三角形的秩和广义三角函数

周仲旺 孙建安 （潍坊学院数学与信息科学学院，山东 潍坊 261061）

一、广义勾股定理和三角形的秩

广义勾股定理1对正实数a，b，c，若满足a≤b＜c，则必存在唯一的正实数n，使a+b＝c，且当n＜1 时，a，b，c不构成三角形；当n＝1 时，a，b，c 构成平角三角形，当1＜n＜2 时，a，b，c 构成钝角三角形；当n ＝2 时，a，b，c 构成直角三角形；当n＞2 时，a，b，c 构成锐角三角形.这个定理中的n 就称为三角形的秩.

以椭圆的一个焦点为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ+c＝（a-ρ）、ρ+（a-ρ）＝c，其中a 是长轴，c 是焦距，ρ 是椭圆上一点的极坐标的极径，n 是椭圆上这点和椭圆的两个焦点构成的三角形的秩.

椭圆的顶点和两个焦点构成的三角形是平角三角形或等腰三角形，这些三角形很特殊，四个顶点就很特殊，它们所在的位置就很好.据此，当椭圆（指第二个方程）上有点和两个焦点构成的三角形为直角三角形时，就得到椭圆上这样的四个点，这四个点很特殊，位置也很好，在椭圆的这四个位置上摆放东西肯定很好看、很美观.譬如一个舞台的边缘是个椭圆，则主持人站在这些位置报幕最好.

二、三角形秩的理论意义

所以f（r，a，b）在a＞0，b＞0 上，当1＜r＜2 时，必有最小值f（r），最大值的上确界为0；当r＞2 时，必有最大值f（r），最小值的下确界为0，且若r＜r，则f（r）＜f（r），f（r）＜f（r）.

像直角三角形那样，对任意实数r＞1 和任意锐角α，必有一个三角形，它的秩为r，一个较小角为α，且另外两个角唯一确定，这一结论的前半部分，由三角形秩的理论意义能推出.据此，引入广义三角函数.

三、广义三角函数理论

注：此定理不难推广到区间（-∞，+∞）上，由①②③式，不难得到.

当x 是锐角且r＞2 时，

所以，当r＞2 时，cos（r，x），sin（r，x）的单调性很清楚了.sin′（r，x）是cos（r，x）乘一个因子，cos′（r，x）是-sin（r，x）乘这个因子，当r ＝2 时，这个因子是1，即得sin′x ＝cos x，cos′x＝-sin x.至此，r＞2 时的广义三角函数cos（r，x），sin（r，x）已基本搞清楚，接下来请大家研究1＜r＜2 时的广义三角函数.

证由①②③式不难得：

根据洛必达法则知：

值得一提的是：根据②式，在原来基本初等函数的意义下，新余弦函数、新正弦函数基本没有显示式，但反新余弦函数、反新正弦函数都有显示式.

经过简单计算得：sin（3，0.3）＝0.297，sin（3，0.75）＝0.69，sin（3，1.25）＝0.96，sin（3，1.5）＝0.999，cos（3，0.3）＝0.99，cos（3，0.75）＝0.87，cos（3，1.25）＝0.48，cos（3，1.5）＝0.111.再根据单调性，不难作出sin（3，x）、cos（3，x）的图像，它们与sin x、cos x 的图像差不多.

上面我们研究了当r＝3，1.5 时，sin（r，x）、cos（r，x）的图像，请大家自行研究r 取其他值时，sin（r，x）、cos（r，x）的图像.

所有的新正弦函数、新余弦函数都应看成基本初等函数，sin x、cos x 其实就是sin（2，x）、cos（2，x），将sin x、cos x 写为sin（2，x）、cos（2，x）更科学.cos（r，x）和cos x 之间满足②式的关系，所以新增加的基本初等函数实际上只有两个，即对一个固定的r 只有sin（r，x）和cos（r，x）.根据②式，cos（r，x）一般不能由cos x 表示，但cos x 都可由cos（r，x）表示.所以，凡是能用正弦、余弦表示的函数，必能用新正弦、新余弦表示，但是能用新余弦、新正弦表示的函数，一般不能用余弦、正弦表示，这说明广义三角函数是比三角函数更基本的函数.三角函数跟广义三角函数的图像有时差不多，有时差别很大，所以，凡是能用三角函数研究的实际问题都能用广义三角函数研究，不能用三角函数研究的实际问题也能用广义三角函数研究.因此，只要把三角函数中隐含的秩2 改成广义三角函数中的秩r 即可，这样修改后，解决实际问题能否更精确、更便捷需要实践的检验，遗憾的是这不是我们数学工作者所研究的问题.

四、解三角形的快捷方法

文献［1］中引入了三角形的秩r＞1 和三角形的较小锐角α 的新余弦x ＝cos（r，α），给出了建立电子数学用表查cos（r，α）＝x、cos（x，r）＝α、cos（x，α）＝r 的方法，现对新正弦y ＝sin（r，α）作同样处理，即也建电子数学用表查sin（r，α）＝y、sin（y，r）＝α、sin（y，α）＝r，并再增加三个新电子数学用表：①r（α，β）＝r，即已知三角形的两较小锐角α，β可以查出它的秩r，这个表根据公式sinα+sinβ ＝sin（α+β）提出；②r（r，α）＝β，即已知三角形的秩r 和一个较小锐角α 可以查出它的另一较小锐角β，这个表也根据公式sinα+sinβ＝sin（α+β）提出；③r（x，y）＝r，即已知三角形的较小锐角α 的新余弦、新正弦x，y 可以查出它的秩r，这个表根据公式x+y＝1 提出.用与三角形的秩有关的上面这九个新函数取代电子计算器上的八个三角函数，则解三角形基本上查查计算器上的电子数学用表就行！由此可知，建坐标系不一定必须建直角坐标系，采用仿射坐标系和极坐标系也有其优点.以下说“查表得”实际上是用matlab 算出的，因为上面讲的电子数学用表到目前为止还没建起来.

建立如图所示的仿射坐标系xOy，两坐标轴的夹角为35°，A，B，C，D 四点的坐标分别为A（4，1），B（2，1.5），C（-1，y），D（-3，y），直线CD 的倾斜角是20°，试求：A，B两点间的距离和C，D 两点间的距离.

注1：在实际问题中，测量出的一般是角的度数，采用此法有明显的优势.

注2：三角形的秩是三角形的一个非常重要的参数，这一重要参数应写进教材.

五、三角形的最大角的度数和它的秩数之间的对应关系表及其应用

根据上面的表格，已知斜三角形的最大角和一边就能解三角形.给出了三角形的最大角，在上面表格中查出它的秩，再结合第四部分给出的方法就可以解三角形了，这样解三角形所得结果与其精确值基本一样.这种解斜三角形的方法比解直角三角形的经典方法需要的条件要少，因此采用仿射坐标系就比采用直角坐标系要好，特别是仿射坐标系两坐标轴的夹角较小（大）时.