考虑铁路折扣的集装箱公路与多式联运博弈定价

片峰，陈阳，庞世花，苏敏

（大连海事大学，航运经济与管理学院，辽宁大连 116026）

0 引言

多式联运是一种高效率和现代化的运输组织模式，可以充分发挥各种运输方式的组合优势，实现资源的高效整合和运输的无缝衔接。公-铁联运是内陆集装箱多式联运的主要组成部分，具有运量大、成本低、安全性高和低碳环保等特点。国家出台了一系列政策以改善不合理的运输方式和推动多式联运发展，《国务院关于印发2030年前碳达峰行动方案的通知》和《推进多式联运发展优化调整运输结构工作方案（2021—2025年）》里明确提出在“十四五”期间，集装箱铁水联运量年均增长15%以上。要实现集装箱内陆运输由公路向公-铁多式联运的转移，就要充分发挥市场在资源配置中的作用，健全运价调节机制，不断优化运价方案。2018年1月1日起，铁路运输企业可以以国家规定的基准运价为基础，在上浮不超过15%和下浮不限的范围内，根据市场供求状况自主确定具体运价水平。铁路货物采用班列方式运输，规模效应非常明显，现实中，铁路公司在承运集装箱运输时大都采用规模折扣定价。因此，研究考虑铁路运输规模折扣的集装箱陆港多式联运定价策略，对改变中国不合理的运输结构，引导集装箱公路直运向公-铁联运转移，减少运输过程中的碳排放，实现交通运输绿色低碳发展，完善现代综合交通运输体系具有积极意义。

铁路市场化改革使得铁路能够根据市场变化实行动态定价，国内外学者大多使用博弈论和双层规划的方法研究铁路的定价策略。冯芳玲等[1]基于博弈理论，建立铁路和公路的Hoteling 模型，分析运输价格和服务质量之间的关系及其对竞争的影响发现，双方合作博弈时，即双方都不改善服务质量，能获得更大的利润。李路辉等[2]基于博弈论理论，建立集装箱公-铁竞争定价模型，并通过算例分析验证了模型的可行性。张桐等[3]构建了公-铁联运和公路直达运输广义费用函数，并以随机效用最大化理论为基础，通过分析起讫点间各承运人的收益情况，构建公路直达运输与公-铁联运定价策略的博弈模型，并得出铁路企业可通过制定最优定价策略实现企业收益最大化的结论。唐慧敏等[4]以铁路利润最大化为目标函数建立集装箱动态定价模型，设计精英选择策略遗传算法结合LSTM（Long Short-Term Memory）网络的动态定价反馈机制求解发现，基于LSTM 网络的动态定价模型能提升铁路货运企业收益。双层规划定价模型的研究也较为丰富。TAWFIK等[5]提出一个研究多式联运定价的双层规划模型，上层为承运人利益最大化问题，下层是描述托运人货运方式选择的模型。LABBE等[6]考虑定价策略对托运人的影响构建了双层规划模型，上层为承运人收益最大化模型，下层为托运人运输方式选择模型，并在此基础上设计了基于网络的多式联运定价模型。张小强等[7]考虑客户的广义费用和铁路运营企业收益，构建广义费用最小化定价模型和双层规划定价模型，并得出双层规划模型优于广义费用最小化模型的结论。张小强等[8]提出一个综合考虑铁路集装箱运价收入、运营成本以及货主广义费用的双层规划模型，在保证铁路运营企业利润最大化的前提下，制定出合理的铁路集装箱定价策略，并通过算例验证了该模型的可行性。数量折扣通常是作为一种奖励机制，鼓励买家大量订购某种商品或服务。在供应链系统中，数量折扣定价的研究较多。近年来，YIN 等[9]研究向众多货代提供集装箱运输服务的集装箱公司的最优数量折扣定价方案，优化集装箱运输公司的运费，使其预期利润最大化。QIU 等[10]研究了由一个陆港和多个货主组成的陆港系统中具有数量折扣的铁路运输定价问题，采用单断点的全单位数量折扣定价方案，分析模型的最优性质，并得出陆港与托运人双方的最优决策。

