自主构建数学模型 促进学生思维生长——以一次函数解决实际问题的教学为例

中国科学技术大学附属中学 朱 浩 （邮编：230051）

1 引言

《义务教育数学课程标准（2022年版）》新课标中指出，学生的学习应是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式.教学活动应注重启发式，要让学生形成积极主动的学习态度，激发学生学习兴趣，引发学生积极思考，鼓励学生质疑问难，引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，教师应该关注学生的学习兴趣和学习经验，实施开放性的教学模式，课堂就要充分体现以教师为主导，以学生为主体，让学生真正参与到课堂中去，做课堂的主人.本文以沪科版八年级数学上册第12 章第2 节的内容——《用一次函数解决实际问题》中的部分教学片段为例.教材从实际问题出发，创设了学生感兴趣的实际问题，使他们在观察和分析中体会数学建模及数形结合的思想.由于学生的基础不同，学生的个体差异可能会比较突出，所以教学时尽量做到因生制宜，灵活施教.课堂要注意引导学生自主探索、合作交流，进一步提高学生解决问题的能力；鼓励学生主动参与小组活动，大胆表达自己的想法和意见，尝试用多种方法解决问题，营造积极活跃而又充满数学思维的课堂.

对于笔者这节课的课堂实录，在教学过程中出现的情境，就个别教学片段谈谈一些自己的感受，如下：

2 自主探究，感知模型

2.1 课堂实录片段一

问题呈现某学校有教师职工若干人，计划在某个节假日期间一同外出参观学习.经调查，该学校所在城市有A、B两家旅行社，它们服务质量基本相同，参观学习的价格都是每人100 元.经联系协商，A旅行社表示可给每位老师八折优惠；B旅行社表示学校先交1000 元后，给予每位老师六折优惠.问该学校选择哪家旅行社，使其支付的旅游总费用较少？

(让学生先独立思考，再回答，如果有困难，教师通过提问点拨)

师：请同学们提出各自的解题思路和观点.

生1：A旅行社打八折，B旅行社打六折，所以选B旅行社.

生2：B要先交1000 元，而A不需要另交钱，所以选A旅行社.

师：你能举出具体的例子来说明你的观点吗？

（教师建议用画表格的方式比较，见表1）

生1：当教师人数为10 人时，A旅行社需要800 元，B旅行社需要1000 元，所以选A旅行社；当教师人数为20 人时，A旅行社需要1600 元，B旅行社需要2200 元，所以还是选A旅行社.

生2:当教师人数为70 人时，A旅行社需要5600 元，B旅行社需要5200 元，所以选B旅行社.

表1

生3：将教师人数固定下来，通过计算就可以知道选哪家旅行社.

师：全部列举是一种方法，但是计算量比较大.

生4: 教师人数是变化的，导致选择每个旅行社的费用也在变化，可以先用x表示教师人数，再用x分别表示出A和B旅行社的费用.

师：很好！其实这样我们只需要比较这两个表达式的大小关系.

（找一学生提问回答，教师点评）

解设该学校外出参观学习的人数为x，按A旅行社的优惠条件，应付参观学习费用80x元；按B旅行社的优惠条件，应付参观学习费用（60x+1000）元.

追问如何比较80x和60x+1000 的大小呢？

生5：利用不等式来解决,分情况讨论即可.

当80x=60x+1000 时，即x=50,选择A或B旅行社的费用都一样；

当80x>60x+1000 时，即x>50,选择B旅行社的费用较少；

当80x<60x+1000 时，即x<50,选择A旅行社的费用较少.

思考1问题中的教师人数是变量，那么除了教师人数是变量之外，还有没有其它的变量？

思考2教师人数变化导致选择的旅行社的总费用也在变化，那么探索变量之间的关系可以用哪个知识点来表示呢？

生6：利用一次函数的知识可以尝试解决.

解假设该学校外出参观学习的人数为x，按A旅行社的优惠条件，应付参观学习费用80x元；按B旅行社的优惠条件，应付参观学习费用（60x+1000）元.

记y1=80x,y2=60x+1000.在同一直角坐标系中作出两个函数的图象.它们的交点为（50，4000）,观察图象，得

当教师人数为50 时，选择A或B旅行社参观学习的费用都一样；

当教师人数为0-49 时，选择A旅行社参观学习的费用较少；

当教师人数大于50 时，选择B旅行社参观学习的费用较少.

