HPM 视角下初中几何起始课的教学设计

王国安 杨 刘 （合肥师范学院数学与统计学院，安徽 合肥 230601）

1 引 言

初中数学课程内容中的图形与几何是一个全新的分支，在起始课教学中如何让学生更好更快地入门，并对几何的学习有整体的把握，几何起始课的教学设计十分重要.工欲善其事，必先利其器，本文将立足课标，基于HPM 对初中几何起始课的教学进行设计，为起始课的设计提供独特视角和丰富资源.

2 起始课和HPM

起始课作为单元教学中的第一种基本课型，是让学生在学习新知时有初步的整体感知，有先行组织者的作用.起始课教学中应让学生明白该学习内容的整体框架、思想方法.起始课的设计目标主要以理解记忆为主，主要任务应包括对数学内容和方法结构的整体理解记忆.

本文起始课要解决以下几个问题：

（1）为何学——感受学习的必要性及重要性；

（2）学什么——体会知识整体结构和核心概念；

（3）怎么学——明白本单元的研究思路及学习要求；

（4）学如何——理解学习该知识的应用性和价值.

HPM 全称为“History and Pedagogy of Mathematics ”，它的含义为数学史与数学教育的关系.从1972 年诞生至今，数学史融入数学教学的实践是HPM 所研究的重要方向之一，其中数学史料选择的五项原则及其所具有的教育价值如下：

（1）趣味性：能激发学生的学习兴趣和动机，具有德育之效；

（2）可学性：符合学生的认知基础，具有知识之谐；

（3）有效性：有助于学生理解、掌握和运用相应知识，具有知识之谐、方法之美、探究之乐和能力之助；

（4）人文性：与数学家相关联，反映数学背后的人文精神，具有文化之魅和德育之效；

（5）科学性：符合史实且有明确的文献出处，具有知识之谐、方法之美、文化之魅和德育之效.

由于学生刚步入初中，前面学习的内容均为“数与代数”，刚过渡到几何会感到有些突然.在既往的七年级数学教学中，存在着起始课内容相对简单、可有可无的错误认知，教师在起始课教学设计方面也不够重视，只注重形式上的起始课教学，导致学生参与度不高，也无法调动学生的积极性.

因此本文教学设计定位于数学史方面的起始课，基于HPM 视角，从学生的认知角度出发，发掘几何的渊源，展示几何发展中的故事，并以凝练的语言揭示几何学研究的目的、内容和方法.

3 各版本教科书中的编排

初中7—9 年级学段的图形与几何课程内容主要包括：图形的性质、图形的变化、图形与坐标，表1 为“几何起始课”在人教版、苏科版、沪科版、北师大版和华师大版教科书中所处的位置、呈现方式以及后续知识的顺序.

表1 五个版本教科书中的“几何起始课”

从表1 可见，人教版和沪科版的相似度较高，两个版本均将几何起始课安排在七年级上学期，且都在学习有理数、整式、一元一次方程之后，顺应义务教育数学课程标准中教材编写的要求，在准确表达数学含义的前提下，可随数学学习、语言学习的深入，呈现第三学段学生的年龄特征，进而帮助他们理解数学中的几何语言.现今教科书中数学知识的编排，往往按照特定的逻辑体系，但学生却并不理解为什么要学习某一知识点.其实每个知识点的背后都蕴含着历史中其发生和发展的缘起，而这些缘起常与当时要解决的问题密切相关，所以在历史上促使某一数学知识发生、发展的事件就成了起始课的理想素材.两版本也在章节末给出几何的起源这一数学史，帮助学生了解人类文明中几何学的作用，激发学生学习几何知识的兴趣.

本课例基于沪科版教材而开发，为七年级上册“图形与几何”起始课的第一课时，选取第四章第一节“几何图形”，教学内容包括：先通过多媒体介绍几何的起源，几何的研究对象.然后通过介绍欧几里得的故事，讲述学习几何的要求，同时介绍本章的主要框架.再观察教室、生活中的物体，分析其形状，简单介绍几何图形的分类.最后利用多媒体展示几何的作用.

4 基于HPM 的起始课教学设计

环节一 追根溯源 以史明鉴

师：在我们的身边有许多的图形，而研究这些图形的数学分支就是几何学.可见几何与人们的生活息息相关，那么几何是如何产生和发展的呢？（教师展示以下三幅图片并讲解）

1.展示图1：古埃及地图（图片中标出尼罗河在埃及中的位置）

图1

公元前3000 年，几何的起源地古埃及，横穿其中的尼罗河时常泛滥两岸土地，古埃及人每年需要对地界重新进行测量，积累了许多测量土地的知识.因此几何学形成的主要原因是测量活动.“几何”的英文单词为“geometry”，意思为土地测量，音译为“几何”，有“多少”之意.音意并译，有异曲同工之妙.