关于运输定价的研究文献较为丰富，且多运用博弈论和双层规划的定价方法进行研究。国内外学者们几乎均会考虑运输成本和运输时间对托运人运输方式选择的影响，还有些会考虑可靠性、安全性及货物特性等影响因素，但定量考虑环保性因素及其权重的文献较少。数量折扣定价在供应链领域的研究很丰富，很少有学者将其应用在交通运输领域。因此，本文在前人研究的基础上，将铁路运输数量折扣定价引入陆港多式联运定价中，并考虑各运输方式的碳排放成本，在多式联运各部分运输单独定价的基础上，运用陆港制定集装箱多式联运全过程的定价模式，借鉴已有研究的双层规划模型，构建上层规划为考虑数量折扣的运营商利润函数，下层规划为考虑运输成本、时间成本和碳排放成本的广义费用函数，研究陆港多式联运定价策略，可以对陆港运营商制定运价提供一定的参考。

1 模型构建

1.1 问题描述与模型假设

考虑在一定范围内，托运人有一定数量的集装箱要从货源地O运送至海港D。存在有两种运输方式：一是从O地通过公路直接运输至目的地D，另一种是从O地公路运输至陆港L，在陆港等待由火车运输至距海港D最近的火车站点，最终经公路运输至海港，即经陆港转运的多式联运。运输中，铁路运输部分采取折扣定价的方案，即当货运量超过一定份额时，超过的部分给予价格折扣。

一般而言，集装箱运输均衡定价问题涉及货物运输服务供应商（承运人）和托运人两大利益群体，将货运服务供应商视为领导者，托运人视为跟随者，两者的决策过程类似于Stackleberg博弈。公路运营商和陆港都以利润最大化为目标，两者都会根据另一方运输价格调整运价，决策出两者的均衡价格集；托运人通过运输方式选择与每种运输方式运输量的决策，最小化广义运输费用。决策过程中，运营商制定的价格策略集会影响托运人运输方式的选择；另一方面，托运人的决策，反过来又会影响运营商的收益，最终影响运营商的运价决策。两类主体的决策相互影响和作用，据此建立双层规划模型描述问题。

为便于模型的构建与求解，本文提出以下假设：

（1）集装箱运输只存在公路直运和公-铁联运两种模式，且公-铁联运全过程服务由陆港运营商提供；

（2）短时间内，货源地的集装箱货运总量不会发生改变；

（3）陆港的最大通过能力能够满足托运人集装箱中转运输需求；

（4）陆港的储存费用和储存时间已知；

（5）不考虑货物运输过程中的道路运输能力限制，假设道路通过能力足够，且铁路班列运力充足；

（6）集装箱卡车和火车均以已知的速度匀速行驶；

（7）铁路运输距离与公路运输距离存在一个绕行系数λ，且λ已知；

（8）以20 英尺箱为研究对象，并按照ISO/TC104制定的标准将集装箱总重量定为24 t。

1.2 利润函数

运营商的利润等于收益减运营成本，运输收益由集装箱运输量、运输距离和单位距离运输价格共同决定，陆港多式联运两端公路接驳距离较短，因此，陆港多式联运运输距离用铁路运输距离表示，此时，公路直运和经陆港多式联运的利润函数为

式中：Fi为第i种运输方式所获利润（元）；pi为第i种运输方式单位距离运输价格（元（TEU·km）-1）；Li为第i种运输方式的运输距离（km）；Ci为第i种运输方式的成本；qi为第i种运输方式的货运量（TEU）；rd,rl 分别为运输通道内公路直运和陆港公-铁联运两种运输方式。

陆港运营成本由固定成本和可变成本两部分组成。固定成本主要为陆港存储成本、人工成本及陆港建设均摊费等；可变成本为短途接驳公路运输费用和铁路集装箱运输费用，铁路集装箱运输费用包括铁路运输基本运费和杂费。集装箱基本运费由发到费用和运行费用组成，杂费包括集装箱使用费和装掏箱费。目前，铁路运输采用断点数量折扣方案，即当货物运输量qdp＜Q0时，运输价格为p；当运输量qdp≥Q0时，超过Q0部分的运输价格为p（1-ρ），铁路运输价格p和费用pa的计算式为

式中：p为铁路集装箱运输价格（元（TEU·km）-1）；pa为单位距离铁路集装箱运输费用（元·km-1）；pj为铁路发到基价一（元·TEU-1）；prail为铁路集装箱运输基价二（元（TEU·km）-1）；Lrail为集装箱铁路运输距离（km）；pu为集装箱使用费（元·TEU-1）；pch为装掏箱费（元·TEU-1）；Q0为数量折扣断点；ρ为折扣系数。