（教师应提醒学生关注图形的变化，在实际问题中考虑到自变量的取值范围.）

师：想一想：你还有其他不同的解法吗？

生7：设选择A和B旅行社所需费用之差为y,则y=y1-y2=80x-(60x+1000)=20x-1000,

在平面直角坐标系中，画出一次函数y=20x-1000 的图象，如图示，它与x轴的交点为（50,0）

观察图象，得

当x=50 时，y=0,即y1=y2,选择A或B旅行社参观学习的费用都一样；

当x<50 时，y<0,即y1

当x>50 时，y>0,即y1>y2,选择B旅行社参观学习的费用较少.

（展示交流：教师在展示成果的同时，利用多媒体出示规范的解题过程.）

2.2 设计思路

学起于思，思源于疑，问题呈现让学生对新知充满期待，调动学生参与的兴趣，从而产生强烈的求知欲望.教师根据学生的认识特点和心理特点，有意识的营造“问题”的氛围，培养学生质疑的兴趣，引发学生思考，使学生不断的发现问题，在学中问，在问中学，有利于促进学生自主学习，积极探索，并积累一定的探究问题的路径(见图1)，让学生今后也能在疑惑中学习.

图1 探究本道数学问题的基本探究路径

2.3 教学片段分析

此问题先让学生自主思考后探索，由学生的感性认识，提出自己的设想，教师通过引导通过具体的例子进行实践探究、验证，得到一个知识认知上的冲突，从而激发学生的求知欲望.学生通过亲自实践得出，通过列举法解决，感受到计算量较大，不适宜，从而引发学生积极思考，发现人数是变化的，由此学生联想到用未知数来表示人数，进而也分别表示出A、B两个旅行社的费用.此过程让学生亲自经历、体验、探索，培养了学生从感性到理性的认识，通过数学探究活动，引导学生参与实践，展现思考过程，交流收获经验，积累一定的探究活动经验(见图2 数学建模解决实际问题流程图)，发散学生的思维品质，提升数学素养.课堂上，教师让学生说说自己的想法和思路，使学生充分参与到课堂，体现了以学生为主体，同时让学生积极参与思考，培养学生大胆猜测尝试的精神，先引导学生利用不等式的方法求解，再结合题中的变量关系引出函数关系式，从而突破只用代数知识来解决应用问题的定势思维.更重要的是通过对函数模型的构建，认识到数形结合的思想做了很好的铺垫.

图2 数学建模解决实际问题流程图

3 类比学习，模型应用

3.1 课堂实录片段二

问题呈现我方接到情报，南海海域黄岩岛附近有一可疑船只A在驻船侦查勘测.我方接到命令后迅速派出海警船B从海岸开始追赶，此时A船准备开始逃离（如下图3）.

图3

下图4中l1、l2分别表示两船相对于黄岩岛海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关系.

图4

根据图象回答下列问题：

（1）从图中你能得到哪些信息？

（2）15 分钟内，B能否追上A？

（3）如果一直追下去，那么B能否追上A？大约什么时间能追上？

（4）中方接到上级命令，要在A逃到离黄岩岛海岸12 海里时将其拦截，照此速度，B能否将A成功拦截？

（5）若我国执法船发现可疑渔船A的时候，A船距离黄岩岛海岸m海里，派出的追赶海警船B和A船的速度不变，要保证B还能在距离黄岩岛海岸12 海里前将其拦截，则m的取值范围是多少？

师：请同学们仔细观察图象，从图中你能得出哪些信息？

生1：两船刚开始相距5 海里.

生2：可以求出两船的速度.

师：那你能分辨出这两条船分别表示哪一条线吗？并说说自己的想法.

生：我认为l1表示海警船B，l2表示可疑船A，因为海警船从黄岩岛出发，到黄岩岛的距离为0，图象应该经过原点.

师：分析地很准确！同学们掌声鼓励一下他.

师：请大家思考第五个小问题，先独立思考再在小组内讨论一下.

生1：可以利用不等式的方法来解.

生2：也可以利用方程中追击类问题的方法求解.

生3:还可以利用函数图象法求解.

（教师利用几何画板动态演示，通过函数图象呈现出直观的求解过程）

3.2 设计思路

让学生体会不同的解题方法，发散学生的思维能力，一题多解，从而建立数学函数模型，并运用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型.从实际情境中发现问题、分析问题、构建模型、求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题，逐步形成数学建模核心素养.

