区间自回归模型及其性质

赵志文，刘冬雪，姜 珊

(吉林师范大学 数学学院，吉林 四平 136000)

0 引言

近年来，区间值数据在实际中广泛存在.例如某城市一天内温度的变化范围、人体舒张压波动情况都属于区间值观测数据.如何对区间值数据进行建模一直是统计学家关心的热点问题之一.M.A.Gil等[1-3]为研究区间值数据之间的线性关系定义了区间数据的广义度量， 并利用该度量建立了区间回归模型，同时利用最小二乘方法对模型参数进行估计.C.F.Manski和E.Tamer等[4]将精确值观测数据推广到区间值数据， 并研究了区间值数据回归模型的统计推断问题.M.Domingues等[5]介绍了一种新的区间值数据线性回归方法，该方法基于对称线性回归方法， 对因变量区间值上下限进行预测， 且该预测不会因为区间值数据中存在异常值而受到影响.2003年，P.D’urso等[6-7]提出利用中心半径法表示区间值数据，E.A.L.Neto等[8]对带有约束条件的中心半径法展开深入研究.基于该表示方法， 统计学家们在上述研究基础上，进一步考虑如何利用区间值数据构建新模型以及如何对模型的参数进行估计等问题.利用中心半径方法表示区间数据，A.Blanco-Fernández等[9]讨论了当自变量和因变量均为区间值时如何建立回归模型以及如何对模型的参数进行估计等问题；B.Sinova等[10]进一步对区间随机变量之间的线性关系进行研究，研究结果表明区间值数据回归模型的参数估计值取决于区间中点和区间半径之间距离的权重；A.Blanco-Fernández等[11]基于最小二乘估计的渐近分布，研究了区间值线性回归模型参数置信集的构造问题.本文将运用中心半径法表示区间值数据，对区间值时间序列观测数据进行建模，进一步构建区间自回归模型，同时研究区间自回归模型的相关性质.

1 区间自回归模型

中心半径法是利用区间中心和区间半径来表示区间的一种算法.设区间集S={[a，b]|a，b∈R，a≤b}，任取区间A=[a，b]∈S，则区间A可以表示为A=[midA±sprA]=midA[1±0]+sprA[0±1]，其中midA=(a+b)/2表示区间A的中心，sprA=(b-a)/2≥0表示区间A的半径.

设{Xt}为区间值时间序列观测数据，基于上述区间值数据的中心半径表示法，定义如下一阶区间自回归模型AR(1)：

Xt=αmidXt-1[1±0]+βsprXt-1[0±1]+εt.

(1)

该区间自回归模型可分解为如下中心自回归模型和半径自回归模型：

(2)

定理1.1区间自回归模型(1)可进一步表示为

Xt=(αt-1midε1+αt-2midε2+…+α2midεt-2+α1midεt-1+α0midεt)[1±0]+(βt-1sprε1+βt-2sprε2+…+β2sprεt-2+β1sprεt-1+β0sprεt)[0±1].

