同时含有未知输入和测量干扰系统全维和降维观测器设计

吴 阳 张建成

在原控制系统存在未知输入信号的条件下,基于原系统的结构并利用其已知输入和可测输出构造出一个新的系统,以此达到对原系统状态和未知输入估计的目的,这样的新系统就称为原系统的一个未知输入观测器(Unknown input observer,UIO)[1-4].未知输入观测器在工程中有着广泛的应用背景.例如,在机械工具的应用中,工具施加的切割力作为系统的输入很难测量,或者是即便可测但是测量的代价太高.如果把切割力作为机械工具系统的未知输入,就可以构建UIO 将系统状态和该未知输入同时估计出来[5].事实上,控制系统的执行器故障,外部干扰以及在基于混沌同步的保密通信的信号接收端所需要还原的未知信号等都可以看作系统的未知输入[6-10].因此,UIO 技术在故障检测和重构,基于观测器的鲁棒控制以及保密通信等方面发挥着重要作用[11-12].几十年来,一直是控制理论和工程学者研究的热点问题[12-18].

需要指出的是,经典的UIO 技术主要针对不含测量干扰的系统.诚然,一旦测量输出受到不确定干扰的影响,其观测器设计会变得异常困难.然而,对于许多实际系统来说,输出通道中又往往不可避免地受到传感器故障,测量噪声等不确定干扰信号的影响.因此,对同时含有未知输入和测量干扰系统研究如何消除输出通道中的不确定干扰并进而设计观测器具有重要意义,并已经受到众多学者们的关注[19-23].例如,Dimassi 等[19]针对同时含有未知输入和测量噪声的系统研究了自适应滑模观测器的设计问题.Yang 等[20]利用滑模微分器技术解决了观测器匹配条件不满足时的观测器设计问题.Li 等[23]基于H∞理论讨论了未知输入和测量噪声同时重构问题.注意到,上述针对同时含有未知输入和测量干扰系统观测器设计问题的研究中大部分文献都采用经典的描述系统方法来消除测量干扰[21].该方法的思路是通过增维的思想将原系统状态和测量干扰写成一个新的状态向量.这样以来,原来的一般系统就可以写成一个描述系统,而基于新的状态向量其输出方程在形式上已经不再包含干扰.进而,可针对该描述系统进行观测器设计.该方法的优点是思路简单且在估计状态的同时可以将测量干扰也估计出来.但是该方法在将一般系统写成描述系统的同时一方面会增加系统维数,进而增加系统的复杂性,另一方面还可能会改变系统的干扰解耦条件.此外,基于该方法,系统干扰解耦条件只能基于描述系统的参数矩阵给出而不能基于原系统的参数矩阵给出,这也会给观测器设计条件的验证带来一定的困难.

另一方面,相比于全维观测器,降维观测器由于只需要估计系统的部分状态,因而可以具有较低的维数.这意味着,在工程中只需要使用较少的积分器就可以将全部的状态估计出来,不但可以节约硬件成本,还可以在很大程度上降低系统的复杂性.然而,对于同时含有未知输入和测量干扰的系统,由于测量干扰的存在,经典的降维观测器设计变得极其困难.这是因为经典的降维观测器设计中一般包含两个步骤:1)利用状态变换将部分状态信息从测量输出中提前分离出来;2)利用测量输出构造动态观测器将剩余的状态估计出来.因此,如果测量输出中包含有未知的干扰信号,经典的降维观测器设计方法中的步骤1)和步骤2)都将无法实施,也就无法设计降维观测器.因此,找到一种在不增加系统状态维数和设计保守性的前提下同时能够消除测量干扰的降维观测器设计方法很有意义.

基于以上观察,本文针对同时含有未知输入和测量干扰的系统全维和降维观测器设计问题展开较为系统的研究.本文的主要贡献和创新点体现在:1)利用待定系数法给出并证明了全维观测器结构和存在条件.该条件完全由原系统的参数矩阵表示,易于验证.其中,对存在条件的分析和证明是本文难点所在.2)为消除测量干扰对降维观测器设计的影响,提出了构造新的测量输出的思路,使得新的测量输出不再包含干扰信号.与经典的描述系统方法相比,该方法不需要增加系统状态的维数.3)证明了全维和降维观测器存在条件的内在统一性,即全维观测器设计所需要满足的观测器匹配条件和强可检测条件在研究降维观测器设计时所要讨论的新的系统中都可以得到保持.因而,只要全维观测器存在,降维观测器也存在.

本文内容安排如下:第1 节是问题描述和主要结论.第2 节给出仿真算例来验证方法的有效性.最后在第3 节给出结论.

1 问题描述与主要结论

1.1 问题描述

考虑一类同时具有未知输入和测量干扰的不确定系统

其中,x∈Rn,u∈Rm,y∈Rp,ω∈Rq,η∈Rr分别为系统的状态,控制输入,可测输出,未知输入和测量干扰向量.A,B,D,C,F分别为已知的常数矩阵.不失一般性,假设n＞p≥q+r且矩阵D,F满秩.

