基于参数优化变分模态分解的变速工况下轴承故障诊断

刘前进，高丙朋，宋振军，王维庆

(新疆大学 电气工程学院，乌鲁木齐 830047)

轴承早期故障产生的冲击十分微弱，易被噪声掩盖[1]，机械运行时的转速变化也隐藏一些轴承的故障特征信息；因此，对变转速工况下轴承故障信号进行预处理并提取故障特征，是变转速轴承故障诊断的关键[2]。

近年来，针对滚动轴承故障诊断问题， 相关学进行了大量的研究。从信号去噪的角度，文献[3]提出基于峭度的经验模态分解，利用峭度对冲击成分的敏感特性提取轴承微弱故障特征，但峭度对瞬时突变特征提取能力有限，无法很好的诊断轴承动态故障；文献[4]提出基于变分模态分解(Variational Mode Decomposition，VMD)与多尺度熵相结合的轴承故障诊断方法，成功提取了轴承故障特征；文献[5]借助包络熵衡量轴承故障冲击的稀疏程度，对变分模态分解的参数进行优化，提高了轴承故障特征的丰富性：上述方法普遍选取恒转速轴承进行研究，而旋转机械实际运行过程中的转速存在波动，轴承转速波动与故障冲击响应一样都会造成特征模式的变化，但故障特征能量与转速波动相比，微小的故障特征被覆盖，隐藏在与轴角相关的周期中[6]。阶次跟踪能将非平稳时域信号转化成循环平稳的角域信号，为变转速工况下的轴承故障诊断提供了研究方向[7]。

核互信息(Kernel-Based Mutual Information， KEMI)用来表示不同随机向量之间的独立程度[8]。文献[9]提出基于特征选择的核互信息，从笔迹样本中预测作家的性别，能有效减少数据冗余和冲突。文献[10]对哺乳动物细胞环境的重建研究表明，核互信息算法对网络重构具有很强的复原能力。

卷积神经网络具有很强的自学习能力，在轴承故障诊断中有着广泛的应用[11-12]，但其模型搭建需要庞大的数据作为支撑。SVM是一种经典分类算法，利用核函数将非线性样本映射到高维特征空间后将高维空间问题转化为二次规划问题，通过凸优化实现样本分类，在处理非线性小样本数据时具有独特的优势[13]。

熵是描述粒子混乱程度的概念，也常用来对轴承故障进行诊断，如近似熵、样本熵、模糊熵等[14]。多尺度样本熵作为衡量时间序列复杂性的特征指标，时间序列越复杂，模式更新的机会就越大，对应的熵值就会增大。对于变转速工况下轴承产生的周期性冲击，信号波动会更加剧烈，因此采用多尺度样本熵能有效区分不同故障信号的复杂程度。

针对旋转机械运行过程中轴承转速变化，微弱故障特征不易提取等问题，提出基于阶次跟踪(Order Tracking，OT)和参数优化变分模态分解的特征提取方法，并使用模态分量的多尺度样本熵作为特征向量，通过SVM分类器对轴承故障进行分类。

1 阶次跟踪

阶次跟踪利用相位信息将振动信号由时间采样转换成角度采样，通过阶次跟踪反映与参考轴转速相关的振动特征。对于转速变化的旋转机械，其振动和噪声信号的频率会随着转速变化而变化，为确定重采样时间，假设参考轴的角加速度恒定，则轴角θ可表示为

θ=a0+a1t+a2t2，

(1)

式中：a0，a1，a2分别为初始位置、角速度和角加速度，可由转速脉冲信号确定。

设定t1，t2，t3为3个连续的脉冲，对应角度为0，δ，2δ，设置参考轴旋转一圈(即δ=2π)，产生一个键脉冲，可以得到

(2)

根据已知的参数a0，a1，a2，参考轴角θ与时间t的关系为

(3)

假设恒定角度增量为Δθ，角度采样方程可定义为

(4)

式中：Tn为第n个采样点的采样时间标记。

阶次跟踪能将非平稳时域信号转换成平稳的角域信号。因此，对变转速工况下轴承故障信号进行阶次跟踪处理，能有效消除因转速变化带来的不利影响。

2 变分模态分解及其参数优化

2.1 变分模态分解

变分模态分解的基本结构是一个变分问题，将信号x分解为K个离散的模态uk并确定每个模态的中心频率ωk和带宽，通过迭代搜索变分模型中的最优解使每个模态的估计带宽之和最小[15]。

