“项目学习：体育运动与心率”教学设计

王 浩，王 可，胡少臣

（华中科技大学附属中学）

一、教学内容解析

以跨学科实践活动为载体，通过项目化学习的方式，从数学的角度探究体育运动与心率问题，建立相关函数模型，并根据模型对科学运动提出合理建议.

本项目教学预计分为4个阶段完成.课前，学生查阅体育运动与心率的相关文献完成任务清单，为选题和开题做准备；第1课时，教师引导学生从不同角度提出子课题，并设计研究方案，完成选题和开题；课后，学生通过实验收集数据，并借助计算机软件整理、分析数据，从而建立函数模型得到相关结论，完成做题；第2课时，各小组展示作品，交流评价，完成结题.

人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）八年级下册给出了函数的定义，以及函数图象的作法，并在此基础上研究了一次函数的图象及性质，在教材九年级上册研究了二次函数的图象及性质.本次项目教学通过建立函数模型研究体育运动与心率的实际问题，本质是这两个具体函数在实际生活中的应用.

函数模型的建立过程，正是数学思维形成和发展的过程，是函数教学的最终目的和落脚点，也是发展学生的模型思想、运算能力、抽象能力等素养的重要载体.学生在“体育运动与心率”的课题研究中，学会用数学的眼光观察体育运动，用数学的思维思考体育运动，用数学的语言表达体育运动，同时积累大量的数学探究活动经验，为以后的研究拉开序幕.

基于上述分析，确定本项目教学的重点为：体育运动与心率实际问题中函数模型的建立、优化与应用.

二、教学目标设置

本节课的教学目标设置如下.

（1）经历“体育运动与心率”课题研究的全部流程，体验建立函数模型解决实际问题的一般方法.达成该目标的标志为，学生能够利用收集的数据建立模型、求解模型、检验模型、优化模型，最终达到解决实际问题的目的.

（2）在课题研究的选题和结题活动中，加深对函数概念和性质等知识的理解，体会函数的应用价值.达成该目标的标志为，学生能够根据函数的概念，在诸多影响心率的因素中确定合适的自变量来建立函数模型，并且求解出函数模型后，能够利用函数的性质判断心率随时间变化的趋势.

（3）通过本次跨学科实践活动积累相关活动经验，发展抽象能力、数据分析观念、模型思想等数学素养.达成该目标的标志为，学生能够用数学的语言描述实际问题，用数学的思维分析并解决问题，能通过数据分析窥见实际问题背后的数学逻辑及发展趋势.

三、学生学情分析

本次探究活动的授课对象为九年级学生.从知识上看，学生已经学习了函数的定义与函数图象的作法，以及一次函数、二次函数等基本初等函数，并且对这些函数的图象与性质都有深入的了解，能通过图象大致判断函数类型.从能力上看，九年级的学生已经能够进行一些简单的数据收集与整理工作，也能将一些简单的实际问题抽象为数学问题，并通过简单的数学建模解决实际问题.

然而，本次课题探究所涉及的实际问题较为复杂，体育运动的形式多、范围广，对心率的影响因素多，且影响程度不同，学生难以选择合适的子课题，且设计具体、可行的研究方案也有难度.另外，学生虽然能够根据图象猜测函数类型，但他们所学的知识有限，数学建模方法单一，且此前没有接触过利用计算机软件进行数据分析与曲线拟合，不了解模型优化的原理，所以在具体的建模活动中会遇到很多困难，需要教师适时引导.

基于上述分析，确定本项目教学的难点为：确定研究对象，以及进行数据分析.

四、教学策略分析

1.依据数学建模活动的内容和要求组织教学材料

通过精心设计的问题，引导学生根据函数的定义确定“体育运动与心率”课题中便于研究的具体对象，并选择具体的变化过程，从而帮助学生完成选题.

2.依据学情组织教学活动

根据学生的思维特点和认知基础，对重、难点内容——函数模型的建立、检验与优化，采用小组合作、展示交流、质疑追问、互评反思等师生活动来强化重点、突破难点，使学生在尝试和探索中体验数学建模活动中蕴含的数学思想和一般方法.