假设断点Q0＜q，此时，陆港的运输成本为

式中：q为经陆港公-铁联运的集装箱量（TEU）；Crl为经陆港多式联运运输成本（元）；Cdpf为陆港运营固定成本；pd1为货源地到陆港之间的短途公路接驳运输费用（元·TEU-1）；pd2为海港城市火车站到码头之间的短途公路接驳运输费用（元·TEU-1）；Lrl为经陆港多式联运运输距离（km）。

公路直达运输成本由固定成本和可变成本两部分组成。其中，固定成本包括：停车费、车辆使用费及房租等；可变成本主要包括：过路桥费、燃油费、驾驶人工成本、保险费及车辆折旧等其他费用，公路的运输成本为

式中：Crd为公路运输成本（元）；Crf为公路运输固定成本；ph为过路桥费（元（TEU·km）-1）；po为燃油费（元（TEU·km）-1）；pdv为驾驶人工费（元（TEU·km）-1）；pin为保险费（元（TEU·km）-1）；pelse为其他费用（元（TEU·km）-1）；Lrd为公路运输距离。

1.3 广义运输费用函数

公-铁联运与公路直运之间的竞争会影响总运输需求在两者间的运量分配，在两种运输方式之间，托运人总是选择广义费用最小的运输方式。影响托运人运输方式选择的因素有很多，本文选取经济成本、时间成本和环保成本这3个因素衡量广义运输费用，托运人会选择运输费用更低，时间价值更小，环保性更强的运输方式。

（1）经济成本——托运过程中所需支付的经济费用（Ei）

第i种运输方式托运人需要支付的费用（元·TEU-1）为

（2）时间成本——托运过程所花费的时间价值费用（Ti）

本文使用运输过程中集装箱内的货物价值在相应时间内可以产生的活期利息表示运输时间成本。在经陆港转运时，因为陆港效率、货流拥挤、机械人工和班列排期等原因，会产生仓储和等待时间，该段时间计入铁路运输时间中。经陆港转运集装箱运输的时间成本与集装箱运输量、运输时间（t）、集装箱平均货值及活期存款利息率等参数相关。本文集装箱中货物的平均货值、卡车和火车的平均速度及活期存款利息率等参数已知且保持不变，所以，经陆港转运集装箱运输的时间成本取决于集装箱运输量，集装箱在陆港的仓储等待时间，货源地和陆港及海港之间对应运输方式的运输距离。

式中：Ti为运输方式i所花费的时间价值费用；vi为运输方式i的平均运行速度；t为仓储等待时间；θ为0-1 变量，公路直运时为0，陆港多式联运时为1；TVOT为集装箱货物的时间价值。

（3）环保成本——托运过程中的碳排放费用（Hi）。

式中：Hi为运输方式i的碳排放费用；Mi为运输方式i的单位碳排放量；pe为碳税；m为转运碳排放系数。

依据相关研究，托运人的广义费用函数采用对数函数的形式[11]，即

式中：qi为第i种运输方式的货运量（TEU）；β为待定参数，即托运人效用感知敏感系数；Vi为第i种运输方式能够观测到的确定效用值，效用值越高，表示托运人选择此种运输方式的广义运输费用越小。托运人运输效用函数为

式中：Ei、Ti、Hi分别为经济性、时间性和环保性因素；α1、α2和α3分别为经济性、时间性和环保性的权重系数。

假定其他影响因素短时间内不会改变，当运输价格发生变化时，不同运输方式的货运需求也会发生变化，最终达到一个均衡状态，此时，不同运输方式间的货流分配也趋于稳定。由既有研究可知，公-铁联运和公路直运在均衡状态下货流分担量满足Logit分流模式，即

式中：Q为货源地集装箱运输总量。

1.4 双层规划模型

运营商和托运人都以自身利益最大化为目标，运营商的价格策略会影响下层规划的货流分配，不同的货流分配方案又会影响运营商制定价格方案，为了更好地刻画运营商与托运人之间的博弈过程，建立上层规划为运营商利润最大化，下层规划为托运人广义费用最小的双层规划模型，即

