，还可以去掉一些有明显误差的数据.

追问2：在检验优化模型后，模型可以怎样应用？

师生活动：学生回答：我们九年级的学生只要知道自己的体重，代入公式后，就可以计算出自己的无氧阈心率，平时跑步保持在这个心率既安全、健康，又能达到最好的锻炼效果.

【设计意图】在初步得出模型后，模型是否符合实际意义？模型是否能够广泛应用？而模型的检验、优化是必不可少的一个重要环节.模型检验的方法不唯一，可代数运算，也可几何直观.学生通过小组讨论得出检验与优化方案，在此过程中培养学生全面分析问题的能力.

4.归纳总结，反思凝练

问题5：探索以上数学建模的全过程，我们经历了哪些步骤？

师生活动：与学生一起梳理，并利用如图6所示的框图表示数学建模的一般过程.

图6 数学建模的一般过程

【设计意图】本环节的重点是梳理与归纳数学建模的全过程，带领学生回顾从选择模型开始到模型的应用，总结经历的数学建模步骤与方法，为学生构建数学建模的概念.本环节既完成了子项目1的研究任务，又为学生小组合作开展子项目2～4的研究提供了方法.

环节4：团队协作，解决问题

类比子项目1的研究方法，小组合作开展后续的研究.

1.子项目1：无氧阈心率的进一步研究

经历了数学建模的全过程，研究“无氧阈心率”小组进一步对无氧阈心率的函数模型进行研究.通过推理运算，得出无氧阈心率关于基础心率、身高、体表面积的函数模型.具体推理和运算过程如图7所示.在这三个模型中，该小组选择较为简洁的关于基础心率的模型进行计算.在收集了数据后，计算得出的数据差异很大，通过分析、总结，小组学生继续优化数据的收集，若最终计算出的模型不符合实际情况，将重新选择模型.

图7 无氧阈心率关于基础心率、身高、体表面积的函数模型推导过程

【设计意图】本环节是对课堂中仅选择“无氧阈心率与体重”模型的拓展，在课后小组学生选择了其余三个模型“无氧阈心率与基础心率”“无氧阈心率与身高”“无氧阈心率与体表面积”进行函数的推导与计算检验.这是学生在类比数学建模过程的尝试，是学生对于“选择模型”的全面理解.同时，在得出模型与实际不符时，培养了学生分析与判断问题的能力.

2.子项目2：运动速度与心率

研究“运动速度与心率”的小组通过查阅资料，发现跑步时摄氧量与速度之间存在一定关系.在《ACSM运动测试与运动处方指南》中得到：摄氧量=0.2×速度+3.5；在《健身走和跑能量消耗评价模型的构建》中得到：在最大摄氧量范围内，心率y（次/min）与摄氧量VO2呈线性相关.所以该小组推导出心率与跑步速度的函数关系式y=kv+b（k，b为参数，且k≠0），呈一次函数的关系.推导过程与公式如图8所示.

图8 跑步时心率关于跑步速度的函数模型推导过程

为了计算出函数中的系数，该小组学生抽取九年级一个班级的40名学生，让其佩戴上能测量心率的手环，测得不同跑步速度时所对应的心率.在测得实验数据后，取平均值，并将其表示在平面直角坐标系中，通过Excel拟合函数，绘制出了函数图象，如图9所示.我们可以得到，本校九年级学生心率与跑步速度之间的关系为y=10.4x+80.3.

图9 跑步时心率关于跑步速度的拟合函数图象

为了检验函数模型的准确性，该组学生抽取九年级另外一个班级的40名学生，测得在相应速度下心率的平均值，在计算与绘图之后，绘制的点在得出的函数图象附近，即求得的数学模型符合实际情况.

得出结论：结合课堂上得出的无氧阈心率与体重的模型，我们可以将体重代入，计算出其无氧阈心率，此为运动时的适宜心率，再将心率代入心率与速度的函数模型，计算出适宜的跑步速度，大幅提高运动效率.

3.作业与任务设计

类比数学建模的方法，开展子项目3（运动强度与心率）、子项目4（运动时间与心率关系）的研究，并将得出的结论应用于生活，解决生活中的实际问题.

四、学习成果：以项目学习解决实际问题

在建立数学模型后，模型的应用为项目学习的意义所在.学生整合所有小组得出的模型等结论，并进行拓展，提出运动指南.

1.健身房里的运动处方

学生为健身房里的健身教练与运动爱好者提供运动数据与模型的支持，可通过模型计算等方法，得出运动参考与指南.以某位15岁的青少年为例，他的运动方案如图10所示.

图10 某位15岁青少年的运动方案

同时，针对不同年龄的运动爱好者，重新收集数据建立模型，为更多的人群提供更健康、更有效的运动方案.健身教练能更精准地掌握学员情况，为不同的学员制订个性化运动计划.例如，学生为健身房设计了运动建议海报，如图11所示.

图11 为健身房设计的运动建议海报

2.研发app“我的运动规划师”

app在生活中的应用十分广泛，“我的运动规划师”为运动爱好者开启健康、有效的运动指南.app图标如图12所示.

