宽带测量系统-3 dB通带频率上下限的工程估计

杨 静，朱志臻，石跃武，崔志同，吴 伟，陈 伟

(1. 火箭军工程大学， 西安 710025； 2. 强脉冲辐射环境模拟与效应国家重点实验室； 3. 西北核技术研究所：西安 710024)

宽带测量系统可用于脉冲电场测量，广泛应用于高空核电磁脉冲(high altitude electromagnetic pulse，HEMP)试验测量领域[1-4]。为获得宽带电场测量系统的带宽及测量范围等频率响应信息，需进行标定[5-7]，通过考察测量系统对标准输入电场的响应进行。当标准输入为不同频率的正弦波时，称为频域标定。频域标定可方便地获得测量系统的频率响应曲线，但输入正弦波的幅值有限，一般为μV·m-1～100 V·m-1量级，对于低灵敏度核电磁脉冲测量系统实施难度大。当标准输入为方波或双指数波等脉冲信号时，称为时域标定。与使用环境类似，时域标定电场环境一般用于获得测量系统的线性工作范围及过冲等信息。充分利用宽带测量系统的时域标定结果推算系统频率响应-3 dB通带上下限，是对频域标定的有益补充，有助于更好地了解宽带测量系统的特性。

本文首先根据宽带测量系统频率响应特点，将其建模为一阶巴特沃斯滤波器，在此基础上建立宽带测量系统时域标定过程的数学模型。然后将阶跃信号作为标准输入信号，解析推导了系统-3 dB通带上限频率fc_H与输出响应上升沿tr之间的关系，即fc_H=0.35/tr。这个关系式可用于对测量系统fc_H的估计。由于实际采用的宽带测量系统频响曲线的过渡段可能比一阶巴特沃斯滤波器更陡或高频响应存在一定抖动，为描述具有此类频率响应特点的测量系统，可将宽带测量系统分别建模为高阶巴特沃斯和二阶切比雪夫低通滤波器，通过拟合方式，对上述关系式的常系数进行修正，得到的系数均不小于0.35，表明采用公式fc_H=0.35/tr对宽带测量系统的fc_H进行的估计较为保守。因阶跃信号在实际中不存在，采用上升时间tr0为0.5 ns和2.5 ns的方波作为标准输入，通过数值仿真计算了tr随fc_H的变化关系，结果表明在采用的标准方波前沿tr0远小于0.35/fc_H时，上述估计才有效。针对HEMP使用需求，本文还推导了采用双指数波形作为标准输入时，输出波形的解析表达式。解析和数值结果都表明，fc_H=0.35/tr不适用于标准输入为双指数波的情形。最后将宽带测量系统建模为一阶巴特沃斯高通滤波器，将理想方波作为标准输入，通过理论推导和数值仿真给出了系统-3 dB频率响应下限频率fc_L与输出波形平顶降和方波半高宽之间的关系，可用于对测量系统fc_L的估计。根据推导过程，分析给出了标定用方波的半高宽选取原则。针对实际需求，进一步推导了利用输出波形平顶降的斜率估计fc_L的公式。

1 计算模型

1.1 数学模型

本文通过宽带测量系统对标准输入信号的行时域响应特点估计系统的频域响应-3 dB通带上下限。标定过程及数学模型如图1所示：标定平台产生的标准电场作为宽带测量系统的标准输入，根据输入和输出的波形特征计算和评估测量系统的特性。仿真中，将标准输入hin(t)建模为理想方波、双指数波及阶跃信号等函数，将宽带测量系统建模为具有明确转移函数表达式的滤波器，如巴特沃斯低通滤波器和切比雪夫滤波器等，在频域有

Hout(jω)=Hin(jω)Hm(jω)

(1)

其中：Hout(jω)为输出波形的频谱；Hin(jω)为标准输入信号的频谱；Hm(jω)为宽带测量系统的频谱。通过傅里叶反变换可求得时域输出hout(t)。推导可获得输入和输出波形的数字特征与滤波器模型通带上下限频率fc_H和fc_L的关系，用来指导实际标定过程中对测量系统频率响应通带上下限的估计。

图1中，tr0，tw0表征输入波形的数字特征。tr0为输入波形的上升时间，定义为由峰值的10%上升到峰值的90%所需的时间；tw0为输入波形半高宽，定义为波形上升至峰值的50%到下降至50%之间的时间。受宽带测量系统带宽的限制，输出波形可能会发生一定的畸变，高频成分损失会造成波形前沿变缓，有时会伴随着振铃和过冲现象，低频成分损失会造成波形发生脉宽变窄和平顶降等现象，典型输出波形如图2所示。

图2中，tr，tw，A，B表征输出波形的数字特征。tr为输出波形的上升时间；tw为输出波形的半高宽。当标准方波作为输入时，输出波形会出现平顶降，A和B分别为平顶处的最大值和最小值，表征平顶降的程度，如图2(b)所示

1.2 标准输入模型

标准输入hin(t)可为理想方波、阶跃信号及双指数波等。理想方波记为

(2)

