导数法在高中数学解题中的有效应用

杨 飞

(山东省费县第一中学 273400)

导数的概念、性质等相关知识点在高中数学中具有重要的地位，也成为了学生解答数学习题的有效辅助工具，能够将复杂的问题简单化，简便学生的解题流程，实现提高数学成绩的目的.因此，高中数学教师要积极采取先进的教学方法，在高中教学中融入导数法的教学内容，让学生能够利用导数法解答数学难题.

1 导数分析

导数法在高中数学教学中具有关键性的地位.导数的概念、性质以及几何意义需要学生熟练掌握，并进行实际的应用，需要学生明确导数内涵，理解公式的推导过程，要在数学学习的过程中，灵活运用导数法，简化解题流程，充分发挥学生的数学思维，将导数与函数、几何图形、不等式等相关知识进行有效地融合，真正地将导数法应用到具体的数学生活中.

2 导数在高中数学解题中的有效运用

2.1 利用导数解决函数单调性问题

使用函数图象解决函数单调性的问题存在一定的局限性，对于简单的函数可以直接观察函数的图象进行解决，而对于复杂的函数通过图象难以判断该函数的单调性，需要具体问题具体分析.将导数法和数学知识点结合起来，及时解决并计算函数问题，明确函数的单调性，让学生能够在较短的时间内获得函数单调性的答案.

通过利用导数法，帮助学生用最少的时间获得最准确的问题答案，从而缩短学生的思考时间，让学生能够有更多的精力和时间去解决其他问题.

2.2 求单调区间

例2已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>0且a≠1),求函数f(x)的单调区间.

解析因为f(x)=ax+x2-xlna，所以f′(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna.令g(x)=2x+(ax-1)lna,因为a>0且a≠1,所以g′(x)=2+ax(lna)2>0.所以f′(x)在R上是增函数.又因为f′(0)=0,所以不等式f′(x)> 0的解集为(0,+∞).故函数f(x)的单调增区间为(0,+∞),单调减区间为 (-∞,0).

此外，学生在掌握基础的计算方法后，还可以举一反三，利用导数法能够有效缩减学生的解题时间，让学生快速求出答案，解出题目中参数的取值范围.

2.3 利用单调性求字母取值范围

2.4 应用导数解决函数的极值问题

通常情况下，常考的数学极值问题会给出一个目标函数，并明确该函数的具体区间范围，让学生在有限的时间内，利用导数法求出该函数在该区间范围内的极值，并计算出在该区间内的具体极大值和极小值，完成数学解题步骤.

例4求函数f(x)=x3-12x的极值.

解析函数定义域为R，

f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).

令f′(x)=0，得x=2或x=-2.

当x>2或x<-2时，f′(x)>0,

故函数在(-∞,-2)和(2,+∞)上单调递增；

当-2

故函数在(-2，2)上单调递减.

所以当x=-2时，函数有极大值f(-2)=16，

当x=2时，函数有极小值f(2)=-16.

函数极值的概念具有较强的抽象性，学生在实际理解和运用过程中具有一定的困难.学生可以灵活利用导数法，从根本上降低解决函数问题的难度，明确解题思路，快速地解决函数极值问题.

2.5 利用导数解决切线问题

函数导数的几何意义是指在函数上某一点的切线斜率.学生要掌握基本的求切线的方法，合理地利用导数思维提高解题的正确率和有效性.

又切线PM过点P(1,0)，则

同理，由切线PN也过点P(1,0)，

2.6 利用导数法解决不等式问题

导数也能够有机地解决不等式的相关问题，能够充分结合学生的生活实际，利用导数法去解决实际的数学问题，将新旧知识有效结合，培养学生的整体思维和实践能力.

综上，高中学生可以有效地将函数与不等式的相关知识进行有机结合，通过利用导数法让学生在解题过程中能够举一反三，能够利用多个数学知识点对问题进行解决，从而让学生的解题思路和解题方法更加灵活.

3 指导学生用导数法解决函数问题的注意事项

(1)导数的概念是基础,要多理解.要知道导数是函数平均变化率的极限值，后边求导公式就是从概念出发推导出来的.

(2)导数的运算是基本功,要多练习.常见函数求导公式必须记熟，导数四则运算法则和复合函数求导法则要在练习中熟练起来.

(3)导数的应用是落脚点,要注意数形结合.求函数单调区间和极值、最值是基本问题，要练熟，稍微复杂的问题要善于结合函数图象寻找解题思路.

(4)具体解题中还要注意函数定义域等细节问题.

(5)多练习数学习题，明确导数法的使用规则，掌握数学题型，举一反三.

例7已知{an}是递增数列且an=n2+bn对任意n∈N*恒成立，求实数b的取值范围.

解析本题如果采取化离散为连续的解题方法，会使用导数法求解，常常会出现如下做法:

构造辅助函数f(x)=x2+bx,则f(x)应在[1，+∞)上单调递增，即b≥-2x在[1，+∞)上恒成立，故有b≥-2.

上述解答由{an}是递增数列，可断定f(x)=x2+bx在[1，+∞)上单调递增是错误的.

图1

所以，本题的正确解法是:由{an}单调递增得an-2n-1对任意n∈N恒成立.

又(-2n-1)max=-3，故有b>-3为所求.

在教学过程中，高中数学教师要注重导数部分的教学，要在教学过程中综合利用实践法、讨论法等多种方式，让学生能够真正学会导数，明确导数法与其他数学知识的内在联系，真正地提高学生的数学素养，发散学生的思维，从而更好地贯彻素质教育的教学理念，提高学生的数学实践应用能力.