本文将讨论系统(1)的全维和降维观测器存在条件和设计方法.在第1.2 节首先通过对全维观测器设计的分析得出其存在条件.在第1.3 节将证明在全维观测器的存在条件下,也能设计一个相应的降维观测器.

1.2 全维观测器

本节来讨论全维观测器的设计.构造具有如下形式的全维观测器

其中,z(t)为观测器状态,为x的估计.N,G,H和E为待定的常数矩阵.令e(t)=x(t)－为状态估计误差,则有

其中,In表示n维的单位矩阵.计算e(t)的动态方程可得

因此,若要e(t)→0,t→∞,须有

且矩阵N为Hurwitz 稳定阵.

显然,若先能确定E,K,那么根据矩阵方程(4)～(9),我们还能确定矩阵H,G和N.下面,给出能保证式(4)～(9)成立和矩阵N可稳的条件以及相应的引理.

假设 1.系统(1)的系数矩阵满足观测器匹配条件,即

引理 1.假设1 成立,当且仅当存在矩阵K和E使得式(6)～(8)成立.

证明.矩阵方程(6)～(8)可重写为

因此,存在K和E使得式(11)成立的条件是

而

根据式(12)和式(13)可直接得出引理的结论. □

为了保证矩阵N可稳,给出假设2 和相应的结论引理2.

假设 2.系统(1)的系统矩阵满足强可检测条件,即对于所有具有非负实部的复数s都有

引理 2.系统(1)满足强可检测条件,则存在矩阵K和E使得矩阵N为Hurwitz 稳定.

证明.注意到

其中,矩阵K和E满足式(11).记

则由式(11)得矩阵K和E为

其中,Σ†为矩阵 Σ 的广义逆矩阵,满足 ΣΣ†Σ=Σ,Z为具有适当维数的任意矩阵.将式(15)代入到式(14),得

其中

为常数矩阵.因此,为了证明N可稳定,只需要证明 (Π1,Π2)可检测.

事实上,对于任意具有非负实部的复数s,都有

另一方面,

由式(16)和式(17)并结合假设1 知,对于所有具有非负实部的复数s都有

即 (Π1,Π2)可检测. □

注 1.系统(1)满足强可检测条件[1],即对于任意初值x(0)和任意控制输入u(t)都有y(t)≡0⇒x(t)→0,t→∞.该条件能够保证观测器误差系统的稳定性.

由引理1 和引理2 可知,当系统(1)满足假设1 和假设2 时,全维观测器(2)存在,由此我们给出定理1.

定理 1.基于假设1 和假设2,存在增益矩阵K,E,G,H和Hurwitz 稳定矩阵N满足式(4)～(9),则系统(2)为系统(1)的一个全维观测器,且→x(t),t→∞.

证明.由引理1 和引理2 立即可得到本定理的结论. □

我们将全维观测器的设计步骤总结为算法1.

注 2.在全维观测器设计中,我们不光要将未知输入ω(t)和测量干扰η(t)解耦(即保证式(5)～(8)成立),还要保证解耦完成以后误差系统极点的可配置性(即矩阵N为Hurwitz 稳定).如何分析得到假设1 和假设2,并证明假设1 和假设2 如何保证上述性质是全维观测器设计过程中的难点所在.

注 3.本小节讨论了全维观测器的设计方法和存在条件.在下一小节讨论降维观测器设计时将证明在全维观测器存在条件下我们也可以设计一个相应的降维观测器.

1.3 降维观测器

本节讨论系统(1)的降维观测器设计.为了突破测量干扰信号对经典的降维观测器设计方法的限制,本小节通过构造新的测量输出提出一种新的降维观测器设计方法.

根据矩阵的广义逆理论,将系统(1)的输出方程左右两边同时左乘矩阵Ip－FF-,得

注 4.在系统(19)中构造了一个新的输出(18)来代替原系统的输出,以此消除了原系统输出通道中测量干扰的影响.对于系统(19),已经证明只要其满足强可检测条件,即对于任意具有非负实部的复数s

和观测器匹配条件

则不难对其设计一个降维观测器[1-2,5].因此,下面将证明在假设1 和假设2 成立的条件下,新系统(19)也同时满足式(20)和式(21).

引理 3.假设1 成立,当且仅当=rank(D).

证明.根据假设1 可知

引理 4.假设2 成立,当且仅当系统(19)满足强可检测条件,即对于任意具有非负实部的复数s,都有

证明.由假设2 知,对于任意具有非负实部的复数s有

这意味着对于任意具有非负实部的复数s都有

基于引理3 和引理4 的结论可得到引理5.

引理 5[5].系统(19)同时满足强可检测条件和观测器匹配条件,则存在可逆矩阵T和S,使得

证明.由 rank(D)=q知

下面给出定理2.

