“指对互化”妙解函数导数综合问题

赵英巵

(重庆市合川实验中学校 401520)

由于指数关系aN=b和对数关系logab=N是同一关系的不同表达形式，指数结构和对数结构相互转化不会改变题目中各个量之间关系的本质属性． 笔者在实践中发现，如果能够利用这一特性，在解决很多函数导数综合题目时可以起到“茅塞顿开”“豁然明朗”的神奇效果，现将它在几种题型中的应用举例如下:

1 “指对互化”巧转化，大小比较不再难

例1(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则 ( ).

A．a

C.b

于是log53

2 “指对互化”妙分参，参数范围易求得

例2 (2020年新高考山东卷21题第(2)问)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna．若f(x)≥1，求a的取值范围．

分析不等式f(x)≥1等价于aex-1-lnx+lna≥1.

所以φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)单调递减，φmax(x)=φ(1)=1，所以a≥1．

解法3由已知可得elna+x-1-lnx+lna≥1.

所以elna+x-1+lna≥1+lnx.

所以elna+x-1+x+lna-1≥lnx+x.

所以elna+x-1+x+lna-1≥lnx+elnx.

因为y=ex+x在(0,+∞)上单调递增， 所以问题转化为lna+x-1≥lnx在(0,+∞)上恒成立.

即lna≥lnx-x+1在(0,+∞)上恒成立.

解法评述由于不等式结构aex-1-lnx+lna≥1的复杂性，不太好分离参数，可以考虑将不等式进行简化，变不可分参为容易分参．这里利用“指对互化”，将不等式两边变形为同构函数φ[r(x)]≥φ[m(x)]，再利用函数φ(x)的单调性，转化为r(x)≥m(x)问题，达到巧妙简化问题的目的．

例3 (2021年高考浙江卷22题第(2)问)设a,b为实数，且a>1，函数f(x)=ax-bx+e2.若对任意b>2e2，函数f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

令r(t)=et(t-1)-e2，

因为r′(t)=tet>0，

所以r(t)在(0,+∞)上单调递增.

因为r(2)=0，所以t∈(0,2)时，r(t)<0，φ′(t)<0，φ(t)在(0,2)上单调递减；

t∈(2,+∞)时，r(t)>0，φ′(t)>0，φ(t)在(2,+∞)上单调递增.

所以φmin(t)=φ(2)=e2.

所以a的取值范围是0

解法评述本题的难点在于分离参数难度非常困难，利用“指对互化”，构造同构函数t=xlna，整体换元后实现参数分离，达到简化问题的目的．

3 “指对互化”妙同构，不等证明变简单

例4(2020年沈阳质量检测22第(3)问)已知函数f(x)=ex-1-x-ax2．若x>0，证明：(ex-1)ln(x+1)>x2．

令r(x)=ex(x-1)+1，有r′(x)=xex.

因为x>0，所以r′(x)=xex>0.

所以r(x)在(0,+∞)上单调递增.

所以r(x)>r(0)=0.

所以φ′(x)>0.

所以φ(x)在(0,+∞)上单调递增.

故只需证明x>ln(x+1).

即证x-ln(x+1)>0.

所以m(x)在(0,+∞)上单调递增.

所以m(x)>m(0)=0.

所以x-ln(x+1)>0.

综上所述，(ex-1)ln(x+1)>x2成立．

因为x>1时，r′(x)>0，所以r(x)在(1,+∞)上单调递增.

因为0

所以r(x)≥r(1)=0.

所以φ′(x)≥0.

所以φ(x)在(0,+∞)上单调递增.

故只需证明x>ln(x+1)，后同证法1．

知名作家豆豆在《遥远的救世主》一书中是这样解读“神”和“神话”的：“神就是道，道就是规律，规律如来，容不得你思议，规律办事的人就是神”“这个世上原本就没有神话，所谓的神话，不过是常人的思维所不易理解的平常事”，类似地，我们可以这样理解数学解题中的 “巧妙”与“神奇”，它不过是按照数学知识规律办事的平常思维罢了，之所以给我们“巧妙”与“神奇”的感觉，是因为我们对知识本质的理解不够深刻的缘故罢了，这就要求我们深度专研，尽可能理解知识的本质属性，并在实际解题中不断尝试去运用它，解题就变得“巧妙”而“神奇”起来了．