频域表示为

(3)

其中：C为输入波形的幅值；tw0为输入波形的半高宽。

单位阶跃信号常记为ε(t)，傅里叶变换式为

(4)

双指数波的数学表达式为

Hin3(t)=Ck0(e-βt-e-αt)ε(t)

(5)

其中：k0为归一化系数；α，β为波形参数，决定了波形的形状，不同的α，β组合可形成不同前沿和半高宽的双指数波形[8]，α>β。双指数波的频域表达式为

(6)

对标准IEC 61000-2-9[9-10]给出的HEMP E1成分，C=50 kV·m-1，k0=1.3，α=6×108s-1，β=4×107s-1。

1.3 宽带测量系统的滤波器模型

电磁脉冲试验中使用的宽带测量系统一般在较宽的频带内具有比较平坦的频率响应，且宽带测量系统的频率响应上限fc_H与下限fc_L相差较大，因此将其建模为一个低通滤波器和一个高通滤波器的级联。为简化分析，后续讨论中滤波器模型通带最大衰减设为-3 dB，对阻带起始频率和阻带最小衰减不作要求。这样，将宽带测量系统建模为巴特沃斯低通滤波器时

(7)

其中：ωc_H为通带-3 dB截止角频率,ωc_H=2πfc_H；N为滤波器阶数，N越大，过渡段越陡。N=1， 5， 10时，典型巴特沃斯低通滤波器的幅度响应如图3所示。由图3可见，巴特沃斯滤波器在通带内具有平坦的幅度响应和单调下降的过渡段，将宽带测量系统频率响应建模为巴特沃斯滤波器具有代表性。巴特沃斯高通滤波器情形与低通滤波器类似，不再赘述。

实际采用的宽带测量系统的高频响应可能存在一定抖动，为描述具有此类频率响应特点的测量系统，可将宽带测量系统建模为二阶I型切比雪夫低通滤波器。同样设滤波器通带抖动为3 dB，对阻带起始频率和阻带最小衰减不作要求。

2 -3 dB通带频率上限与输出波形前沿的关系

2.1 输入波形为阶跃信号

设标准输入波形为阶跃信号，宽带测量系统建模为一阶低通的巴特沃斯滤波器，通过傅里叶变换推导输出波形表达式，给出输出波形脉冲前沿与宽带测量系统-3 dB频率上限fc_H的关系。

一阶低通巴特沃斯滤波器模型的频率响应可表示为

(8)

输出波形的频域表达式为

Hout1(jω)=Hin2(jω)Hm1(jω)

(9)

傅里叶反变换可得输出波形为

hout1(t)=0.5sgnt-ε(t)e-ωc_Ht+0.5

(10)

(11)

即

(12)

当宽带测量系统的高频特性与一阶低通巴特沃斯滤波器类似，且输入波形为理想阶跃信号或方波时，可根据式(12)估算宽带测量系统的高频特性。

2.2 输入波形为非理想方波

理想方波的上升时间tri=0，实际输入方波的上升时间tri不可视为0。针对HEMP频段，以上升时间为0，0.5 ns和2.5 ns的方波为例，得到输出波形上升时间tr随一阶巴特沃斯低通滤波器-3 dB通带频率上限fc_H的变化关系，如图4所示。由图4可见，当fc_H≪0.35/tr时，可根据式(12)来估计测量系统的-3 dB通带频率上限fc_H；当fc_H与0.35/tr相当时，采用式(12)估计fc_H的偏差较大；当fc_H足够大时，输出波形前沿等于输入波形前沿，式(12)同样不适用。因此，采用式(12)估计宽带测量系统的-3 dB通带频率上限时，需保证标准方波输入的前沿足够小，即tr≪0.35/fc_H。

2.3 输入波形为双指数波

若标准输入波形为双指数波形，宽带传输系统建模为一阶低通的巴特沃斯滤波器时，输出波形的傅里叶变换式为

Hout2(jω)=Hin3(jω)Hm1(jω)

(13)

当ωc_H≠α且ωc_H≠β时，通过傅里叶反变换可得输出波形为

hout2(t)=Ck0(k1e-βt+k2e-αt+

k3e-ωc_Ht)ε(t)

(14)

由式(14)可知，输出波形的前沿同时受到α，β，ωc_H的影响。以IEC 61000-2-9中规定的HEMP E1作为标准输入,不同fc_H对应的输出波形如图5所示；输出波形的上升时间tr随滤波器模型的fc_H的变化关系如图6所示。由图6可见，tr和fc_H不再满足式(12)。因此，标定用输入波形为双指数波时，不推荐使用式(12)估计宽带测量系统的-3 dB通带频率上限。

2.4 测量系统的高阶低通滤波器模型

当测量系统过渡段较陡时，宽带测量系统可建模为高阶低通巴特沃斯滤波器。以fc_H=100 MHz为例，标准方波输入对应的输出波形的前沿部分如图7所示。由图7可见，巴特沃斯低通滤波器模型的阶数越高，输出波形的振铃和过冲现象越明显，对应的峰值越大，上升时间越小。若输入波形无过冲，而宽带测量系统的输出波形出现过冲，宽带测量系统的过渡段陡峭是可能的原因之一。