式中：和为运价约束，分别表示第i种运输方式的价格下限和上限；Z为广义运输费用。

2 算法设计

求解双层规划的关键是确定反应函数的表达形式，而灵敏度分析可以得到下层规划中货运量与货运价格的导数关系，结合泰勒展开式确定近似反应函数，以简化双层规划模型并求解，这是基于灵敏度的启发式算法。δ为算法求解精度，求解算法具体计算步骤如下。

Step 2 在初始票价下，得到均衡条件下陆港和公路的货流分配qrl和qrd。

Step 3 用灵敏度分析得到陆港货运量对运输价格的导数，根据，求出反应函数qrl的近似形式。

Step 4 将qrl代入上层规划，得到新的陆港运输价格，即。

Step 7 用灵敏度分析法得到铁路价格不变时公路货运量对运价的导数，根据求出反应函数qrd的近似形式。

Step 8 将qrd代入上层规划，得到新的公路运输价格，即。

3 算例分析

3.1 算例描述与参数确定

本文以O地至D港的集装箱运输为例，货源地有100000 TEU 的集装箱货物需要运输至海港。货运方式有公路直运和经陆港的多式联运，涉及的多式联运方式为公-铁-公联运，即铁路不直通海港，需从铁路站点经公路运输至海港。假设陆港公铁联运两端的公路接驳距离都为30 km，货源地至海港的货运距离为400 km，以公路直运距离表示货运距离，铁路较公路而言，需绕行较远的距离，即铁路运输距离=绕行系数×公路运输距离，绕行系数λ为1.1。公路运行的平均速度为70 km·h-1，铁路运行的平均速度为100 km·h-1。

公路直运和陆港公铁联运的相关费用数据标定参考中国铁路95306 网货运资讯和调研数据整理得出。 陆港公铁联运固定成本为100元·TEU-1；两端公路接驳费用均为550 元·TEU-1；铁路运输基价一为440 元·TEU-1；基价二为3.1850 元（TEU·km）-1；集装箱使用费为250 km 以内，收取35 元·TEU-1，251 km 及以上，每百公里加收6 元·TEU-1，因此，本文取47 元·TEU-1；装掏箱费为375 元·TEU-1。

公路运输固定成本取260 元·TEU-1；根据调研数据，4 类货车的过路桥费约为1.8 元·km-1，办理ETC和月卡的优惠分别为9.5折和6.5折，过路桥费取均值为1.44 元·（TEU·km）-1；集装箱卡车百公里耗柴油约为35L，柴油价格按7.14元·L-1折算，燃油费取2.50元·（TEU·km）-1；驾驶人工成本约为17000 元·月-1，按每月21.75个工作日，每天工作8h计算，驾驶人工成本为1.4 元·（TEU·km）-1；保险费约为28000 元·年-1，按每年12 个月，每月21.75 个工作日，每日工作8 h 折算，保险费为0.19 元·（TEU·km）-1；车辆折旧和轮胎损耗等其他费用折算为0.2 元·（TEU·km）-1。

将时间成本和环保成本指标统一转化为单位运输价格，参照大连港出口集装箱的平均货物价值200000 元·TEU-1，利息率取2021年活期存款利率r=0.35% ，集装箱单位运输时间价值（TVOT）为29.17 元·（TEU·h）-1，参考LI 等[12]标定的碳排放相关数据，公路运输单位碳排放量为1.9104×10-2t·（TEU·km）-1，铁路运输单位碳排放量为0.6720×10-3t·（TEU·km）-1，公铁转运时的碳排放系数为3.7440×10-2t·（TEU·km）-1。铁路折扣系数为0.2，折扣断点数量为19000箱。根据相关调研结果，假设托运人对经济性、时间性及环保性的敏感系数分别为0.7，0.2，0.1，通过效用权重系数灵敏度分析进一步研究效用权重系数对均衡价格博弈的影响；本文在前期研究过程中，使公路运输距离（Lrd）以200～5000 km为取值范围，50 km为步长，进行了β取值的实验，得到了公路运输距离确定是模型可解的β最大取值（精确到小数点后10位，见附件1）；发现参数β的取值与运输距离有关，经数值拟合（表1）后取，即本文取0.002345。具体的参数标定如表2所示。