证明注意到

Xt=αmidXt-1[1±0]+βsprXt-1[0±1]+εt=αmid(αmidXt-2[1±0]+βsprXt-2[0±1]+εt-1)+βspr(αmidXt-2[1±0]+βsprXt-2[0±1]+εt-1)+εt=α(αmidXt-2[1±0]+midεt-1[1±0])+β(βsprXt-2[0±1]+sprεt-1[0±1])+εt=α2midXt-2[1±0]+αmidεt-1[1±0]+β2sprXt-2[0±1]+βsprεt-1[0±1]+εt=α2midXt-2[1±0]+β2sprXt-2[0±1]+αmidεt-1[1±0]+βsprεt-1[0±1]+εt=α2mid(αmidXt-3[1±0]+βsprXt-3[0±1]+εt-2)+β2spr(αmidXt-3[1±0]+βsprXt-3[0±1]+εt-2)+αmidεt-1[1±0]+βsprεt-1[0±1]+εt=α2(αmidXt-3[1±0]+midεt-2[1±0])+β2(βsprXt-3[0±1]+sprεt-2[0±1])+αmidεt-1[1±0]+βsprεt-1[0±1]+εt=α3midXt-3[1±0]+α2midεt-2[1±0]+β3sprXt-3[0±1]+β2sprεt-2[0±1]+αmidεt-1[1±0]+βsprεt-1[0±1]+εt=α3midXt-3[1±0]+β3sprXt-3[0±1]+α2midεt-2[1±0]+β2sprεt-2[0±1]+αmidεt-1[1±0]+βsprεt-1[0±1]+εt=α3mid(αmidXt-4[1±0]+βsprXt-4[0±1]+εt-3)+β3spr(αmidXt-4[1±0]+βsprXt-4[0±1]+εt-3)+α2midεt-2[1±0]+β2sprεt-2[0±1]+αmidεt-1[1±0]+βsprεt-1[0±1]+εt=α3(αmidXt-4[1±0]+midεt-3[1±0])+β3(βsprXt-4[0±1]+sprεt-3[0±1])+α2midεt-2[1±0]+β2sprεt-2[0±1]+αmidεt-1[1±0]+βsprεt-1[0±1]+εt=α4midXt-4[1±0]+α3midεt-3[1±0]+β4sprXt-4[0±1]+β3prεt-3[0±1]+α2midεt-2[1±0]+β2sprεt-2[0±1]+αmidεt-1[1±0]+βsprεt-1[0±1]+εt=α4midXt-4[1±0]+β4sprXt-4[0±1]+α3midεt-3[1±0]+β3prεt-3[0±1]+α2midεt-2[1±0]+β2sprεt-2[0±1]+αmidεt-1[1±0]+βsprεt-1[0±1]+εt=…=αtmidXt-t[1±0]+βtsprXt-t[0±1]+αt-1midε1[1±0]+βt-1sprε1[0±1]+αt-2midε2[1±0]+βt-2sprε2[0±1]+…+α2midεt-2[1±0]+β2sprεt-2[0±1]+αmidεt-1[1±0]+βsprεt-1[0±1]+εt=αt-1midε1[1±0]+αt-2midε2[1±0]+…+α2midεt-2[1±0]+αmidεt-1[1±0]+βt-1sprε1[0±1]+βt-2sprε2[0±1]+…+β2sprεt-2[0±1]++βsprεt-1[0±1]+εt=(αt-1midε1+αt-2midε2+…+α2midεt-2+αmidεt-1)[1±0]+(βt-1sprε1+βt-2sprε2+…+β2sprεt-2+βsprεt-1)[0±1]+εt=(αt-1midε1+αt-2midε2+…+α2midεt-2+α1midεt-1+α0midεt)[1±0]+(βt-1sprε1+βt-2sprε2+…+β2sprεt-2+β1sprεt-1+β0sprεt)[0±1].

因此定理1.1成立.

2 区间自回归模型的性质

基于定理1.1，我们进一步研究该模型的均值函数，方差函数，协方差函数和自相关系数等数字特征.

定理2.1对于区间自回归模型(1)，其均值函数为

证明注意到

由此证明定理2.1成立.

定理2.2对于区间自回归模型(1)，其方差函数为

证明注意到

由此证明定理2.2成立.

定理2.3对于区间自回归模型(1)，其协方差函数为

证明当t≠s时，令t≥s，由(2)式可知midXt=αmidXt-1+midεt为AR(1)模型，其中{midεt}为白噪声序列，满足E(midεtmidεs)=0，因而有

Var(midεt，midεs)=E(midεt-E(midεt))(midεs-E(midεs))=E(midεtmidεs)=0.

此外，注意到

Cov(Xt，Xs)=Cov((αt-1midε1+αt-2midε2+…+αt-smidεs+…+α1midεt-1+α0midεt)[1±0]+(βt-1sprε1+βt-2sprε2+…+βt-ssprεs+…+β1sprεt-1+β0sprεt)[0±1]，

此外，当t=s时，区间自回归模型的协方差函数为

由此证明定理2.3成立.

定理2.4对于区间自回归模型(1)，其自相关系数为

证明令γ(t，s)=Cov(Xt，Xs)，区间自回归模型的自相关系数

当t≠s时，令t≥s，则有

当t=s时，则有

由此证明定理2.4成立.

3 结语

区间值时间序列观测数据在实际中广泛存在，如何对区间值时间序列观测数据进行建模是统计学家关注的热点问题之一.本文进一步考虑了区间值时间序列观测数据的建模分析问题.基于中心半径法表示区间值数据，提出了一种新的区间自回归模型.和文献中已有的模型比较，该模型的区间中心和区间半径具有不同的系数.此外，也研究了该模型的数字特征，给出了该模型的均值函数、方差函数、协方差函数以及自相关系数等，这些结果为进一步研究区间自回归模型的统计推断问题奠定了基础.