一类具有未知幂次的高阶不确定非线性系统的自适应控制

刘玉发 刘勇华 苏春翌 鲁仁全

在工业生产和社会生活中,存在着大量的复杂系统,如非线性耦合机械系统[1]、超临界机组[2]等.这些复杂系统线性化时通常包含了不可控模态,给其控制器设计与分析带来了挑战.在过去十几年里,这类称之为高阶非线性系统的自适应控制问题吸引了很多研究者的关注.Lin 等在文献[3-4]中提出了一种新的构造性设计框架-增加幂次积分法,有效解决了高阶非线性系统的镇定与实际跟踪问题.借助于这一方法,文献[5-19]研究了不同条件下高阶不确定非线性系统的自适应控制问题,取得了一系列研究成果.值得指出的是,上述绝大多数研究结果都要求系统的幂次信息完全已知.然而,在一些实际应用中,由于控制系统本身与周围环境存在着各种不确定因素,使得系统的幂次信息可能无法精确获取.因此,进一步探讨具有未知幂次的高阶非线性系统的控制器设计是很有意义并值得研究的问题.

针对具有未知幂次的高阶非线性系统,文献[20-21]采用改进的增加幂次积分法,分别给出了状态反馈和输出反馈控制算法.然而,这些算法没有考虑系统函数的不确定性,且需要假设系统的幂次上界信息已知.文献[22]结合增加幂次积分技术和自适应控制方法,解决了具有未知幂次和不确定参数的高阶非线性系统的自适应控制问题.最近,针对一类具有未知时变幂次的高阶非线性系统,文献[23]利用障碍李雅普诺夫方法给出了满足全状态约束条件的自适应控制方案.但文献[22-23]所提控制方案仍然要求系统幂次的上界已知.为去除这一假设条件,文献[24]采用增加幂次积分技术和逻辑切换方法,设计了一种全局切换自适应镇定方案.该方案的不足在于切换控制信号是非光滑的,可能会引起抖振问题,从而激发系统中的高频未建模动态.为此,文献[25]利用动态增益法,提出了一种光滑自适应状态反馈控制器,但这种控制器仅适用于相对阶为2 的非线性系统.

基于以上讨论,本文研究了一类具有未知幂次的高阶不确定非线性系统的自适应跟踪控制问题.结合积分反推技术和障碍李雅普诺夫函数,提出了一种新颖的自适应状态反馈控制策略.本文所得到的控制策略具有如下优点:1)采用对数型障碍李雅普诺夫函数[26-27]解决了系统幂次未知与模型不确定带来的技术难题;2)所提出的自适应控制策略中没有包含虚拟控制律的导数信息,避免了积分反推法中的“计算膨胀”问题;3)所设计控制器能够确保闭环系统的所有信号一致有界.最后,仿真结果验证了本文理论结果的有效性.

本文采用如下符号:R,R≥0,R＞0分别表示实数、非负实数和正实数集合.Rn表示n维实向量集合. sign(s)表示变量s的符号函数.对任意正常数q,定义[s]q=sign(s)|s|q.表示分子和分母都是正奇整数的所有有理数的集合.

1 问题描述与预备知识

1.1 问题描述

考虑如下高阶不确定非线性系统

其中,x=[x1,···,xn]T∈Rn是系统的状态向量,初始值x(0)=[x1(0),···,xn(0)]T,=[x1,···,xi]T∈Ri,i=1,···,n;u∈R 和y∈R 分别是控制输入和系统输出;pi∈,i=1,···,n是系统(1)的未知幂次.系统函数fi,gi:R≥0×Rn×R→R,i=1,···,n在t上分段连续,且关于x和u满足局部Lipschitz 条件.本文的控制目标是设计自适应控制器u,使得系统输出y跟踪期望轨迹yr,同时确保闭环系统的所有信号皆有界.

注 1.不同于文献[20-25]中的研究结果,本文中系统幂次无需满足p1≥p2≥···≥pn.

假设 1.存在未知的连续函数:Ri→R≥0,:Ri→R＞0和:Ri→R＞0,满足

其中,i=1,···,n,l=1,···,ji,ji为有限正整数,qil为满足 0≤qi1＜qi2＜···＜qiji＜pi的正常数.

注 2.假设1 表明了本文所提控制算法无需知晓系统函数gi(t,x,u),fi(t,x,u)及相应的界函数的解析表达式.

