顺应“深度学习” 变式拓展探究——以一道圆锥曲线高三质检试题的变式探究为例

山东 黄绪荣

由美国新媒体联盟和美国学校网络联合会合作完成的2015年基础教育《地平线报告》提出了两种长期趋势，其中一种就是探索深度学习的策略.深度学习就是在教师的引导下，学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程.复习课是高三数学教学的常态，承载着知识的再现与深化、方法的总结与凝练、思想的感悟与提升.由于解题教学是高三复习课教学的主体形式，发展学生数学分析和表达能力，促进学生思维的纵向深入发展，引导学生深度学习，应当成为倡导提升数学素养的高三解题教学的价值追求.基于“深度学习”理念，在对2022年2月福建省漳州市2022届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题第21(2)题的深度探究、发现过程中，从解法探究，到延伸推广，再到类比拓展，直到最后发现圆锥曲线的性质，整个过程可以说完全基于并顺应了“深度学习”理念，是一次基于“深度学习”理念探究问题的收获尝试.现将整个探究过程展现出来与诸位同行分享、交流.

一、试题呈现

(1)求Γ的方程；

二、解法探究

对于第(1)题，先利用三角形面积公式变形已知面积等式，再利用双曲线定义和性质求得a2，从而得到Γ的方程.

解：设△PF1F2的内切圆半径为r，

又a2=c2-1，解得a2=3,

对于第(2)题，解答的关键是求切线l的方程.按常规解法，首先设出切线l的方程，然后与双曲线方程联立、变形整理，利用判别式为零和点P在双曲线上得到的坐标间的整体关系，将l的斜率表示为点P的坐标关系，进而变形l的方程，最后表示出两个交点M,N的坐标，运用两点间的距离公式和点P在双曲线上得到的坐标间的整体关系，证得等式.

这个解题程序是清晰、明确的，但实际解答中，其式子、方程之复杂、运算量之大，困难程度是出乎想象的.

解法1:由题意可知直线l不垂直于x轴，设l的方程为y-y0=k(x-x0)，所以y=k(x-x0)+y0.

得x2-3[k(x-x0)+y0]2-3=0，

所以x2-3(kx-kx0+y0)2-3=0，

面对这样一个含有多个参量的关系，不知后面的关系会有多么的复杂，至此，信心顿失、难以为继，因运算受阻而就此搁置！

仔细想想，第(2)题的“梗”在于求切线l的方程.这样我们可以转换一下对解题认知的思路，运用双曲线的“二级结论”直接给出切线l的方程，然后完善解答，虽然此做法得不到该题的满分，但至少可以得到大部分的分数，比放弃解答要强很多.这里将解法1后面的解题过程补充完整，就可以感觉到搁置解法1是个明智的选择.

因为P(x0，y0)是Γ右支上一点，

所以(x0-3ky0)2=0，所以x0-3ky0=0.

所以代入l的方程为y-y0=k(x-x0)，

下同解法1.

这里需要进一步提醒的是，数学中的许多“二级结论”可以直接用来解答客观题，但用于解答主观题时必须有推证的过程，其实上面的解法1运算受阻的原因就在于所用“二级结论”的推证过程.

除上面的两种解法外，第(2)题还有没有更好地解答途径呢？我们进一步转换视角，可以从“点P(x0，y0)是Γ右支上一点”和“在点P处的切线l”这两点切入来考虑，将Γ右支分上半支和下半支来讨论的基础上，利用导数的几何意义解答，岂不妙哉！于是，就有了下面我们优选的解法.

解法3：由题意可知直线l不垂直于x轴，设l的方程为y-y0=k(x-x0).

由题意知y0≠0，

下同解法1.

三、考查模式

(1)求C的方程；

其中第(2)题就是以双曲线为载体的定值问题.

求解定值问题的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，得到问题所需要的代数表达式，然后对表达式进行直接推理、计算，并在推理计算的过程中消去变量，从而得到定值．这种方法可简记为：一选(选好参变量)、二求(对运算能力要求颇高)、三定值(确定定值)．

四、试题变式

1.变式思考，延伸推广

思考第(2)题证得的结论，有下列两个变式问题：

变式1.若点P在Γ的左支上将会是怎样的？结论与点P在Γ的右支还是左支上有无关系？

变式2.点A能否在其他象限的渐近线上或不在渐近线上？结论与点A是否在Γ的渐近线上有无关系？

证明：由题意可知直线l不垂直于x轴，设l的方程为y-y0=k(x-x0).

由题意知y0≠0，

所以b2x0x-a2y0y=a2b2.

故证得|MF2|=e|NF2|.

按结论1的证明过程同理可证得.

2.类比变式，结论深化

圆锥曲线有许多相似的性质或结论，于是又有：

变式3.将结论1和结论2分别类比变式到椭圆和抛物线，是否有同样的结论？

经过一番探究发现，答案是肯定的，于是就有了椭圆和抛物线的3个结论.

证明：由题意可知直线l不垂直于x轴，设l的方程为y-y0=k(x-x0).

由题意知y0≠0，

所以直线l的方程为b2x0x+a2y0y=a2b2，

故证得|MF2|=e|NF2|.

按结论3的证明过程同理可证得.

证明：由题意可知直线l不垂直于x轴，设l的方程为y-y0=k(x-x0).

由题意知y0≠0，

故证得|MF|=|NF|.

3.整合变式，收获共性

变式4.以上分别得到了三种圆锥曲线的结论，能否将上述5个结论进行整合、统一呢？

于是经过探究，我们得到了一般圆锥曲线的一条性质命题：圆锥曲线Γ的一个焦点为F，离心率为e，点P是Γ上一点，若Γ在点P处的切线l与过F且垂直于x轴的直线相交于点M，与F相应地准线相交于点N，则无论点P怎么变动，总有|MF|=e|NF|.

五、教学感悟