表1 β 的取值数值拟合结果Table 1 Numerical fitting results of β

表2 参数列表Table 2 Parameter list

3.2 结果分析

本文利用MATLAB软件编程求解双层规划模型，收敛精度δ设置为0.001。铁路数量折扣为0.2时陆港和公路的运价、货运量以及总碳排放的均衡迭代定价过程如表3所示。

表3 数量折扣下运价迭代过程Table 3 Iterative process of freight rate under quantity discount

从表3 可以看出，铁路存在价格折扣时，公路与陆港的均衡价格随迭代次数的增加而不断下降，经过6 次迭代，公路与铁路价格趋于稳定，此时的均衡价格解能够同时满足托运人与承运人的最大化利益。折扣定价下陆港的均衡定价为9.8423 元·（TEU·km）-1，公路的均衡定价为10.6745 元·（TEU·km）-1，两者的均衡价格皆低于未博弈时的情况

由表3 可知，陆港和公路未改变价格时，陆港所占市场份额仅为29.44%。于是，在首轮博弈中，陆港运输价格降幅较大，从12 元·（TEU·km）-1降至10.4545 元·（TEU·km）-1，降幅约为12.88%，因此，吸引了大量货流，货运量从29442 TEU 增长至40718 TEU。公路在面对陆港大幅降价的情况下，也采取降价策略减少运输份额的流失。随后，再经过5 轮博弈，两者的竞争趋于稳定，此时的解为均衡解，陆港与公路的均衡策略集为[9.8423,10.6745] 元·（TEU·km）-1，此时的定价既能保证承运人的利益，又能保证托运人广义费用最小。铁路运价由初始价格降至均衡价格，多式联运分担率从29.44%增长至45.37%，同时，减少了97525.46 t的碳排放，碳减排率达到16.70%。

为了更清楚地了解折扣定价对均衡定价的影响，将无价格折扣与价格折扣时的均衡定价进行对比分析，无折扣时的均衡定价过程如表4所示。

表4 无数量折扣运价迭代过程Table 4 Iterative process of freight rate without quantity discount

由表4 可知，无折扣定价时，陆港运价和货运量的迭代过程与折扣定价时相似，也是在第1次博弈中降价幅度较大，而后在第6次博弈中出现价格均衡解[10.2634,10.9360] 元·（TEU·km）-1。铁路运价由初始价格降至均衡价格，铁路运输分担率从29.44%增长至42.11%，同时，能够减少77568.83 t的碳排放，碳减排率为13.29%。

对比分析表3 和表4 的计算结果可知，在有折扣和无折扣两种情景下，陆港均衡价格较初始价格都有所降低，陆港运输份额都随着陆港运价的下降而不断增加，且有数量折扣时陆港的均衡定价更低，吸引的货流更多。两种情景下，碳排放量均随着铁路运输量的增加而不断减少，有数量折扣时碳减排效果更佳。通过对比分析，说明陆港采取降价的方案能提升自身运输竞争力，且铁路数量折扣方案能够给予陆港更大的降价空间，吸引更多的货流，碳减排效果更佳。

以上探究的是铁路不直通海港，存在“最后一公里”的情况，即公-铁-公联运，当不存在“最后一公里”时，即公-铁联运，此时，铁路运输距离设定为原模型铁路运输距离加上“最后一公里”的短途接驳运输距离。为具体了解“最后一公里”对陆港定价的影响，本文探讨了铁路折扣下铁路直达海港的情况，公-铁联运的均衡定价过程如表5所示。

表5 公-铁联运运价迭代过程Table 5 Iterative process of railway direct sea port freight rates

表5 是不存在“最后一公里”，即公-铁联运模式下陆港与公路的运价、货运量以及总碳排放的迭代过程。由表5可知，公铁联运陆港运价和货运量的迭代过程与公-铁-公联运相似，也是在第1次博弈中降价幅度较大，而后在第6次博弈中出现价格均衡解[8.6420,10.3754] 元·（TEU·km）-1。铁路运价由初始价格降至均衡价格，铁路运输分担率从19.71%增长至51.63%，同时，能够减少214396.14 t的碳排放，碳减排率达到了33.93%。

