椭圆曲线y2=(x-6)(x2+6x+m)的整数点

王 钊, 杨 海, 曹雅丽

(西安工程大学 理学院, 陕西 西安 710048)

椭圆曲线的整数点问题是数论界一直备受关注的重要问题之一。1987年,Don[1]利用3种方法解决了椭圆曲线大整数点的问题,并列出了一些具有大整数点的椭圆曲线。

关于椭圆曲线y2=(x+7)(x2-7x+19),ZHU等[2]在一类全虚四次域的子环中证明了椭圆曲线仅有2组整数点,董鑫等[3]利用递推序列和二次剩余得到了曲线的全部解。

对于椭圆曲线

y2=(x-a)(x2+ax+m),m∈,

(1)

目前国内外学者的研究结果主要集中在a=2、4、6上。

当a=2时,HE等[4]运用四次丢番图方程解决了式(1)的整数点问题;谢甜甜等[5]证明了式(1)除平凡整数解之外,还有3对非平凡整数点;Karaatli等[6]运用广义的Fibonacci和Lucas数列得出式(1)除平凡解外仅有1对非平凡的大整数解;ZHU等[7]利用代数数论和p-adic分析方法得到了式(1)的全部解;吴华明[8]通过Pell方程与二元四次丢番图方程得到了同样的结果;文献[9-10]研究了m在特定条件下式(1)仅有整数点(x,y)=(2,0);崔保军[11]证明了m=18时仅有2组整数点。

当a=4时,杜先存等[12]证明了m=37时无正整数点。

当a=6时,万飞等[13]证明了m=19时无正整数点;杜先存等[14]研究了m在特定条件时无正整数点;李亚卓等[15]给出了m=15时式(1)的整数点情况;过静等[16]证明了m=23时无正整数点。

对于其他情形,杜先存等[17]利用初等数论的方法证明了当a=-2时,式(1)无正整数点;文献[18-20]利用孪生素数和初等数论的知识得到了椭圆曲线y2=x(x-p)(x-q)在一般情况下的所有解;赵建红[21]利用二元四次丢番图方程的性质证明了式(1)的全部整数解。

本文由文献[22-23]得到启发,运用二次剩余及二元四次丢番图方程的已知结论得出

定理设m=30s2-7,其中s是使6s2+13及15s2-8为奇素数的正奇数,则椭圆曲线

y2=(x-6)(x2+6x+m)

(2)

仅有整数点(x,y)=(6,0)。

在定理中分别取m=23,263,743,1 463,8 663,10 823即可得

推论当s=1, 3, 5, 7, 17, 19时椭圆曲线(2)仅有整数点(x,y)=(6,0)。

1 引 理

2 定理的证明

令m=30s2-7,p=6s2+13,q=15s2-8,其中p,q为奇素数,s为正奇数,则有关系式

m=5p-72=2q+9,p≡3(mod 8),q≡7(mod 8)。

设(x,y)是式(2)的任意一组整数点,因为m=30s2-7≥23,所以,

x2+6x+m=(x+3)2+m-9>0,

因此若椭圆曲线有整数点,则x≥6,显然有平凡整数点(x,y)=(6,0)。下面仅考虑x>6且y≠0的情形。

设d为x-6与x2+6x+m的最大公因数,则

d=gcd(x-6,x2+6x+m)=gcd(x-6,m+72)=gcd(x-6,5p)。

由d|5p知,d∈{1,5,p,5p}。故存在正整数a,b,使式(2)分为以下4种情形:

情形1x-6=a2,x2+6x+m=b2,y=±ab, gcd(a,b)=1;

情形2x-6=5a2,x2+6x+m=5b2,y=±5ab, gcd(a,b)=1;

情形3x-6=pa2,x2+6x+m=pb2,y=±pab, gcd(a,b)=1;

情形4x-6=5pa2,x2+6x+m=5pb2,y=±5pab, gcd(a,b)=1。

对这4种情形分别进行讨论。

情形1

当d=1时,由x=a2+6,x2+6x+m=b2并结合m=5p-72得

b2=a4+18a2+5p。

故情形1下椭圆曲线(2)无整数点。

情形2

当d=5时,由x=5a2+6,x2+6x+m=5b2并结合m=5p-72得

b2=5a4+18a2+p。

故情形2下椭圆曲线(2)无整数点。

情形3

当d=p时,由x=pa2+6,x2+6x+m=pb2并结合m=5p-72得

b2=pa4+18a2+5。

故情形3下椭圆曲线(2)无整数点。

情形4

当d=5p时,由x=5pa2+6,x2+6x+m=5pb2并结合m=5p-72得

b2=5pa4+18a2+1。

(b+(36c2+1))(b-(36c2+1))=32qc4。

(3)

设b+(36c2+1)和b-(36c2+1)的最大公因数为l1,可得

(Ⅰ)b+36c2+1=16qu4,b-36c2-1=2v4,c=uv;

(Ⅱ)b+36c2+1=16u4,b-36c2-1=2qv4,c=uv;

(Ⅲ)b+36c2+1=2qu4,b-36c2-1=16v4,c=uv;

(Ⅳ)b+36c2+1=2u4,b-36c2-1=16qv4,c=uv。

其中,u,v为正整数,gcd(u,v)=1。

接下来对每种情况进行分析。

④ 对于(Ⅳ),将其第1式减去第2式得36c2+1=u4-8qv4,根据c=uv且5p-72=2q+9,整理得

(u2-18v2)2-20pv4=1。

(4)

(5)

故可将式(5)分为4种情况:

接下来对每种情况进行分析。

① 将(ⅰ)前2式相加,得X=5pg4+h4,由式(5)可得(5pg4-h4)2=1,故

5pg4-h4=1

(6)

或

h4-5pg4=1。

(7)

对式(6)两边同时取模p,得

h4≡-1(modp)。

(8)

② 将(ⅱ)中前2式相加得X=5g4+ph4,由式(5)可得(5g4-ph4)2=1,即

5g4-ph4=1

(9)

或

ph4-5g4=1。

(10)

③ 将(ⅲ)中前2式相加得X=pg4+5h4,由式(5)可得(pg4-5h4)2=1,即

pg4-5h4=1

或

5h4-pg4=1。

同(ⅱ),可知(ⅲ)不成立。

④ 将(ⅳ)中前2式相加得X=g4+5ph4,由式(5)可得(g4-5ph4)2=1,即

g4-5ph4=1

或

5ph4-g4=1。

同(ⅱ),可知(ⅳ)不成立。

综上所述,情形4下椭圆曲线(2)无整数点。定理得证。

3 结 语

本文研究了a=6,m=5p-72=2q+9时椭圆曲线y2=(x-a)(x2+ax+m),m∈的整数点问题,其中p和q为满足p≡3(mod 8),q≡7(mod 8)的奇素数,证明了该椭圆曲线无非平凡整数点,推广了此类椭圆曲线在更一般情形下的研究结论。