2.展示图2：黑陶文物

图2

公元前1000 年前，黑陶是诞生于中国新石器时代晚期的制品，观察图片中精美的陶器，会发现上面雕刻着许多几何图形，有三角形、正方形、菱形等.说明当时我国就将几何图形运用到陶艺中，使其更加美观.

3.展示图3：“几何之父”——欧几里得

图3

公元前300 年前，希腊数学家欧几里得结合自己的思想，融入前人的几何学知识，以缜密的演绎逻辑，进行系统的汇总和整理，写出一部包含13 卷的论文集——《几何原本》，这是一本几何学上具有划时代意义的书.

师：接下来，我们跟随着古人的足迹，一起进入到“几何图形”的学习中来.

【设计意图】从数学史实出发：介绍几何学起源的历史背景、词源考证，揭示了早期几何学的形成缘由.展示我国文物运用几何图形的历史，介绍欧几里得及其著作，让学生了解几何来源于实际问题，激发学生的兴趣，为几何的学习拉开序幕.

环节二 明晰内容 建构框架

活动1：请同学们观察图形（如图4），教师说明以下五种几何体的名称，请同学们列举在日常生活中形状与下列几何体类似的物体.

图4

生：快递包装盒是长方体，生日帽是圆锥体，茶杯是圆柱体，乒乓球是球体，四面体不常见，交通路锥是四面体.

师：同学们善于发现，找到许多几何体，也知道几何的起源和发展，认识了实际生活中的几何体，那么几何要学习的内容是什么呢？

生：几何起源于测量土地，跟它的位置、面积有关；文物中的图形有黑色、圆形的，跟它的颜色、形状有关.

师：回答得很好！但还有一部分未考虑到，我们从实物中抽象出数学图形，几何的研究对象为几何图形，无需考虑它们的其他性质（如质量、颜色、材料），只需注意它们的形状（如方、圆）、大小（如面积、长短）、位置（如平行、垂直、相交）即可.

【设计意图】给出几个几何图形，联系生活实际，激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性.使学生以最佳状态投入到学习中去.综合以上活动，让学生明确几何中研究对象只需考虑图形的形状、大小以及相互的位置关系，而不去考虑物质构成、颜色等.

活动2：同学们观察地图中密密麻麻的城市能得到什么概念吗？对于地图中纵横交错的公路和河流湖泊有什么发现？

生：地图上的城市是一个个点，公路是线，河流湖泊是面.

（以上活动由学生观察、思考、交流讨论，最后由老师总结）

师：在数学研究中，“点”是无大小、无面积的；“线”是无宽度、粗细的，可分为直线和曲线，包括线段、射线、直线；“面”可分为平面和曲面，注意数学中研究的面是无厚度、可以无限延伸的.点动成线，线动成面，面动成体，点、线、面、体这些基本图形可帮助人们有效地刻画错综复杂的现实世界，它们都称为几何图形.这些就是我们本章节要学习的主要内容.

【设计意图】先通过问题让学生思考几何研究的对象及内容，再对本章内容进行整体的梳理，明确各部分之间的关联性，具体的知识点可在后续精学课中进行详细讲解.

环节三 几何无捷径只要肯攀登

师：那几何该如何学习呢？先让我们一起回到欧几里得的时代，看一下数学家的逸闻趣事.公元前300 年左右，埃及国王托勒密一世在学习《几何原本》时，向欧几里得询问有没有掌握几何的快捷之路.欧几里得直言道：“几何无王者之路.”这句话告诉我们几何的学习没有捷径，几何的语言要严谨、规范.接下来，开始我们的几何图形学习.

师：请同学们观察教室里的各种物体，说说它们都是什么图形和形状？哪些面是平的，哪些面是弯曲的？

生：黑板和课本都是长方体，它们的面是长方形，都是平的；喝水的茶杯、写字的粉笔是圆柱体，它们的上面是圆形，正面也是长方形，但是是弯曲的；漏斗是圆锥体，它的正面是三角形的曲面，底面是圆形的平面；足球是球体，它从各面看都是圆形的曲面，上面还有五边形和六边形.

师：同学们观察的都特别仔细，能从实物中抽象出各种物体的形状、各面的平曲，这些几何图形可分为平面图形和立体图形，那你能发现它们的区别吗？

生：平面图形只能看到一个面，立体图形在不同角度有很多面，且各个面都不在一个平面内.