对比分析表3和表5的计算结果可知，公-铁联运模式下，陆港的均衡定价更低，比公-铁-公联运时低12.20%，此时，公-铁联运较公-铁-公联运而言，能够吸引更多的货流，市场份额多6268 TEU。公-铁联运的碳减排效果也更好，比公-铁-公联运减少了68874.41 t 的碳排放。通过对比分析，说明了“最后一公里”问题会影响陆港的经济效益，对陆港的定价策略影响较大，解决“最后一公里”问题能让陆港采取更低的价格，吸引更多的货流，同时，能够减少更多的碳排放。

3.3 效用感知权重灵敏度分析

不同的托运人对货物运输服务属性的偏好会有所不同，例如，运输低价值产品的托运人会更在意经济性，运输生鲜类产品的托运人会更偏好时间性，部分大型跨国企业（例如宜家和沃尔玛等）将生产和销售等全环节的节能减排作为企业理念或者品牌价值的重要宣传点，因此，对运输的绿色节能格外看重。为了研究托运人不同效用感知权重对均衡价格博弈的影响，本文假设3种情景模式探讨托运人偏好对均衡结果的影响，结合目前中国集装箱运输实际，无论偏好哪种属性，经济性权重都应该是最大的。情景An为经济敏感型，参数设置为α1=0.9，α2=0.08，α3=0.02；情景Bn为时间敏感型，参数设置为α1=0.55，α2=0.35，α3=0.10 ；情景Cn为环保敏感型，参数设置为α1=0.55，α2=0.20，α3=0.25。n=1 为公-铁-公联运模式，n=2 为公-铁联运模式。不同情景的计算结果如表6所示。

表6 不同效用权重下运价迭代过程Table 6 Iterative process of freight rates under different utility weights

由表6 可知，面对经济敏感型的托运人，陆港可以通过大幅降低运输价格提高货运量，同时，公路也会大幅降低运输价格以避免市场运输份额的丢失，此时，陆港和公路的利润都为3 种情景的最小值；面对时间敏感型和环保敏感型的托运人时，陆港则无需通过大幅降价提高自身竞争力；陆港多式联运的运输时间要大于公路直运，而多式联运的碳排放要远小于公路直运，因此，虽然面对时间敏感型的托运人时，陆港的定价要低于面对环保敏感型的托运人，但陆港分担的货运量却更少；当面对环保敏感型的托运人时，陆港的定价最高，同时，货运量也最高，此时，陆港的利润最大，碳减排效果最佳。对比分析公-铁-公联运和公-铁联运两种模式，发现公-铁联运模式在3 种情景下陆港的均衡定价均低于公-铁-公联运，并且能够获得更大份额的货运量，碳减排效果也更加显著。

4 结论

本文在前人研究的基础上，将数量折扣引入定价模型中，采用陆港制定多式联运全过程的定价模式，研究了在铁路运输采取数量折扣定价方案时，陆港与公路均衡定价的问题。以承运人为主导者，以托运人为跟随者的Stackelberg 博弈模型可以较好地解决上述博弈定价问题，并能得出承运人和托运人各方利益最大化的最优方案。本文还通过算例分析验证了铁路运输采用数量折扣定价的有效性。算例分析结果表明，货运距离为400 km 时，20%的铁路运输折扣可以使多式联运分担率从29.44%增长至45.37%，利润增加14.20%，使所有集装箱运输广义费用下降2.71%，碳排放减少16.70%；研究还发现铁路直达海港可以使经陆港多式联运的货物分担率上升13.82%，利润上升33.27%，使所有集装箱运输广义费用下降4.24%，碳排放减少14.16%。对托运人效用感知权重灵敏度分析发现，托运人对运输服务属性偏好的不同，会影响陆港的定价策略。托运人偏好经济性时，陆港的降价幅度最大，偏好环保性时，陆港的降价幅度最小而市场分担率最大。因此，铁路运输定价的市场化改革和铁路能够直达沿海港口，解决运输“最后一公里”问题，都有利于更加充分地发挥陆港规模效应的优势，并减少运输过程中的碳排放。