图12 app“我的运动规划师”图标

大部分人因工作忙没时间去健身房健身，没有私教指导，不知道如何安全、正确地健身；网络上攻略太多，不知道采取哪种方式更健康、有效，锻炼效果不佳.

运动数学建模得出的模型，在app中输入个人相关信息的数据，能产生精准的个性化评估与运动计划.

五、学习评价：以评价量规把握学习方向

1.数学建模学习评价

通过经历完整的数学建模活动，归纳与掌握数学建模的一般方法与步骤，并且会用数学模型解决实际问题，是本节课的教学目标.学生在课后能独立开展数学建模活动，运用在课堂中经历的数学建模步骤，以及归纳掌握的方法，能用自己建立的数学模型解决实际问题，从这样的学习反馈中可以分析学生本节课的学习情况.

2.项目化学习评价

（1）项目化学习过程性评价.

项目化学习过程性评价关注的是学生在学习过程中的状况.在学生完成每个项目后，可对照项目化学习过程中的学习评价表对学生的水平进行量化的考核.“数学建模过程”的评价量规如表1所示.

表1 数学建模过程评价量规

（2）项目化学习总结性评价.

为了更好地促进学生个性化发展，在项目结束时，每名学生都会收到一张个性评价单，个性评价单由两个部分组成：分项等级评价单和综合评价单.综合评价部分会根据学生的各项目得分情况形成一张雷达图，如图13所示.整个学习过程是一个迭代的层进式的过程.

图13 学生项目化学习综合评价部分形成的雷达图

六、学习反思：以跨学科走向意义整合

1.项目成效

在本次项目的成效中，通过分析研究对象，在数学表达式推导过程中，培养学生逻辑推理的能力；收集数据，计算模型，培养学生的运算能力；对模型的检验与优化过程中，培养学生数据分析的能力；整个数学建模的过程，培养学生的模型思想，提升数学核心素养.经历此次项目化学习，发展学生的“四能”，达到“三会”的目的.

2.项目收获

项目化学习是一个不断迭代的过程，学生在各个研究环节中都会遇到问题与挑战.项目化学习的意义就在于每名学生都是一个“心智自由的学习者”，而发现问题与解决问题的过程，就是帮助学生成长的脚手架.我们要引导学生从失败中总结经验，利用好“失败资源”，为项目学习奠基，让高阶学习发生.

项目化学习有别于传统的教学，打破了教师固有的学科本位，改变了由教师设计到实施的教学模式.项目化学习应给予学生可选择的空间，同时更具有包容性，尽可能提供多元的学习实践，以满足学生的多元需求.教师在项目设计过程中可通过支架与工具的搭建，支持各项目的完成，如资源型支架、交流型支架、活动型支架等.

3.项目反思

在数学课堂中，开展项目化学习虽然有困难，但我们可以去做一些有意义的尝试，让学生在项目化学习中领略数学学习的意义，在以项目化为载体的教学活动中培养学生的创造性、灵动性，形成可迁移的思维方式，使学生能用数学眼光观察现实世界，用数学方法解决实际问题，让每个孩子成为心智自由的学习者.

七、课例点评

“体育运动与心率”是一节综合与实践领域的项目学习课题，极具挑战性与研究价值.本课例结构设计合理，有完整的实施过程，清晰的探求思路，体现了项目学习的基本样态与跨学科研究新视角.

1.基于生活情境，建立项目研究方向

本项目以“怎样运动更健康、有效”为驱动性问题，启发学生关注民生健康问题，并从现实的角度思考和提出问题：体育运动与心率存在什么关系？以此为总项目，分化出几个子项目，以目标任务驱动的方式引领学生综合运用数学和其他学科的知识与方法，经历制订问题解决方案并解决问题的过程，从而解释核心问题.

2.基于学生综合素养，借助所学探究未知

本课例充分体现了项目学习与传统教学存在不同，即过程的体验性和探究的复杂性.学生已具备函数知识、统计知识，具有一定的逻辑推理能力，以及STEAM项目学习活动经验.在项目实施过程中，教师挖掘学生潜力，鼓励学生合作探究、大胆质疑、勇于创新，合理利用现代信息技术，通过丰富的学习资源探寻不同视角，多维度思考，进而探究得到体育运动与无氧阈心率的关系，真正体会用数学的方法发现生活规律的乐趣，培养创新思维与实践能力.

3.基于未来发展需求，完善科学认知结构

传统函数教学中，学生能够自主完成简单实际问题的建模，应用较为简单，这并未凸显出函数的强大功能.本项目抓住了体育运动与心率的复杂情境、多变量之间的依赖关系，将“定性分析，选择模型”“数据收集，求解模型”“检验优化，应用模型”“归纳总结，反思凝练”等标准化项目实施流程有机地嵌入其中，体现了“函数”主题项目学习的一般路径和基本方法.通过对问题的系统探究，科学构建数学模型，检验优化应用模型，开发的项目产品服务于生活，凸显了项目研究的系统思维.

项目学习对教师的“专业知识是否可以驾驭引领科学探究”提出了新挑战.而优质项目的开发，项目学习路径的优化，激励着教师在专业领域不断学习，只有教师做到“知行合一”“高位审视”，才能引领学生行稳致远.