3.突出数学思想方法的提炼和渗透

通过将抽象的知识具体化、有序化、开放化，在引导学生主动建构数学知识的同时，保持积极、有效的思维活动，培养学生的批判性思维，开阔视野，提升学生分析问题和解决问题的能力、交流合作能力、数学语言表达能力，发展学生的模型思想、数据分析观念、运算能力等素养.

4.运用信息技术提高效率

学生借助计算机软件建模，体会利用信息技术解决程序化问题的优越性，在尝试和探索中掌握方法、体会思想、形成技能；教师借助信息技术工具，为不同基础的学生提供适当的帮助，及时反馈学生在学习过程中出现的问题，提高教学效率.

五、教学过程设计

本次数学建模活动分为选题、开题、做题、结题4个部分，其中选题与开题使用1个课时，结题使用1个课时，做题则由学生课下完成.具体流程如图1所示.

图1 活动流程图

1.课前引导，启动项目

引导语：生命在于运动.随着“双减”政策落地，我们参加体育运动的时间比以往更加充裕.但不论何种形式的运动，都需要有一个合适的心率才能达到较好的运动效果，保持最佳运动心率对于运动效果和运动安全都很重要.那么，运动心率达到多少较为合适？运动中的哪些因素会对心率造成影响？能否运用数学知识来研究这种影响？请大家自主查阅相关文献后完成以下3个任务.

任务1：了解运动中合适的心率范围.

任务2：分析运动过程中影响心率的主要因素.

任务3：你能联想到用哪些数学知识来研究这些因素对心率的影响？并说明理由.

【设计意图】课前抛出3个任务，既揭示本次课题研究的主题，又鼓励学生打开思路，引发学生积极思考.学生通过在课外查阅文献，完成教师布置的3个任务，培养学生自主学习能力的同时，也为第1课时的选题和开题工作做准备.

2.第1课时——“体育运动与心率”课题研究的选题与开题

环节1：学生展示课前预备单完成情况.

师生活动：学生根据课前查阅的相关文献，梳理体育运动中影响心率的诸多因素，明确运用统计和函数的知识来研究这些因素对心率的影响，并在教师的引导下，选出可量化、好测量的因素作为建立函数模型的自变量.

预设影响因素有：运动时长、运动类型、运动强度、性别、体型、有氧或无氧运动等.

学生可能面对的困难：在诸多影响因素中难以准确找出建立函数模型需要的变量.

教师引导：从函数的定义出发，引导学生发现函数研究的变量应具有可量化的特点，并且尽量选择在实际操作中容易测量和收集的影响因素作为自变量，最终将两个变量聚焦为心率与运动时间.

【设计意图】厘清体育运动与心率研究的主要对象，揭示本次课题研究的本质内涵是函数的应用，并为后续选题工作做铺垫.

环节2：提出具体可操作的子课题.

师生活动1：根据函数定义，明确心率与运动时间的函数关系应该放到一个具体的变化过程中去研究，从而引发学生思考“选择在何种变化过程中进行研究”，并在此基础上分小组讨论，拟定本小组想要研究的具体子课题，将“体育运动与心率”的课题研究进一步聚焦.学生小组讨论后，在黑板上写出本小组的子课题，并简单说明理由.

学生可能面对的困难：想研究的子课题过于理想化，实际操作时难度太大.

师生活动2：邀请生物和体育学科的两位教师从各自专业出发，阐述这些子课题的理论依据和研究价值，并共同挑选出其中的3个进入后续研究，学生也合并为3个小组，并分别确定1位指导教师.最后由数学教师从函数角度点评这3个子课题研究的数学本质.