附件1β的取值实验数据

Lrl Lrd 2 βmax Lrl Lrd 2 βmax 220 275 330 385 440 495 550 605 660 715 770 825 880 935 990 1045 1100 1155 1210 1265 1320 1375 1430 1485 1540 1595 1650 1705 1760 1815 1870 1925 1980 2035 2090 2145 2200 2255 2310 2365 2420 2475 2530 2585 2640 2695 2750 2805 2860 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 Lrl+Lrd 0.0047619048 0.0038095238 0.0031746032 0.0027210884 0.0023809524 0.0021164021 0.0019047619 0.0017316017 0.0015873016 0.0014652015 0.0013605442 0.0012698413 0.0011904762 0.0011204482 0.0010582011 0.0010025063 0.0009523810 0.0009070295 0.0008658009 0.0008281573 0.0007936508 0.0007619048 0.0007326007 0.0007054674 0.0006802721 0.0006568144 0.0006349206 0.0006144393 0.0005952381 0.0005772006 0.0005602241 0.0005442177 0.0005291005 0.0005148005 0.0005012531 0.0004884005 0.0004761905 0.0004645761 0.0004535147 0.0004429679 0.0004329004 0.0004232804 0.0004140787 0.0004052685 0.0003968254 0.0003887269 0.0003809524 0.0003734827 0.0003663004 0.0047619048 0.0037983193 0.0031559290 0.0026970788 0.0023529412 0.0020852786 0.0018711485 0.0016959511 0.0015499533 0.0014264167 0.0013205282 0.0012287582 0.0011484594 0.0010776075 0.0010146281 0.0009582780 0.0009075630 0.0008616780 0.0008177008 0.0007775477 0.0007407407 0.0007068783 0.0006756207 0.0006466784 0.0006198035 0.0005947820 0.0005714286 0.0005509473 0.0005317460 0.0005137085 0.0004967320 0.0004807256 0.0004656085 0.0004513085 0.0004377611 0.0004249084 0.0004126984 0.0004010840 0.0003900227 0.0003794758 0.0003694084 0.0003597884 0.0003515264 0.0003436159 0.0003360351 0.0003287637 0.0003217832 0.0003150764 0.0003086275 2915 2970 3025 3080 3135 3190 3245 3300 3355 3410 3465 3520 3575 3630 3685 3740 3795 3850 3905 3960 4015 4070 4125 4180 4235 4290 4345 4400 4455 4510 4565 4620 4675 4730 4785 4840 4895 4950 5005 5060 5115 5170 5225 5280 5335 5390 5445 5500 2650 2700 2750 2800 2850 2900 2950 3000 3050 3100 3150 3200 3250 3300 3350 3400 3450 3500 3550 3600 3650 3700 3750 3800 3850 3900 3950 4000 4050 4100 4150 4200 4250 4300 4350 4400 4450 4500 4550 4600 4650 4700 4750 4800 4850 4900 4950 5000 Lrl+Lrd 0.0003593890 0.0003527337 0.0003463203 0.0003401361 0.0003341688 0.0003284072 0.0003228410 0.0003174603 0.0003122560 0.0003072197 0.0003023432 0.0002976190 0.0002930403 0.0002886003 0.0002842928 0.0002801120 0.0002760524 0.0002721088 0.0002682763 0.0002645503 0.0002609263 0.0002574003 0.0002539683 0.0002506266 0.0002473717 0.0002442002 0.0002411091 0.0002380952 0.0002351558 0.0002322880 0.0002294894 0.0002267574 0.0002240896 0.0002214839 0.0002189381 0.0002164502 0.0002140182 0.0002116402 0.0002093145 0.0002070393 0.0002048131 0.0002026342 0.0002005013 0.0001984127 0.0001963672 0.0001943635 0.0001924002 0.0001904762 0.0003024221 0.0002964464 0.0002906880 0.0002851353 0.0002797775 0.0002746043 0.0002696066 0.0002647754 0.0002601026 0.0002555806 0.0002512021 0.0002469605 0.0002428493 0.0002388628 0.0002349952 0.0002312414 0.0002275964 0.0002240556 0.0002206145 0.0002172689 0.0002140151 0.0002108491 0.0002077676 0.0002047672 0.0002018448 0.0001989972 0.0001962218 0.0001935157 0.0001908765 0.0001883016 0.0001857887 0.0001833357 0.0001809405 0.0001786009 0.0001763151 0.0001740812 0.0001718976 0.0001697625 0.0001676743 0.0001656315 0.0001636326 0.0001616763 0.0001597611 0.0001578858 0.0001560493 0.0001542501 0.0001524874 0.0001507599