假设 2.期望轨迹yr为连续可微函数,且存在未知正常数Br,满足

1.2 预备知识

引理 1[28].考虑初值问题

其中,hr:R≥0×Ξr→RN在t上分段连续,且关于ηr满足局部Lipschitz 条件,Ξr⊂RN为非空开子集.ηr(t)是初值问题(5)在最大存在区间上的解,＜+∞.设是 Ξr的紧子集,则存在ts∈,使得ηr(ts).

引理 2[29].对任意a∈R,b∈R,m∈R＞0,n∈R＞0和函数ρ(a,b)＞0,下列不等式成立

引理 3[29-30].对任意p≥1,a∈R,b∈R,下列不等式成立

其中,cp=2p-2+2.

引理 4[31].对任意δ∈R＞0和ξ∈R,下列不等式成立

引理 5[32].对满足 0≤d＜c的c∈R 和d∈R,下列不等式成立

2 自适应跟踪控制策略

本节设计了一种基于障碍李雅普诺夫函数的自适应跟踪控制器,并给出了闭环系统的稳定性证明.

2.1 自适应控制器设计

定义如下误差坐标变换

其中,αi-1是第i－1 步的虚拟控制律.

步骤i(i=1,···,n-1).选取正常数μi满足μi＞|zi(0)|,设计第i步虚拟控制律和自适应律为

步骤n.选取正常数μn满足μn＞|zn(0)|,设计实际控制律和自适应律为

上述自适应控制器的设计过程如图1 所示.

图1 具有未知幂次的控制系统框图Fig.1 Block diagram of the control system with unknown powers

注 3.如式(14)～(17)所示,本文提出的自适应反推控制策略不依赖于系统幂次pi及其上界信息,且无需知晓系统函数fi(t,x,u),gi(t,x,u)及相应的界函数的解析表达式.同时,该控制策略未包含虚拟控制律αi的导数,消除了积分反推法中“计算膨胀”问题.

2.2 稳定性分析

在给出闭环系统的稳定性分析之前,先引入如下命题.

其中,

从而,有

本文主要结论可总结为如下定理.

定理 1.对满足假设1 和假设2 的高阶不确定非线性系统(1),在任意初始条件x(0)下,控制器(16)以及自适应律(15)和(17)保证了闭环系统的所有信号一致有界,并且输出跟踪误差可以收敛到残差为任意小的残差集.

证明.本证明共分为3 部分.首先,证明由系统(1),控制器(16),自适应律(15)和(17)组成的闭环系统在最大存在区间 [0,tf)上存在唯一解η(t)=.然后,采用反证法证明tf=+∞.最后,实现本文控制目标.

Part 1.根据式(14)和式(16),虚拟控制律α1,···,αn-1,实际控制律u以及系统状态x1,···,xn可写为

因此,由式(1)和式(14)～ (17)组成的闭环系统可改写为

定义开集

由于μi＞|zi(0)|,i=1,···,n,可知η(0)=[z1(0),···,zn(0),]T∈Ξ.同时,由于期望参考信号yr及其导数有界,函数fi,gi,i=1,···,n在t上分段连续,且关于x和u满足局部Lipschitz条件,可推得φi:R≥0×Ξ→R 在t上分段连续,且关于x和u满足局部Lipschitz 条件.根据微分方程解的存在唯一性定理[33],对任意初始条件η(0),闭环系统(29)～(32)在最大存在区间 [0,tf)上存在唯一解η=[z1,···,zn,]T∈Ξ,即,对∀t∈[0,tf),|zi|＜μi,i=1,···,n.

Part 2.本部分采用反证法证明tf=+∞.为此,不妨假设tf＜+∞.

考虑如下障碍李雅普诺夫函数[26]:

步骤i(i=1,···,n-1).Vi的导数为

其中,α0=yr.

根据假设1 和引理2,下列不等式成立

其中,

将式(35)代入式(34),可得

根据命题1,可得

情形1.当pi=1 时.由Part 1 可得:|zi+1|＜μi+1,∀t∈[0,tf),因而

情形2.当pi＞1 时.由引理2 和引理3 以及|zi+1|＜μi+1,∀t∈[0,tf),可得

其中,

将式(40)代入式(37)中,并结合命题1,易得

其中,ωil和νim为未知正常数.