【设计意图】由学生自主讨论并提出本小组感兴趣的子课题，既将研究课题进一步聚焦，又能激发学生的研究兴趣.生物与体育两位教师现身数学课堂，对这些子课题从专业角度进行点评，进一步肯定学生所选子课题的研究价值，为学生的后续研究提供动力.邀请的生物与体育两位教师各担任1个小组的指导教师，帮助学生完成后续研究，加强学科融合.

环节3：完成并展示开题报告.

师生活动：3位不同学科（数学、体育、生物）的教师指导学生完成开题报告，小组讨论具体的研究方案，包括如何获取运动时间和心率的数据，如何整理与分析数据等，最后上台展示开题报告，由教师给予适当点评.

【设计意图】学生通过初步了解数学探究活动的本质，掌握必要的研究方法，学会发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的一般探究思路，在过程中提升合作意识.

3.课外实践，自主探究

（1）收集数据.

学生可能面对的困难1：运动过程中难以准确测量瞬时心率.

教师引导：利用智能手环的监测心率功能，或者手动搭脉记10秒的脉搏跳动次数，再乘以6就可以得到心率数值.

学生可能面对的困难2：数据测量存在误差.

教师引导：可以取小组内多位学生多次测量的数值的平均值，且每次测量前保证学生足够的休息时间，以回到运动前的状态与心率.

（2）分析数据.

学生可能面对的困难1：取得数据后不知道先描绘和观察散点图.

教师引导：提醒学生将数据可视化，选定合适的横、纵坐标绘制散点图.

学生可能面对的困难2：绘出散点图后无法将散点图反映出来的规律抽象为数学语言.

教师引导：鼓励学生先用自然语言描述规律，再将自然语言转化为相应的数学语言.

（3）初步建立函数模型并进行分析.

学生可能面对的困难1：数据拟合后不知道选取哪种函数模型.

教师引导：注意图形与数据的匹配程度，并联系实际情况.

学生可能面对的困难2：不知道如何判断所建立模型的合理性.

教师引导：匹配程度好是预测值与实际值差距较小，可以比较每组数据的预测值与实际值的差距，进而说明问题.

4.第2课时——“体育运动与心率”课题研究的作品展示与交流

环节1：分组展示研究成果.

师生活动：小组项目负责人展示研究成果，其他小组成员做好记录，可在展示结束后提出疑问，由展示小组负责解答.小组互评和教师评价相结合.

环节2：项目总结.

师生活动：学生谈谈对数学探究活动的体会，以及在活动中的收获.

六、项目成果展示

项目作品：慢跑和跳绳运动中心率随时间变化的对比研究.

研究目的：不同的运动项目中，心率随运动时间的变化趋势不同，选取慢跑和跳绳两种生活中常见的运动项目，建立函数模型研究这两种运动中心率随时间的变化趋势.通过对比，可以直观地了解这两项运动各自的优势，从而帮助我们达到最佳的运动效果.

实验方法与步骤如下：

（1）查找与慢跑和跳绳有关的资料，了解这两种运动适当的运动强度.

（2）结合查阅的文献及自身感受，保证实验过程中这两种运动的强度相当.为了避免个体的差异性，两种运动都选择同一人进行，且不同运动之间保持足够的休息以恢复到平静状态.为了减小实验误差，排除性别因素，使实验结果更有说服力，计划安排5位男生同时进行实验，并记录每位学生的心率数据，如表1、表2所示.

表1 慢跑心率的实验数据

表2 跳绳心率的实验数据

（3）将记录的数据整理后输入电子表格，绘制出散点图观察两种运动的区别，再结合实际，选择合适的曲线进行拟合，并得到函数解析式，最后通过函数的性质进一步分析两种运动中心率变化的区别，并对长时间运动后的心率情况进行预测.

如图2，先取生A的慢跑与跳绳心率绘制函数图象，可以看出其跳绳心率基本高于慢跑心率，但只取一位学生的数据可能受到实验误差的影响较大，所以采用5位学生的平均心率，再次绘制如图3所示的慢跑心率与跳绳心率随时间变化的函数图象.

