“隐零点”的破解策略

郭琳琳 管成芳

(山东省淄博市临淄中学)

“隐零点”问题是导数压轴题中常见的一类重点问题,也是历年高考数学试卷中的常考问题.在破解导数压轴题时,经常会碰到导函数存在零点,但求解此“隐零点”相对比较繁杂甚至出现无法求解的情况,此时我们一般对此“隐零点”设而不求,通过整体代换加以过渡,再结合题目的其他条件解决问题.

1 破解“隐零点”问题的基本策略

1)借助函数零点存在定理判定导函数零点的存在性或利用“二分法”进一步缩小零点的范围,列出零点方程f′(x0)＝0,并结合f′(x)的单调性确定零点x0的取值范围；

2)以零点x0为分界点,说明导函数f′(x)的正负取值情况,进而得到f(x)的最值表达式；

3)将零点方程f′(x0)＝0加以适当变形,整体代入进行化简证明,从而求最值、解不等式.

破解导函数“隐零点”问题最根本的就是整体代换,合理借助“指”“对”替换,抓住零点的取值范围,构造新的函数求解最值或证明不等式.而对于含有参数的问题,在整体代换时,参数的消与留,往往根据具体的问题进行合理判断.

2 “隐零点”问题的常见题型

2.1 “隐零点”的存在性

2.2 参数取值的确定

2.3 不等式的证明

例3 已知函数f(x)＝lnx－x＋1,g(x)＝axex－4x,其中a为大于零的常数.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)求证:g(x)－2f(x)≥2(lna－ln2).

合理构造函数,通过导函数的正负取值情况确定导函数的“隐零点”,建立涉及“隐零点”的方程,为下一步的整体代换与化归转化提供条件,这是证明不等式问题经常应用到的策略与技巧.

导函数“隐零点”虽然难以求解,但只要抓住其特征(零点方程),判断其范围(用函数零点存在定理),最后整体代入即可.解题的关键是合理转化、巧妙推理.导函数“隐零点”问题能有效交会与融合函数、方程、不等式、三角函数、导数等众多相关的知识,选拔性强、区分度高,可以很好地考查化归与转化、分类讨论、数形结合等思想方法.