定理 2.基于引理1 和引理2,取增益矩阵L使得矩阵为Hurwitz 稳定,则系统

我们将降维观测器的设计步骤总结为算法2.

注 5.本小节研究了系统(1)的降维观测器设计,其创新点和难点体现在:1)构造了新的不含测量干扰的输出.并基于该输出实现了观测器的实质性“降维”.2)证明了原系统(1)满足的观测器匹配条件和强可检测条件在由新的输出构成的新系统(19)中都可以得到保持.

注 6.本文在全维和降维观测器设计中采用干扰解耦的方式来处理未知输入ω(t)和测量干扰η(t).因此,只要干扰解耦条件(观测器匹配条件)(10)成立,无论ω(t)和η(t)为何种类型的干扰,其影响都可以在观测器中得到完全消除.

注 7.注意到文献[20]和[23]也研究了同时含有未知输入和测量干扰系统的观测器设计问题.文献[23]讨论了H∞观测器.该观测器存在条件较弱,但它仅能实现H∞意义下的状态估计,并不能实现渐近估计.文献[20]针对该系统提出了一种新的解决方案,弱化了观测器匹配条件.但是该方案必须使用测量输出的一阶甚至高阶微分信号,因此容易受到测量噪声的影响.而本文提出的方法只需要使用测量输出本身而不必使用其高阶微分信号.在仿真部分将进一步说明这一点.

2 数值仿真

本节给出一个数值例子,并用其验证方法的有效性.考虑系统(1)且其系统参数为

其中,未知输入ω(t)=5.2 sin(3.8t),测量干扰η(t)=3.5 cos(4.7t).由于控制输入u(t)为已知的,它不影响系统的能观性.因此不妨假设u(t)=0.

2.1 全维观测器设计

容易验证该系统满足观测器匹配条件(假设1)和强可检测条件(假设2),故根据定理1 和定理2,我们一定可以设计全维和降维观测器实现对系统状态的重构.

首先,求得矩阵

进而求得矩阵 Π1和 Π2.然后,选取增益矩阵

使得矩阵N的特征值为 {－1,－6.125,－2.4}.此时可求得全维观测器的系数矩阵

为验证该观测器的有效性,假设系统(1)的状态初值为x(0)=[－1－2 0]T,观测器初值为z(0)=[1 1 2]T.图1 给出了原系统的状态曲线和观测器估计的状态曲线.可以看出,本文设计的全维观测器很好地实现了对原系统状态的渐近估计.

图1 系统状态及其估计(全维观测器)Fig.1 Actual states and their estimations(full-order observer)

2.2 降维观测器设计

求得矩阵 的一个广义逆矩阵F-=[0 1],而后构造一个新的测量输出=(Ip－FF-)y(t)及分布矩阵

容易验证,在原系统满足观测器匹配条件和强可检测条件下,新系统也满足观测器匹配条件和强可检测条件.根据引理5 的算法,求得状态变换矩阵S=I2和

并进而求得降维观测器(24)和(25)的参数矩阵

图2 系统状态及其估计(降维观测器)Fig.2 Actual states and their estimations(reduced-order observer)

图3 方波形未知输入信号Fig.3 Square wave unknown input signal

图4 锯齿形测量干扰信号Fig.4 Sawtooth measurement disturbance signal

图5 方波和锯齿干扰信号下的状态估计Fig.5 State estimations under square wave and sawtooth disturbance signals

此外,为了对比本文方法与文献[20]方法的估计效果,假设测量输出受到如图6(a),图7(a),图8(a)所示的噪声信号的影响.图6(b),图7(b),图8(b)分别展示了在3 种不同幅值噪声信号下利用文献[20]得到的状态估计,而图6(c),图7(c),图8(c)为3 种噪声信号下对应的由本文降维观测器得到的状态估计.可以发现,随着随机噪声幅值的增大,文献[20]的估计效果逐渐下降,而本文方法始终可以实现对原系统状态的渐近估计.

图6 在受到噪声信号1 影响下的状态估计Fig.6 State estimations under the influence of noise signal (Type l)

图7 在受到噪声信号2 影响下的状态估计Fig.7 State estimations under the influence of noise signal (Type 2)

图8 在受到噪声信号3 影响下的状态估计Fig.8 State estimations under the influence of noise signal (Type 3)

3 结束语

本文针对同时含有未知输入和测量干扰的系统研究了全维和降维观测器设计问题.我们给出了全维观测器的结构并利用待定系数法分析得到了全维观测器的存在条件.为了消除输出通道中的不确定干扰对降维观测器设计的影响,本文构造了新的不包含干扰的测量输出.并且证明了全维观测器的存在条件和降维观测器存在条件内在的统一性.但该方法要求强可检测条件和观测器匹配条件同时满足,相对苛刻.如何弱化强可检测条件和观测器匹配条件来设计观测器是我们下一步要讨论的课题.