变中不变 美在其中——以“圆锥曲线中动圆过定点”问题策略探析

林琳琳

(福建省福清第一中学 350300)

正因为圆锥曲线千变幻化，才能成就它的美，那美在哪里呢？美在扑朔迷离的变化中存在不变的性质，如定点、定值问题.

1 题目呈现

(1)建立适当的坐标系，求C的方程；

(2)A，B是C上不同的两点，且直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上．求证：以AB为直径的圆过定点．

2 题源探析

本题与2009年全国山东高考理科卷第22题如出一辙.

(1)求椭圆E的标准方程；

两道试题的第(2)问有异曲同工之妙，都是与定圆相切的直线与圆锥曲线相交，涉及垂直条件的运用与转化，考查了特殊与一般思想的运用.不同之处在于：高考题是已知OA⊥OB，考查能否找到一个圆心在原点的圆与直线AB相切，而省检试题在于试题的结论变成条件，其条件变为我们要证明的结论.高考题的表征形式较为清晰明了，而省检试题描述了点、线与圆的形态与变化过程，给学生的数学表征造成了一定的障碍.

但在解题中会发现曲线的几个要素在变化，虽有圆的半径、直线方程中的斜率、截距等众多的因素干扰，但解决问题的思路是一样的，均考查了数学表征的能力和运用特殊与一般思想解决问题的素养.

3 解法剖析

图1

难在第(2)问，首先需对给定条件作几何推演，找出几何关系，再将几何条件代数化予以求解.

角度1 因为直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上，所以直线AB与圆O相切．由于圆是中心对称图形，也是轴对称图形，则以圆的切线AB为直径的圆过定点原点.

解析因为直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上，所以直线AB与圆O相切．

所以OA⊥OB.

故以AB为直径的圆过点O．

(2)当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)．

(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.

=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)

=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2

所以OA⊥OB.

故以AB为直径的圆过点O．

综上，以AB为直径的圆过点O．

角度4 通过设而不求思想设切点M(x0,y0)，当y0=0时，直线AB垂直于x轴，得到以AB为直径的圆过点O．

如图2所示，当y0≠0时，写出切线的一般形式，利用切线特征和以AB为直径的圆过点O转化为验证|OA|2+|OB|2-|AB|2=0.再进一步利用图形进行转化得(|OM|2+|AM|2)+(|OM|2+|BM|2)-(|AM|+|BM|)2=0.

图2

当直线AB垂直于x轴时，验证以AB为直径的圆过点O.

故以AB为直径的圆过定点O．

当直线AB垂直于x轴，验证以AB为直径的圆过点O.

4 思想赏析

以上六个角度将解析几何研究的基本方法和基本思想体现得淋漓尽致，其基本思路：几何条件→代数形式→代数结果→几何条件，即：充分挖掘几何条件，转化代数形式，通过代数运算得到代数结果，代数结果用几何条件表达.最主要就是要理解问题的实质，从而建立条件与结论之间的联系.

角度1到角度4立足于几何条件“AB为直径的圆过定点”充分转化为定点与AB的数量积为0，利用特殊到一般、数形结合、方程思想解决问题.

角度5到角度6立足于几何条件“AB为直径的圆过定点”充分转化为将AB为直径的圆方程写出来，利用数形结合和方程思想得到过定点.

上述哪个角度比较好呢？显然，“AB为直径的圆过定点”充分转化为“定点与AB的数量积为0”运算更为简便.若通过对角度1到角度4对比，发现：(1)如若学生利用数形结合思想可以充分挖掘几何条件：AB为直径的圆过定点O；(2)学生利用特殊到一般思想引领，则大大降低求解运算.

正因如此，破解解析几何问题的基本思想是用代数手段来研究几何问题，这里很自然需要我们充分挖掘几何条件，将其代数化，同样通过代数运算得到的代数形式几何化，进而建立条件与结论之间的联系，同时我们要树立运用思想引领解题意识，运算就会变得简单，解题就会挥洒自如.