双圆弧谐波刚轮刮齿加工原理及刀具设计

莫帅，王赛赛，罗炳睿，岑国建

（1.天津工业大学机械工程学院，天津 300387；2.天津市现代机电装备技术重点实验室，天津 300387；3.宁波中大力德智能传动股份有限公司，浙江宁波 315301；4.江苏万基传动科技有限公司，江苏泰州 225400）

在谐波传动中，齿轮的齿形设计及加工工艺对其传动特性有较大影响.随着科学技术的发展，国内外学者对谐波齿轮做了大量分析研究［1-4］，辛洪兵［1］和王家序等［4］指出双圆弧齿形的谐波减速器具有良好的传动质量.由于齿形复杂，谐波齿轮制造工艺受到极大限制，王仕璞等［3］提出以具有正前角的滚刀加工谐波柔轮，并建立刀具模型；Yoshino等［5］根据单元去除理论提出一种特殊齿形齿轮的插齿刀具设计方法.刮齿作为一种新型齿轮加工技术具有比插齿更高的精度和效率.目前，国内关于刮齿刀具设计方法的研究成果较少［6-15］，其中贾康等［7］基于展成加工原理，给出一种由刮齿前刀面与离散曲面相交构建切削刃的方法；Guo等［9］提出一种无理论误差直齿刮齿刀具结构，并建立数学模型，为刮齿刀具参数优化提供参考.

刮齿加工技术尚未应用到谐波齿轮的加工中.本文以偏离端面一定角度的平面作为前刀面，设计适应双圆弧齿形谐波刚轮加工的刮齿刀具模型，降低刀具加工和磨削难度，使工件具有较小的刃形误差，提高双圆弧谐波刚轮的加工精度和效率.

1 刮齿加工原理

刮齿加工方式与插齿类似，都是基于展成加工原理，区别在于切削的作用方式不同.插齿加工时工件和刀具做无间隙啮合运动，同时插齿刀沿工件轴向做往复切削运动.刮齿加工示意图如图1所示，工件与刀具保持恒定的轴交角，同时做旋转啮合运动和轴向进给运动，工件和刀具由于强制啮合而产生一系列微小沟壑，构成工件曲面.在机床作用下刀具沿径向推进，最终完成齿轮的加工［9］.

图1 刮齿加工示意图Fig.1 Machining diagram of gear skiving

2 谐波齿轮齿廓设计方法

2.1 双圆弧谐波柔轮齿廓方程

双圆弧谐波柔轮齿廓如图2 所示，其基准形式为圆弧-公切线-圆弧.建立柔轮齿廓坐标系XOY，圆弧段圆心坐标Oa（xa，ya）、Ob（xb，yb），其中xa=-ca，ya=ha+hf+da-la，xb=πm/2+cb，yb=hf+da+lb.以柔轮单侧齿廓为例，各参数取值如表1 所示，表中ra和rb分别为凸圆弧和凹圆弧半径，δ为公切线倾角，lf为公切线竖直距离，α为OaB与水平方向的夹角.以齿廓弧长s为变量，建立公切线双圆弧谐波柔轮的凸段齿廓、切线段齿廓和凹段齿廓的分段方程.

图2 谐波柔轮齿廓坐标系Fig.2 Harmonic flexible tooth profile coordinate system

表1 柔轮基本设计参数Tab.1 Design parameters of flexspline

谐波柔轮凸圆弧BC段齿廓方程为：

谐波柔轮公切线CD段齿廓方程为：

谐波柔轮凹圆弧DE段齿廓方程为：

式中：l1=rb{π∕2 -arccos[(lb+hf)∕2]-δ}-cb.

2.2 刚轮齿廓方程求解

谐波齿轮传动过程中，柔轮因为波发生器的作用而发生变形，因此常用包络法求解谐波刚轮齿廓［10］.图3为谐波齿轮传动坐标系，在图3中，当柔轮在谐波发生器的作用下沿原始曲线Cl运动时，齿廓曲线Rl的包络即为所求刚轮齿廓Gl.

图3 谐波齿轮传动坐标系Fig.3 Harmonic gear drive coordinate system

谐波齿轮传动的基本设计参数如表2 所示.其中柔轮径向最大变形量w0取0.5 mm，设柔轮和刚轮齿廓坐标分别为（xr，yr）、（xg，yg）.

表2 谐波齿轮传动基本设计参数Tab.2 Basic design parameters of harmonic drive

方程（4）为谐波柔轮齿廓坐标系向刚轮齿廓坐标系的转换方程，式中包含未知变量φ与s.谐波齿轮在传动啮合过程中满足啮合方程（5），选取并离散s值，代入式（5）可求出对应的φ值.将求解得到的φ与s代入式（4），可得到刚轮齿廓坐标.

图4 通过坐标变换模拟柔轮与刚轮的相对运动，直观反映出谐波齿轮传动的啮合特征，刚轮齿廓在柔轮的包络中得到正确验证.

图4 谐波刚轮包络齿廓Fig.4 Envelope tooth profile of harmonic rigid wheel

为便于图4 的工艺实现，对刚轮齿廓公切线段以直线y=kx+b拟合，对圆弧段以圆形方程（6）拟合.