不同阶数巴特沃斯滤波器输出波形的上升时间tr随-3 dB通带频率上限fc_H的变化关系如图8所示。由图8可见，fc_H相同时，阶数越高，输出波形的上升时间tr越小。利用y=-bx+a对图8进行拟合，并固定斜率b=-1，可得到a的值。拟合得到不同阶数巴特沃斯滤波器对应的a及标准偏差σ，如表1所列。令fc_H=α/tr，则α=10a，计算得到的α也列于表1。由表1可知，α<0.35，表明对于频率响应过渡段较陡的测量系统，采用式(12)对通带-3 dB频率上限fc_H进行估计时，得到的fc_H偏小。

表1 不同阶数巴特沃斯滤波器模型对应的拟合参数Tab.1 Fitting parameters corresponding to Butterworthfilter models with different orders

2.5 测量系统的I型切比雪夫低通滤波器模型

当测量系统的频率响应在高频处存在波动时，可采用二阶I型切比雪夫低通滤波器模型。以fc_H=100 MHz为例，阶跃函数经过二阶I型切比雪夫低通滤波器后输出的波形如图9所示。由图9可见，阶跃函数经过二阶切比雪夫滤波器模型后输出波形出现过冲和振铃。输出波形上升时间tr随二阶I型切比雪夫低通滤波器模型fc_H的变化关系如图10所示。

同样采用y=-bx+a对图10的曲线进行线性拟合，并固定斜率b=-1，得到的拟合参数如表2所列。仿真结果表明，不考虑其他因素，若实际宽带测量系统的高频特性部分出现上翘，频率响应曲线接近二阶的切比雪夫滤波器时，根据(12)式计算的fc_H偏小约3%。

表2 切比雪夫滤波器模型的拟合参数Tab.2 Fitting parameters of Chebyshev filter model

3 -3 dB通带频率下限与输出波形平顶降的关系

为考察宽带测量系统的低频特性，设标准输入波形为理想方波，将宽带传输系统建模为一阶高通巴特沃斯滤波器，通过推导输出波形表达式，给出输出波形参数随宽带测量系统fc_L(角频率记为ωc_L，ωc_L=2πfc_L)的变化关系。典型输出波形及平顶相关参数A，B，tw的定义如图2(b)所示。

一阶高通巴特沃斯滤波器模型的频率响应可表示为

(15)

那么，输出波形的频域可表示为

Hout3(jω)=Hin1(jω)Hm2(jω)

(16)

通过傅里叶反变换求解输出波形为

(17)

(18)

当x≪1时，忽略x2及更高阶小量，有

(19)

即

(20)

当A-B≪A时，式(20)可写为

(21)

式(21)右侧第一项为输出波形平顶的斜率。

以脉宽为1 μs的理想方波作为输入，一阶高通巴特沃斯滤波器模型的fc_L分别为100， 200 ， 500 kHz和1 MHz时，输出波形如图11所示。

上述分析可知，输出波形的平顶以e指数函数形式随时间下降，fc_Ltw足够小时，平顶近似为线性下降。通过选取合适半高宽的方波，可用式(20)快速估计宽带测量系统的低频特性。由图11可见， 当tw过小时，A与B的值接近，读数偏差造成的影响较大；tw过大时，平顶降不满足线性假设，采用式(20)估计的结果偏差较大，实际工程使用需观察输出波形的平顶降，采用合适的tw。当A-B≪A时，可采用式(21)通过输出波形平顶降的斜率来估计fc_L。

4 结论

根据宽带测量系统的特点，本文将宽带测量系统建模为滤波器，进而建立了时域标定的数学模型。在此基础上，推导得到了滤波器-3 dB通带频率上下限与其对标准方波的时域响应关系式(12)和式(20)。依据式(12)和式(20)可实现对宽带测量系统频率响应通带上下限的工程估计，给工程应用带来了很大的方便。

依据推导，采用式(12)估计宽带测量系统通带上限频率fc_H时应采用标准方波作为输入，且方波的上升时间应尽可能小，远小于0.35/fc_H；若输入波形为双指数波，式(12)不再适用；对于测量系统的频率响应曲线过渡段比一阶巴特沃斯滤波器更陡或频率响应通带不够平坦(如高频部分出现波动)等情况，采用式(12)估计得到的fc_H比较保守。受测量系统低频响应的影响，输出波形的平顶以e指数函数形式随时间下降。采用式(20)估计fc_L时需注意观察输出波形的平顶降，选取合适的输入方波半高宽tw，使输出波形平顶近似线性下降。同时输入方波的半高宽tw应保证A，B间有足够的距离，保证读数精度；若输出波形前沿部分存在过冲或振铃，影响A的读取时，若满足A-B≪A，可通过平顶降的斜率来估算fc_L。