变分模态分解方法将各模态分量定义为调幅-调频(AM-FM)信号，即

uk(t)=Ak(t)cosφk(t)；k=1,2,…,K，

(5)

每个模态分量存在一个中心频率ωk，将所有模态分量相加等于原信号作为约束条件，则约束变分模型可描述为

(6)

式中：uk为分解后的K个模态分量，uk={u1,…,uK}；ωk为各模态分量的中心频率，ωk={ω1,…,ωK}。

在求解约束变分模型时，引入惩罚因子α和拉格朗日算子λ(t)，将约束变分问题转换为非约束问题，即

(7)

(8)

借助帕赛瓦尔-傅里叶等距变换求解后，可以得到该优化问题的最优解，即

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：γ为拉格朗日算子系数。

变分模态分解方法运算步骤如下：

1)初始化参数

λ1，α，n；

2)n=n+1；

4)根据(12)式更新λ；

5)设置精度ε，若满足精度条件

(13)

结束循环，否则跳回步骤2继续循环。

2.2 基于变异麻雀算法的变分模态分解参数优化

参数α和K的选取会影响变分模态分解的效果[5]，故采用变异麻雀算法对变分模态分解参数进行优化。

2.2.1 麻雀算法

麻雀算法是根据麻雀的觅食和反捕食行为提出的群智能优化算法，具有调整参数少，收敛速度快的优点，但其全局搜索能力较弱，易陷入局部最优[16]；因此，基于遗传变异算法的思想对其进行改进，构造变异麻雀算法。

麻雀种群分为发现者和加入者，警戒者从整个种群中随机选取。在D维搜索空间中，麻雀种群为X，种群中麻雀个数为n，即X=[x1,x2,…,xi],i=1,2,…,n，则种群中第i麻雀的搜索位置在D维空间中可表示为XD=[xi,1,xi,2,…,xi,d]。

1)发现者位置更新公式为

(14)

式中：t为当前迭代次数，R2为预警值，R2∈[0,1]；RST为安全值，RST∈[0.5,1]；Q为服从正态分布的随机数。

2)加入者位置更新公式为

(15)

式中：wi,j为当前种群搜索出的最差位置；bi,j为当前种群麻雀的最优位置。

3)警戒者是从整个麻雀种群中随机选取20%，其位置更新公式为

(16)

式中：β为服从正态分布的随机数；κ为均匀随机数，κ∈[-1,1]；fi为当前麻雀个体的适应度；fg为全局最优位置的适应度。

2.2.2 核互信息函数

在变分模态分解参数优化时，选用核互信息[17]作为变分模态分解效果的评判标准。核互信息定义为2个变量之间的依赖关系，当互信息非常大时，表明2个变量之间存在弹性依赖，当不存在依赖时，其值为零。可表示为

(17)

式中：p(fi)，p(li)分别为变量f和l的边缘概率密度函数；p(fi,li)为f和l的联合概率密度函数。在变分模态分解中，各模态分量之间的互信息应为最小，否则会导致模态混叠，而所有模态分量与原始信号的互信息之和应为最大，避免在分解过程中丢失有用信息。因此，提出各模态之间互信息的和与原始信号与模态之间互信息之比，可以表示为

(18)

基于核互信息函数可以保证变分模态分解后的模态具有原始信号的最少互信息和最大信息，从而提取出原始信号中微弱的故障特征。因此，将(18)式作为算法的适应度函数，则变异麻雀算法的参数优化流程如图1所示。

图1 基于变异麻雀算法的参数优化流程

将麻雀种群分为5个小组进行参数搜索，分别求出每组最小的核互信息作为局部最优解；然后，将每组局部最优解作为全局最小核互信息的一部分以寻找全局中最优参数，即全局最小核互信息对应的参数。

minIKEMI={minIkemi}+βNi。

(19)