3.3 教学片段分析

此环节通过设置有梯度性的问题，通过让学生观察、列表枚举等探索过程，充分发展学生分析问题和解决问题的能力.在处理前两问时，第一小问是开放性问题，要充分挖掘题中的信息，给学生发展思维的空间，采用教师点名、师问生答、学生评价的互动方式.后三问，采用学生独立思考后小组讨论后以展示交流的形式，对于学生采取的不同答案，要给予肯定，特别是第二、三问，学生采用图象法或者解析法解决均可.在学生展示解答过程中,采用学生互评，这种生生互动的方式,充分体现了以学生为主体的教育理念.通过求函数的解析式和绘制函数图象提高学生分析问题的能力.此过程中教师用激励又充满启发的策略语言，将学生的思维引向深处，层层递进;同时也培养学生从图象中获取信息解决实际问题的能力，并运用不同的方法解决问题，体会数形结合的思想方法.第五小问，增设难度题，对学生进行思维提升训练，在更深一步探索性内容的教学中，对学生适当提出较高的要求，引导学生自主探索、合作交流，从而提升学生的思维能力.

4 教学思考

这节课，在遵循学生的认知规律、新课标和新课改要求的前提下，紧扣教材，对问题中的探究过程进行了重组，特别是教学片段一中多种方法的探究顺序，让学生经历、体验探究活动过程，从而内化知识，使学生学习目标的各个维度方面均得到提升.本课所设置的问题的情境及讨论内容都有一定的层次，所以要求教师充分发挥自身的主动性和积极性，根据学生情况和教材内容进行不同程度的创造性教学.

4.1 创设实际情境，构建函数模型

《义务教育数学课程标准(2022年版)》新课标建议“在生动具体的情境中学习数学，在现实情境中体验和理解数学”.真实、具体的问题情境是学生数学核心素养形成和发展的重要平台，教师在教学中要重视创设真实且富有价值的问题情境，恰当的问题导入让学生体会生活中有数学，数学源自于生活，目的在于让学生感受生活中处处有数学，从身边的实际问题入手，体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型，用一次函数模型解决有关现实问题，体现了数学的应用性，用理论知识解决实际问题.本节课设计在充分研究教材的基础上引导学生进一步掌握一次函数的相关知识并能灵活的应用到习题中，注重让学生领悟思想方法，并培养学生的综合分析和解决问题的能力，为后继学习打下基础.通过对求一次函数表达式方法的归纳和提升，加强学生对求一次函数表达式方法和步骤的理解，逐步建立函数思想并能解决有关现实问题及应用意识的培养，通过“感悟收获”解决本节课的重点和难点.

4.2 巧设梯度问题，关注个体差异

在新课标的理念下,教师要注重启发式、参与式、研究式教学，鼓励学生主动参与、勇于探索、敢于实践;要注重发挥学生的个性特长,注重因材施教,引导学生不断增强自主学习的能力；要体现问题引领,使学生的自主学习有针对性,学生自学,生生互动,师生互动,自主思考、小组合作,既可以培养学生的自主性,又培养了学生的合作意识，使每个学生在不同层面上都得到不同的提升.同时，教师用激励又充满启发的策略语言，问题层层递进,学生的每个回答都给予引导、鼓励、肯定，并且给足学生自主探索、交流体会的时间，不要怕耽搁时间，也不要担心学生的总结和归纳会影响知识的完整、严密,将学生的思维引向深处，将课堂气氛推向高潮.教学中还注意到尊重学生的个体差异，使每个学生都学有所获.

4.3 注重数形结合，促进思维生长

我国数学家华罗庚曾经指出,数缺形时少直观,形缺数时难入微.这就要求在研究数学问题时要把数形知识结合起来，在数学教学过程中,注重运用直观图形巧妙地把数和形结合起来,交叉运用抽象思维与形象思维,把抽象的数学知识形象化.课堂教学如何突破重难点教学，探究的过程可以由浅入深，注重一题多解，发展了学生的发散思维，并建立起分类讨论的思想，强化了数形结合思想的应用,更渗透了解题方法的发散,从而更好的提升学生们的思维品质.教师在引导学生探究过程中着重强调的是给学生的观察和他们交流以及表达自己意见的时间，特别是讨论两个相同函数值的问题转化为对两个函数图象公共点的观察；对联系平面直角坐标系中找出点的坐标的方法；对用待定系数方法求得两个函数关系式并计算，所以要求教师充分发挥自身的主动性和积极性，根据学生情况和教材内容进行不同程度的创造性教学.在初中数学教学中,教师应注重数形结合思想,并将其渗透于教学知识中,以促进数学教学质量的提升,帮助学生发展数学思维.