师：考虑得很完善！在几何图形中，我们还可以用面上的点来描述，平面图形其面上的各点都在同一个平面内，立体图形其面上的各点不都在同一个平面内.

教师板书平面图形和立体图形的特征.

【设计意图】从数学家的故事中体会到几何学习要有刻苦钻研、认真勤奋的态度.然后通过观察身边的物品，让学生从中抽象出几何图形，培养学生几何直观和抽象概括能力.

环节四 几何魅力 学以致用

练习1：下列图形：①三角形；②长方形；③平行四边形；④立方体；⑤圆锥；⑥圆柱；⑦圆；⑧球体.其中平面图形的序号有哪些？立体图形的序号有哪些？

解析：根据平面图形和立体图形的定义：一个图形的各部分都在同一个平面内可判断①②③⑦是平面图形；一个图形其面上的各个点不都在同一平面内可判断④⑤⑥⑧是立体图形.

练习2：观察长方体和圆锥体，回答下列问题：

长方体和圆锥体各由几个面组成，这些面有什么特征？共有多少条线？这些线都是直的吗？各有几个顶点？

解析：长方体由6 个面组成，这些面都是平的面，共有12 条线，这些线都是直的，有8 个顶点.圆锥体由2 个面组成，1 个平的面和1 个曲的面，有1 条线，是曲线，只有1 个顶点.

【设计意图】练习1 考查平面图形和立体图形的认知，让学生根据其特征来区分；练习2 考查几何图形的构成，让学生根据长方体、圆锥的构成特点解答，此类问题要联系实物的形状与面的形状做对比判断，平面与平面相交成直线，曲面与平面相交成曲线.

师：学习几何对我们有哪些作用？我们一起欣赏下几何带给我们的魅力！

展示多媒体图片：建筑类：江南建筑、故宫天坛；生活类：年画剪纸；科技类：长征五号运载火箭；体育休闲类：水立方、2022 年北京冬季奥运会会徽等.

师：欣赏了几何之美，带给我们视觉的冲击，其实它就在我们的身边，和我们生产、生活息息相关.

【设计意图】通过多媒体的展示，让学生发现在现实世界中，几何与我们生活密不可分，培养学生观察力、几何直观能力和空间想象能力，感受到几何的价值和实用性，提高学生学习几何的动力.

环节五：课堂小结 课后分享

师：今天的几何探索即将结束，请同学回顾一下这堂课你的收获有哪些.

生：学习了几何图形分为平面图形和立体图形以及它们的区别.

师：回答得很好，还有同学补充一下吗？

生：几何的起源、发展，还有几何之父——欧几里得的故事和他的书；几何的学习要求和它在生活中的应用.

师：同学们回顾得都很全面，今天的学习让我们踏入几何学的大门，课后跟同伴分享你遇到新的几何图形，期待下一次几何的相遇，下课！

【设计意图】小结本节课所学内容，要明确、具体，尽量围绕本节课教学过程和板书，让学生学会总结和提炼知识点.

5 结 语

汪晓勤教授将数学史对学生的教育价值分成以下六类：“知识之谐”“方法之美”“探究之乐”“能力之助”“文化之魅”和“德育之效”.除了传授知识技能外，更重要的是其他三个方面目标（数学思考、问题解决、情感态度）也要相互结合、准确落实，才能对后续几何的学习带来事半功倍的效果.

在本文起始课教学设计中，运用数学史作为先行组织者，在知识技能方面，讲解几何学的渊源历史，认识生活中的几何图形；在数学思考方面，让学生借助图形思考图形表面的平曲，建立初步几何直观；在问题解决方面，让学生学会在具体情境中，从数学的角度对平面图形与立体图形进行区分；在情感态度方面，激发学生积极参与数学活动，对后续几何的学习产生好奇心和求知欲.展示了“文化之魅”，达到了“德育之效”.

在起始课教学中运用数学史，有利于教师对数学文化理念的认同和落实，帮助教师整体把握“教什么”，更重要的是明白“为何教”.同时有助于提高学生的数学文化素质，知道“学什么”“为何学”，理清知识之间的整体性、关联性.初一学生正处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，刚接触几何学习时，需要接受许多较抽象的语言，而此时恰当地融入数学史，让学生不会感到枯燥，产生厌烦情绪，而是通过历史趣味性来激发学生的学习兴趣和求知欲.总之，良好的开端等于成功的一半，在几何起始课中融入数学史，实施数学文化教育，能较好地提高学生的数学综合能力.