有限维Galois扩张中正规闭包的一个性质

滕常春

（潍坊学院 数学与信息科学学院，山东 潍坊 261061）

1 预备知识

定义1[1]域 的代数扩域 叫做在 上正规的(或者叫做 的正规扩张), 指中每个不可约多项式只要在 中有根, 则它必然在中分裂.

定义 2[1]设 是域 ,是不可约多项式, 如果 是在 上的某个分裂域, 而在 中的根全是单根 , 称是可分多项式.如果 在 上的极小多项式可分, 称 在 上是可分的.如果 中每个元素在 上是可分的, 则 叫做 的可分扩张.

定义3[1]如果 是 的正规可分扩张,则称 是 的Galois扩张.F的全体K−自同构组成的群称为F在K上的Galois群 , 记为Gal(FK).

定义4[1]设F是K的Galois扩张,H是 的子群,称

为H的固定域.

定义5[1]设 是 的正规扩张,是一个中间域,称 中所有包含 的K上的正规扩张的交L称为E在上的正规闭包,即

Galois基本定理[2]设 是 的有限维Galois扩张 ,Γ={G的全体子群},Σ={FK的全体中间域 }, 令

则

2 正文

引理 1 设域N1,N2是K上的正规扩张,则 也是K上的正规扩张.

证明: 任取 ,设f(x)是α在K上的极小多项式,由N1,N2都是K上的正规扩张知,f(x)的根都在N1,N2中,从而f(x)的根都在N1,N2中,所以 是K上的正规扩张.

引理2 设F是 的有限维Galois扩张,E是中间域,则

即L是E在K上的正规闭包。

为证明

由Galois基本定理, Gal和Inv是互逆映射且集合Γ与Σ之间存在反序的对应,故只需要证

再由引理2(1),只需要证

下证上式成立.

另一方面,任取 ,对于满足 且N是K上正规扩张的域N,由E⊆N有σ(E) ⊆σ(N),又N是K上 的 正 规 扩 张,从 而σ(N) =N,因 此,所以