在局部最小核互信息minIkemi的基础上，加入迭代次数Ni，构建全局适应度函数，其中β是适应度函数的量化因子[5]，选取1/1 000。

3 变转速工况下轴承故障诊断流程

与近似熵相比，样本熵不依赖数据长度，具有更好的一致性，因此具有更强的抗干扰能力。广泛应用于病理分析和故障诊断研究，样本熵的主要参数有重构维数m和阈值r，m一般设置为1或2，r设置为0.10～0.25倍的时间序列标准差[18]，计算步骤如下：

1)对于一段数据长度为N的时间序列{x(n)}={x(1),x(2),…,x(N)}，已知重构维数为m，则能够得到的m维重构向量为

Xm(i)={x(i),x(i+1),…,x(i+m-1)}；

1≤i≤N-m+1。

(20)

2)定义d[Xm(i),Xm(j)]为Xm(i)与Xm(j)两向量中对应元素最大差值的绝对值，即

d[Xm(i),Xm(j)]=

max(|x(i+k)-x(j+k)|)；k=0,1,…,m-1。

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

5)Am(r)和Bm(r)是2个序列在相似容限下匹配到m+1个点和m个点的概率，则样本熵ESE可表示为

(26)

样本熵只是在单一尺度上对时间序列进行复杂度估计，而变转速工况下的轴承故障特征通常分布在多个尺度上，使用单尺度样本熵极易丢失特征信息，因此选用多尺度样本熵作为特征指标。多尺度样本熵是以样本熵为基础，将时间序列粗粒化再进行样本熵计算，计算过程如下。

在一段时间序列{x(i),i=1,2,…,N}中，以长度为τ的窗口对原序列进行粗粒化处理，其表达式为

(27)

则多尺度样本熵EMSE可以表示为

(28)

式中：τ为尺度因子；j为粗粒化序列个数。

变转速工况下轴承故障诊断流程如图2所示，具体实现步骤如下：

图2 变转速工况下轴承故障诊断流程图

1)获取变转速工况下健康状态、内圈故障、外圈故障的轴承振动信号；

2)使用阶次跟踪方法对原始信号进行角域重采样，得到循环平稳的角域信号；

3)以核互信息为适应度函数，通过变异麻雀算法搜最优参数[α0,K0]，设置参数tau=0，DC=0，INIT=0，tol=1×10-7。变异麻雀算法的参数见表1(lb，ub边界分别为变分模态分解变量α，K的约束)；

表1 变异麻雀算法参数设计

4)采用最优参数变分模态分解方法分解角域信号，并计算各模态分量的多尺度样本熵；

5)将多尺度样本熵作为特征向量输入到SVM分类器构建SVM诊断模型，选用径向基函数RBF作为核函数，采用网格交叉验证方法对惩罚参数c和核函数参数g进行优化；

6)将测试样本的特征向量输入SVM模型得到轴承故障诊断结果。

4 仿真分析

为验证该方法的可行性，在变转速条件下进行仿真试验，综合考虑转速变化、外界干扰以及噪声的影响，建立轴承外圈故障仿真模型[19]如下

(29)

t0=mod(k/fs,1/fm)；k=0,1,…，2 047，

f(t)=4sin(4t)+20，

式中：x1(t)为故障冲击信号；x2(t)为外界干扰信号；r(t)为信噪比-5 dB的高斯白噪声；β为衰减系数，取100；f1，f2分别取200，30 Hz；f(t)为变转速轴承的转速频率；fs为采样频率，取1 024 Hz；fm为调制频率，取16 Hz。

轴承转速频率变化，故障冲击信号和轴承仿真故障信号如图3所示，对比分析可知在轴承转速波动和干扰噪声的影响下，故障冲击信号的幅值和频率信息全部丢失。

(a)轴承转速频率

根据轴承转频对外圈故障仿真信号进行阶次跟踪处理得到角域信号，其中变分模态分解最优参数为[3 270，2]，结果如图4所示，角域信号分解得到2个主要频率：30 Hz为干扰信号频率，200 Hz为冲击信号频率。说明该方法能够在变转速工况下有效提取轴承外圈故障信号中的冲击特征。