图2 生A的慢跑与跳绳运动中心率随时间变化的函数图象

图3 5位学生的慢跑与跳绳运动中平均心率随时间变化的函数图象

这样得出第一个结论：相同运动时间内，跳绳时的心率普遍高于慢跑时的心率.为了更好地比较何种运动下，心率随时间增加得更快，于是采用一次函数的图象对以上两个图象进行拟合（如图4），比较一次函数的斜率.由此，得出第二个结论：跳绳运动中，心率随时间上升的速度更快.但从图4中可以直观看出，一次函数拟合效果并不算好，所以重新使用二次函数模型对数据点进行拟合（如图5），二次函数拟合效果明显好于一次函数.

图4 5位学生的慢跑与跳绳运动中平均心率随时间变化的函数与一次函数的拟合图象

图5 5位学生的慢跑与跳绳运动中的平均心率随时间变化的函数与二次函数的拟合图象

曲线拟合的一个重要功能是预测，然而心率不会随时间增加而不断增加，也不会出现明显下降，所以一次函数和二次函数模型都不能很好地预测长时间运动后的心率的情况.因此，在提前预习的情况下，决定采用反比例函数模型进行拟合，反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，且逐渐趋于稳定，满足心率随运动时间变化的基本情况，只需要将反比例函数的图象经过适当平移即可找到适用的如下函数模型，再借助Mathematica软件，计算出相关系数，从而得到慢跑和跳绳运动中心率随时间变化的函数拟合图象（如图6、图7）.由函数解析式可以得到，随着运动时间增加，慢跑运动时心率逐渐稳定在180左右，而跳绳运动中心率会不断趋近于211左右.

图6 慢跑运动中心率随时间变化的函数拟合图象

图7 跳绳运动中心率随时间变化的函数拟合图象

然而，为了运动健康着想，运动中心率不宜长时间超过190次/分，由跳绳运动的拟合函数解析式可知，当y=190时，x≈297，也就是运动4分钟到5分钟后心率会达到190次/分.结合以上分析，得出最后一条研究结论：跳绳运动5分钟左右就应该休息一下.

七、教学反思

本项目化学习的教学设计建立在“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的教育理念下，力求让学生感受运用函数概念建立函数模型的过程与方法.若在课题学习中采用情境教学，使学生觉得数学有用又好玩，这样就可以激发学生的学习兴趣和积极性.因此，本节课从生活中体育运动的真实情境出发，让学生在函数定义的引导下选出自己感兴趣的子课题，并在教师的协助下完成开题报告、课外实验及结题展示，最后通过学生的展示，结合学生互评和教师评价实现本节课的教学目标，整个过程体现了学生在本次课题研究中的主体地位.教师与学生共同经历了数学建模的实践活动后，对于本次项目化教学的开展有以下两点思考.

1.数学建模活动应该得到更大的重视

本次数学建模活动中，学生表现出来的积极性远远超出教师的想象.特别是开题后的实验阶段，学生积极思考更完善的实验方案，且频繁、主动地向指导教师汇报自己小组的想法和最新进展，并积极寻求教师的帮助，这种研究热情在平时的教学过程中并不多见.在函数拟合过程中，学生对两个具体函数（一次函数和二次函数）性质的理解更加深刻.更难能可贵的是，学生能主动寻找新的函数模型对心率与时间的函数关系进行刻画，学生在整个建模过程中得到的显性或隐性的收获或已远超传统课堂，所以数学建模活动在初中阶段应得到足够的重视.

2.教师在函数建模活动中给予的指导应该适度

项目化的课题研究对初中生来说是全新的，虽然学生怀有极大的热情，但也会遇到各种困难.学生在这里遇到的困难，往往没有“标准答案”，教师不能将这些问题大包大揽，更不能完全不管，应该以一个学习者的身份，与学生共同探讨解决方案，引导学生积极思考，共同解决问题.特别是在运用函数知识分析数据的过程中，应该让学生大胆尝试、勇于试错，这样得出的结论才能让学生收获成功的喜悦.