失效的“端点效应”

江西省九江市第三中学 卢恩良 （邮编：332000）

文[1]中杨老师通过例题和应用举例详细解释了端点效应、解法原理、适用类型和解题步骤.经仔细研究，发现文[1]利用必要条件缩小范围时，表述有错误，应修改为：

①若f(x,m)≥0（m为参数）在[a,b]（a、b为常数）上恒成立，且f(a)=0（或f(b)=0），则f′(a)≥0（或f′(b)≤0）.

②若f(x,m)≥0（m为参数）在[a,b]（a,b为常数）上恒成立，且则f′′(a)≥0（或f′(b)≤0）.

按照文[1]对第二类情况的表述，求得的参数范围应为充分条件，而非必要条件.无论求得范围是必要条件还是充分条件，都应当对其充分必要性作进一步的证明.

近期，笔者所在地市进行的一次高考模拟考中就遇到了利用“端点效应”求解错误的情况，本文尝试从模拟试题出发，探究“端点效应”为何失效.

1 试题呈现

（2022年九江市第三次高考模拟考试理数21题）已知函数f(x)=sinx-x+ax2(a∈R)，

(Ⅰ)当a=0 时，试比较f(x)与0 的大小；

(Ⅱ)若f(x)≥0 恒成立，求a的取值范围.

分析(Ⅰ)容易得到当x<0 时，x0 时，x>sinx；当x=0 时，x=sinx.

(Ⅱ)结 合(Ⅰ)知，当a<0 时，对于x>0，有sinx-x<0，ax2<0，所以f(x)<0，不符合题意，即a≥0.当a≥0 时，对于x<0，有sinxx>0，ax2≥0，所以f(x)>0成立，原问题 转化为“已知a≥0，若f(x)≥0对x≥0恒成立，求a的取值范围”.

2 解答探究

2.1 错解展示

学生错解1容易得f(0)=0，f′(x)=cosx-1+2ax，f′(0)=0，问题属于文[1]中的第二类，求得f′(x)=-sinx+2a.结合端点效应，当f′′(x)=-sinx+2a≥0 恒成立时，即

学生错解2容易得f(0)=0，f′(x)=cosx-1+2ax，f′(0)=0，问题属于 文[1]中的第二 类，求得f′′(x)=-sinx+2a.结合端 点效应，必有f′′(0)=2a≥0，即a≥0.

2.2 错解分析

错解1 的思路是破题的一种方法.根据端点f(0)=0且f′(0)=0 的特点，学生考虑f′(x)在[0,+∞)上单增时的一种“理想状态”，即f′′(x)≥0 恒成立 时，有f′(x)≥0 成立，即f(x)也是单增的，所以f(x)≥0，这必定是符合题意.因此是问题成立的充分条件，而非必要条件.对于此时的充分条件，如何证明其必要性呢？如果顺着学生思路走下去，接下来应考虑，当时，f(x)≥0 不恒成立，即总能找到一个x0，使f(x0)<0.结合正确答案来看，这显然是行不通的.因此，正确的做法是在时，继续寻找符合题意的a，但这个思维难度就不小了.

错解2的思路是完全按照文[1]中关于“端点效应”的第二类情况处理的，所以f′′(0)≥0，即2a≥0，a≥0.此时，求得的范围是问题的必要条件，如何证明其充分性呢？如果顺着学生思路走下去，接下来应考虑，当a≥0时，f(x)≥0恒成立.

以上两种思路都是处理该类不等式恒成立问题的常规解题思路，只是针对本题失效了而已.那么端点效应解题为何会失效呢？关键还在于端点效应解题本身有一种“凑巧”的成分在里面，此时不凑巧了而已！因此，利用端点效应解题要注意解题过程的逻辑性和严谨性.

2.3 参考解答及探究

下面给出参考解答中的方法：

所以当x∈(0,x1),(x2,π) 时，q(x)>0；当x∈(x1,x2)时，q(x)<0,所以p(x)在(0,x1),(x2,π)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减.

所以g(x)在上单调递增，在上单调递减，而g(0)=g(π)=0，所以当x∈(0,π)时，g(x)>0.

③当x∈[π,+∞)时，p(x)≥cosx-1+2 ≥0，所以g(x)在[π,+∞)上单调递增，

所以g(x)≥g(π)=0.

综上所述，a的取值范围是

上述参考解答中，命题者直接给出了问题成立的一个必要条件“f(π)≥0 ”，从而算得接下来证明其充分性.“f(π)≥0”的给出过于突兀，无中生有，让读者摸不着头脑.为何不用其他的，如，f(1)≥0 等来求解必要条件呢？参考答案的给出着实让人捉摸不透.

经过探究，将f(x)≥0 变形得ax2≥xsinx，作y=ax2与y=x-sinx图象可以发现一些端倪.如下图所示，无论a为何值，二者都经过原点；当时，二者图象在x=π 处“相切”，有除原点外的唯一公共点，符合题意；当a越大时，二次函数向上开口越小，越符合题意.因此，答案为这估计就是命题者命制该题的背景了吧！

也可将f(x)≥0 变形，得发现函数在x=π 处的切线恰好为在x=π 处的切线恰好过点(0,-1)，易得符合题意，如下图.

3 链接高考

类似证明“f(x)≥0在x∈[a,b]恒成立”的问题，如果有端点值的特征符合“端点效应”，但利用“端点效应”解题时并不奏效.我们可以尝试在[a,b]中找一个x0，根据f(x0)≥0 解出参数范围，求得问题的一个必要条件，再证明其充分性.此处的难点在于，如何寻找那个犹如天降的x0，使得所求范围恰好是充要条件.下面来研究一道高考题.

（2020年全国Ⅰ卷理数21题）已知函数f(x)=ex+ax2-x，

(Ⅰ)当a=1 时，讨论f(x)的单调性；

(Ⅱ)x≥0时，求a的取值范围.

为了寻找到一个问题的充要条件，我们不断地在[0,+∞) 中寻找一个x0，使必要条件h(x0)≥0 恰好符合题意，成为问题的充要条件，但这无疑大海捞针.但经过我们的不懈寻找，终于找到了一个合适的x0=2.由题意必有h(2)≥0 成立，即e2+4a-7 ≥0，解得.所求参数范围为问题成立的必要条件，接下来，证明其充分性即可，过程略.

4 小结

端点效应解题可以很好地降低思维难度，在处理一类不等式恒成立问题时有奇效.但利用端点效应求得的范围只是问题成立的必要条件或充分条件，无法判断其是否为充要条件.因此，盲目地套用端点效应解题有时候会求解错误，教师在解题教学时要注意其逻辑性和严谨性，不仅要让学生知其然，还要知其所以然.