(a)角域信号分解波形

5 试验分析

为充分验证本文所提方法对变转速工况下轴承故障诊断的可靠性，选用加拿大渥太华大学机械工程实验室的数据集进行试验[20]。试验轴承型号为ER16K型球轴承，其中包括通过加速度传感器和增量编码器采集不同轴承(正常及内、外圈故障轴承)的振动信号和转速脉冲信号，采样频率为200 kHz，转速范围12～29 r/s，试验轴承的基本参数见表2(fr为轴的转频)。

表2 试验轴承基本参数

模态分量的能量占比越大，表示该分量的特征信息越多，包含故障特征的概率就越大[21]。不同K值时对3种轴承信号进行变分模态分解并计算前3个模态分量与原信号能量占比的平均值，结果见表3，前3个模态分量的能量占比都在96%以上，说明剩余模态分量的特征信息较小，可以忽略；因此，选取变分模态分解前3个模态分量的多尺度样本熵作为特征向量。

表3 不同K值时变分模态分解前3个模态分量的能量占比

选定轴承旋转一圈作为一组基本样本，3种轴承信号各选取180组样本，其中训练集120组，测试集60组，使用变异麻雀算法搜索变分模态分解最优参数组合[α0,K0]，结果见表4。使用最优参数变分模态分解训练样本，选取前3个模态分量的多尺度样本熵作为特征向量，将训练集3×120个特征向量输入SVM分类器中训练得到预测模型，最后利用SVM分类模型对测试集进行轴承故障分类。

表4 滚动轴承在不同工况下的变分模态分解最优参数

加速运行过程中不同故障轴承振动信号前3个模态分量的多尺度样本熵分布如图5所示，由图可知多尺度样本熵能很好地区分不同故障类型。

图5 各模态分量的多尺度样本熵分类

采用参数优化变分模态分解和多尺度样本熵方法能较为准确地诊断轴承故障类型，为突出其在变转速工况下的优越性，采用不同方法对加速运行过程中的轴承振动信号进行处理，结果见表5。其中，传统变分模态分解方法中的参数α=2 000，K=3；OT表示阶次跟踪处理；VMD-BLS表示基于包络熵的变分模态分解方法；VMD-KEMI是基于核互信息的变分模态分解方法。由表5可知：阶次跟踪方法能明显提高变转速工况下轴承故障诊断的准确率，变分模态分解参数优化也有效提高了故障识别的准确率；核互信息方法虽然与包络熵方法的平均诊断准确率一样，但稳定性与一致性方面较好，说明本文所提方法具有很强的应用价值。

表5 不同方法对加速运行过程中轴承故障的诊断结果

为进一步证明本文所提方法在变转速工况下的可靠性，选用相同型号轴承采集加速、减速、加速再减速、减速再加速这4种工况下的变转速轴承信号，其速度谱如图6所示。同时采用传统变分模态分解方法(α=2 000，K=3)进行对比分析，如图7所示：在先加速再减速状态下，传统变分模态分解的诊断准确率略高于参数优化变分模态分解，但在其余状态下均是参数优化变分模态分解的诊断效果更好，尤其在轴承减速运行过程中，传统变分模态分解的故障诊断准确率明显下降，这是由于随着轴承转速降低，故障冲击能量减小，故障特征更难提取。

图6 不同工况下轴承运行速度谱

①正常状态；②内圈故障；③外圈故障

在变转速滚动轴承故障诊断中，与传统变分模态分解方法相比，参数优化变分模态分解方法无论是故障诊断的准确率还是故障识别的稳定性都略胜一筹。变分模态分解参数一般凭借经验选取，若选取不当，振动信号的特征信息不能被完整提取，造成轴承故障诊断不准确，而通过变异麻雀算法对变分模态分解参数优化，有效提取出故障的特征信息，提高了轴承故障诊断的准确率，同时证明了该方法在变转速滚动轴承故障中能有效提取微弱故障特征，实现轴承故障的动态诊断。

6 结束语

提出了一种基于阶次跟踪和参数优化变分模态分解的轴承故障诊断方法并应用于变转速工况中的轴承故障诊断。该方法能有效地提取变转速轴承故障特征，提高轴承故障诊断的准确率。但只是针对单一故障问题进行诊断，对于变转速轴承的复合故障还需要更深入的研究。