将式(42)和式(43)代入式(41)中,有

通过式(14)和式(15),并结合引理3,可得

根据引理2 和引理4,式(45)中的项σiωilϑi|ξi|放缩为

其中,

由式(45)和式(46),可得

依据引理2 和引理5,以及Young 不等式,则有

其中,

由式(48)～(50),可得

因此,对∀t∈[0,tf)中,有

从式(52)和式(53),可得

进而可推出,对∀t∈[0,tf),αi和xi+1有界.接着,对αi和ξi分别求导,可得

步骤n.求Vn的导数,可得

类似于式(35)的推导过程,利用假设1 和引理2,可得

其中,

由式(59)以及命题1,可推得

其中,ωnl和νnm为未知正常数.

利用式(61)和式(62),有

根据式(16)和式(17)以及命题1 和引理3,可得

依据引理2 和引理4,式(64)中的项σnωnlϑn|ξn|放缩为

其中,

将式(65)代入式(64)中,得到

根据引理2 和引理5,以及Young 不等式,可得

其中,

根据式(67)～(69),可得

因此,对∀t∈[0,tf),有

由式(71)和式(72),可得

故可推出,对∀t∈[0,tf),u有界.

由步骤 1～n可知,存在紧子集,使得闭环系统在 [0,tf)上存在唯一解η(t)∈Ξ′.根据引理1,可得:tf=+∞,即,对∀t∈[0,+∞),|zi|＜μi,i=1,···,n.

Part 3.重复Part 2 中的步骤1～n,可得x1,···,xn,α1,···,αn-1和u均有界,∀t∈[0,+∞).另外,从式(54)可知,通过减小μ1和ϖ1可将输出跟踪误差z1收敛到任意小的残差集. □

注 4.不同于文献[20-25]中提出的控制方案,本文采用积分反推技术和障碍李雅普诺夫方法解决了高阶非线性系统中幂次未知和系统函数不确定的问题,且所设计控制策略不依赖于未知幂次的上界信息.

3 仿真算例

为了验证本文所提控制算法的有效性与通用性,考虑如下两个高阶非线性系统

在仿真中,系统 Σi和自适应参数的初始值设置为 [x1(0),x2(0)]T=[－0.5,0.4]T,=0,i=1,2.控制器参数k1=2,k2=1,μ1=4,μ2=2,σ1=3,σ2=2,γ1=2,γ2=3,δ1=δ2=0.01 和λ1=λ2=0.002,其中,μ1=4＞|z1(0)|=0.5,μ2=2＞|z2(0)|=106/315.系统 Σ1和 Σ2的仿真结果如图2～4 所示.图2 刻画了输出跟踪误差y－yr的变化情况,图3 给出系统的控制信号u,图4 描述了自适应参数.从仿真结果可以看出,本文所提自适应控制策略既能使系统 Σ1和 Σ2的输出跟踪误差收敛到原点附近的较小邻域内,又能确保闭环系统的所有信号有界.

图2 系统 Σ1 和 Σ2 的输出跟踪误差y-yrFig.2 Output tracking errors y-yr of systems Σ1 andΣ2

图3 系统 Σ1 和 Σ2 的控制信号uFig.3 Control signals u of systems Σ1 andΣ2

图4 系统 Σ1 和 Σ2 的自适应参数Fig.4 Adaptive parameters of systems Σ1 andΣ2

为进一步验证本文控制算法的幂次无关特性,在系统初始值与控制器参数不变的条件下,对具有不同幂次p1和p2的系统 Σ1进行仿真测试.仿真结果如图5 和图6 所示.图5 为系统 Σ1在不同幂次p1和p2条件下的输出跟踪误差y－yr,图6 为相应的控制信号u.仿真结果表明,在不同幂次条件下,该控制器仍然可以保证闭环系统获得良好的控制性能.

图5 系统 Σ1 在不同幂次下的跟踪误差y-yrFig.5 Output tracking errors y-yr of system Σ1 under various powers

图6 系统 Σ1 在不同幂次下的控制信号uFig.6 Control signals u of system Σ1 under various powers

4 结束语

针对一类具有未知幂次的高阶不确定非线性系统,提出了一种基于障碍李雅普诺夫函数的自适应控制算法.在无需知晓系统函数先验知识的条件下,所提控制算法有效克服了系统幂次未知与模型不确定带来的技术挑战.该算法的显著特点是所设计的自适应控制器均与系统幂次无关.最后,仿真结果验证了本文控制算法的有效性与通用性.

今后的研究方向包括将本文所提方法推广到具有未知幂次的高阶非线性系统的输出反馈控制设计[34].此外,为验证本文方法的实用性,将本文所提控制策略应用于实际系统[35]亦是我们未来研究的目标.