设刚轮齿廓点（xi，yi），令y=f（x，tj），j=1，2，…，m.取精度为0.000 1，p（tj）满足式（7），各常数满足式（8）.

将齿廓离散坐标点代入拟合公式，可得刚轮凸、凹圆弧段圆心坐标分别为Og1（0.139 1，0.332 5）和Og2（0.338 8，0.582 2）；半径分别为r1=0.693 7、r2=0.759 9；公切线段分别为k=-7.840 1、b=28.507 7.设齿廓方程为F（x，y），在z方向离散可得刚轮齿面坐标点云如图5 所示.工件齿面上任意点法失N的分量分别为：

图5 谐波刚轮齿面坐标点云Fig.5 Harmonic rigid tooth surface coordinate point cloud

3 刚轮刮齿刀具几何参数计算

刮齿刀具与其他齿轮加工刀具类似，都具有切削刃和前后刀面等结构要素［11］.刮齿刀具结构如图6所示.

图6 刮齿刀具结构图Fig.6 Picture of skiving cutter structure

3.1 前刀面数学模型

在刮齿加工中，刀具与工件之间存在轴交角，因此采用与端面一定角度的平面作为前刀面，使刮齿刀具两侧刃切削角度相近，减小刃形误差［12］.

图7 为刮齿刀具前刀面坐标系.在图7 中，坐标系XYZ为前刀面坐标系，XaYaZa为辅助面坐标系，X2Y2Z2为刀具运动坐标系.前刀面法向量在坐标系XYZ中可表示为n（0，0，1），根据式（10）可得，在刀具运动坐标系中的前刀面法向量为n1（sinαcosβ，sinβ，cosβcosα）.

图7 刮齿刀具前刀面坐标系Fig.7 Skiving cutter rake face coordinate system

式中：B1为前刀面向辅助面变换的矩阵；B2为辅助面向刀具运动坐标系变换的矩阵.

在X2Y2Z2坐标系中前刀面方程为：

3.2 共轭面数学模型

3.2.1 相对运动速度

刮齿加工坐标系如图8 所示.S1-O1X1Y1Z1为工件坐标系，S2-O2X2Y2Z2为刀具坐标系，S0-O0X0Y0Z0和SP-OPXPYPZP为参考坐标系，i、j、k和ip、jp、kp分别为坐标系S0和SP对应坐标轴的单位向量.加工运动时刀具以w2转动并沿z1轴负方向移动，工件以w1定轴转动，共轭面与刀具齿面在M点共轭.

图8 刮齿加工坐标系Fig.8 Machining coordinate system of gear skiving

S0和SP的位置关系为：

共轭点M在坐标系SP中满足式（15）：

解得v12在SP中的分量为：

式中：β1和β2分别为工件和刀具螺旋角；n1和n2分别为工件和刀具齿数；m为模数.

式中：Mp1为S1向SP的变换矩阵.

3.2.2 共轭关系

共轭点在啮合运动时满足啮合原理［13］.

将式（9）、式（16）代入式（21），可解得S1绕Zp转过的角度θ1.齿面在M点啮合时满足：

整理得共轭面坐标点为：

三次B 样条曲面（Non-Uniform Rational BSplines，NURBS）具有良好的局部性质［14-15］.为便于切削刃的求解，将共轭面拟合，在其上选取K×L个型值点，设参数u方向为Fi，j.

根据自由端点条件（27）可求得u向控制点Vi，j，将其作为w方向的型值点，以同样的方法求出B 样条曲面控制点pi，j.当参数u和w扫过它的整个定义域时，等参数线描述成如图9所示拟合曲面.

图9 共轭面拟合点云Fig.9 The point cloud of conjugate surface fitting

B样条曲面拟合方程如式（28）所示.

3.3 主刃和主后刀面模型

共轭面经三次B样条曲面拟合，其中x2=P1（u，w）、y2=P2（u，w）、z2=P3（u，w）.

前刀面方程为：

f（x2，y2，z2）=0

x2、y2和z2关系如式（13）所示.共轭面与前刀面交线方程为：

f（P1（u，w），P2（u，w），P3（u，w））=P（u，w）=0

本文采用牛顿迭代法逼近共轭面，拟合点云与等值线P（u，w）=0的距离，获得主切削刃.

将u、w均分为n份，拟合后的共轭面上每一个网格间距为Δu=Δw=1/n，矩形单元Δij的4 个顶点与前刀面交线方程对应函数值分别为P（ui，wj）、P（ui，wj+1）、P（ui+1，wj）、P（ui+1，wj+1）.主切削刃的求取就是计算共轭面网格单元边与P（u，w）=0的交点，具体步骤如下：

1）将拟合后的共轭面点云代入交线方程并判断每个网格顶点的符号（大于0 记为“+”，否则记为“-”）.

2）若共轭面网格单元的顶点符号相同，则与等值线P（u，v）=0无交点，否则转到3）.

3）对于两端异号的单元边，采用牛顿迭代计算交点，对于单元边wj-wj+1，设P（ui+1，wj+1）为“-”，P（ui+1，wj）为“+”，交点（ut，wt）中ut=ui+1，wt利用牛顿迭代公式（11）求取.

