数缺形时少直观 形缺数时难入微——2022届高三八省联考数学卷21题的深入探究

王东海

(安徽省肥东县城关中学 231600)

2022年高三八省联考试卷第21题是一道新颖的解析几何大题，它采用开放性的二选一题型，给了学生很大的自由发挥空间.主要考查了圆锥曲线方程求解、四边形面积最值、三等分点问题，试题稳中求新，体现了考题的基础性、综合性、创新性，考查了学生数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养和关键能力，本文从该题的解法探究入手，然后再回到课本中追本溯源，最后对此题进行一般化推广和变式探究，以期对教学、研究、学习提供帮助.

1 试题呈现

(1)求Γ的方程；

(2)如图1，过原点O作互相垂直的直线l1，l2，分别交双曲线于A，B两点和C，D两点，点A，D在x轴同侧，请从①②两个问题中任选一个作答：①求四边形ABCD面积的取值范围；②设直线AD与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线AD使M，N为线段AD的三等分点，若存在，求出直线AD方程；若不存在，说明理由.

图1

2 解法探究

探究思路1 (1)题难度不大，略.对于(2)题，选择①，求四边形ABCD面积的取值范围时，其通解通法是使用函数法，考虑利用直线AB的斜率来表示四边形的面积.

直线l1与双曲线Γ交于A，B两点，故3-k2≠0,且Δ1=12(3-k2)>0.所以k2<3.

根据对称性可知四边形ABCD为菱形，其面积

所以SACBD∈[6,+∞).

探求思路2 如果不建立面积关于直线斜率k的函数，也可以选择用点的坐标来表示面积，即采用点驱动的方法，也可以处理此题.

解析2 不妨设点A，D在x轴上方，设A(x1,y1),C(x2,y2)，则x1>1,y2<0.

所以四边形ACBD面积

所以S2=(2|x1y2-x2y1|)2

所以S≥6.

故四边形ACBD面积的取值范围为[6，+∞).

探究思路3此题还可使用齐次化法，从而构造出两条直线的斜率，利用垂直得到关键等式.

(3m2-3)x2+(3n2+1)y2+6mnxy=0.

①

易知A，D的坐标(x1,y1),(x2,y2)是方程①的解，将①式左右两边除以x2，得

②

即SACBD∈[6,+∞).

探究思路4此题两条直线都经过原点这个定点，故考虑利用直线参数方程来求弦长.

解析4设直线AB的参数方程为

联立双曲线方程，可得

因为AB⊥CD,故同理可得

所以16sin2αcos2α=(2sin2α)2∈(3,4].

所以SACBD∈[6,+∞).

探究思路5题中直线AB和直线CD都经过原点，这里还可使用极坐标方程来求弦长.

3 追本溯源

这道八省八校解析几何大题使用的方法多样，其实课本早有铺垫，它严格地贯彻了源于教材，高于教材的命题原则.它与人教版选修4-4中第15页习题有着很大的相似性：

已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a,2b(a>b>0)，A,B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB.

(2)求△AOB面积的最大值和最小值.

由此启发我们在教学中要回归教材，一要让教材和教辅资料各尽其责、物尽其用，防止本末倒置；二要重视教材中在知识发生和发展中呈现的那些经典的思维模式；三要注意挖掘教材中例题习题背后广泛而深远的意义，提炼更深层次的公式和结论，使学生深化相关知识.

4 推广探究

经深入思考，通过纵向、横向和逆向的方法进行探究，得到此试题有如下拓展推广结论：

故SACBD=4S△OAD=2ρ1ρ2

证明由结论2证明知

而在△OAD中由面积法知

证明设直线AB的参数方程为

(b2cos2θ+a2sin2θ)t2+2cb2cosθ·t-b2=0.

因为0≤sin22θ≤1，

5 链接高考

题1 (2016年高考全国Ⅰ卷理数20题)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过点B作AC的平行线交AD于点E，设点E轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过点B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

综上所述，解析几何综合题通常基于几何性质或定理出发，通过特殊化，变更条件和结论来命题，特别对椭圆和抛物线的对偶性质，教师要挖掘问题的本质和内涵思想方法，要研究习题的变式推广，发展学生思维；要研究一题多解，培养学生的创新意识.