令w1=wj、w2=wj+1，设置迭代精度ξ=0.001，迭代至wk+1-wk＜ξ时wt=wk+1.求出对应的u、w值代入x2、y2和z2，可获得交点如图10所示.

图10 曲面求交示意图Fig.10 Schematic diagram of intersection

当刀具刃磨后，前刀面在刀具运动坐标系中沿Z2轴方向移动Δb，同时为保证工件全齿高，刀具工件中心距增大Δa，构成一个新的主刃，将所有主刃特征点拟合就构成主后刀面.

4 刮齿刀具数字化设计

以双圆弧谐波刚轮为例，设计刮齿刀具三维模型.工件参数为：模数m=0.5 mm，齿数z1=102，螺旋角β=0，转速n1=1 000 r∕min.刀具参数为：转速n2=1 522.4 r∕min，齿数z2=67，速度v=0.1 mm∕r.

刮齿刀具设计流程如图11 所示.参照3.1 节内容求得前刀面方程；根据工件参数按照3.2节内容建立齿面方程.设γ=5°，计算得到共轭面坐标点云，并用三次B 样条曲面拟合；根据3.3 节内容，设初始中心距a=8.75 mm，改变交点参数Δa=0.1 mm，Δb=2 mm，部分交点坐标数据如表3所示.利用式（30）拟合交点即得到切削刃.

表3 交点坐标数据Tab.3 Intersecting point coordinates data mm

图11 刮齿刀具设计流程图Fig.11 Design process of skiving cutter

将B样条曲线拟合后的切削刃点云导入CAD 软件中构建刮齿刀齿面，通过曲面缝合构建单齿模型，将单齿实体阵列获得刮齿刀具实体模型，如图12所示.

图12 刮齿刀具实体模型Fig.12 Solid model of skiving cutter

5 刮齿刀具齿廓误差分析

在《圆柱齿轮精度制第1部分：轮齿同侧齿面偏差的定义和允许值》（GB∕T 10095.1—2008）中，将渐开线齿廓误差定义为实际齿廓偏离设计齿廓的量，该量在端平面内且垂直于渐开线齿廓的方向.区别于渐开线，双圆弧齿廓刀具齿廓偏差Δf可看作齿廓对应点在其半径方向与偏移齿廓的距离.图13 为齿廓误差示意图.图13（b）中刮齿刀具剖面Ⅰ-Ⅰ端面齿廓对应图13（a）中标准齿廓a，Ⅱ-Ⅱ端面齿廓对应标准齿廓b.齿廓b为齿廓a的变位齿廓，标准齿廓凸圆弧段点坐标为（x1，y1），对应齿廓b 上坐标（x2，y2），圆心Oa2对应坐标（xoa2，yoa2）.以凸圆弧段为例，将齿廓b绕圆心Oa2逆时针旋转Δθ得到齿廓3.在双圆弧齿廓中忽略长度较小的公切线段，根据位置转换关系可知，对应弧长s的点齿廓偏差Δf如式（32）所示，其中Δθ可根据B1、B2和圆心Oa1的坐标求得.

图13 齿廓误差示意图Fig.13 Schematic diagram of tooth profile error

在实际齿廓中，由于前后角的存在，刮齿刀具切削刃上任意点对应端面齿廓变位量Δa不同，其关系如式（33）所示，其中Δl为弧长s对应点与齿廓顶点的垂直距离.将刀具刃磨参数代入齿廓误差计算公式，可得切削刃上任意点齿廓偏差如图14 所示.刮齿刀具侧刃齿廓偏差随弧长s的增大而增大，最大齿廓偏差约为3 μm.

图14 刮齿刀具齿廓偏差Fig.14 Skiving cutter tooth profile error

改变顶刃后角和前角，取侧刃最大误差值对应点计算前后角对齿廓最大误差的影响，如图15 所示.由图15 可知，最大误差随前后角增大而增大，在对应范围内，最大齿廓误差小于15 μm.在实际切削过程中，虽然较小的前角和后角能有效降低齿廓误差，但也会影响切削效率和刀具寿命.

图15 刮齿刀具不同前后角对应齿廓误差Fig.15 Skiving cutter tooth profile error corresponding to different front and back angles

6 结论

1）提出一种谐波齿轮新型加工方法，根据曲面展成原理，通过改变传统加工刀具切削刃与切削的作用位置，设计加工精度和效率更高的刮齿刀具加工谐波刚轮，优化了其加工工艺.

2）根据谐波传动特性求解并拟合刚轮齿廓；由啮合原理和刮齿刀结构特点构建坐标系，求解并拟合共轭面和前刀面模型；将前刀面与共轭面求交并拟合获取切削刃数据，导入CAD 软件建立刮齿刀具数学模型.

3）该双圆弧齿廓刮齿刀具设计及对应齿廓误差计算方法，具有一定的通用性，进一步完善了刮齿刀具设计理论，可为其他双圆弧齿廓齿轮加工刀具设计、误差分析及修形等提供参考.