函数的周期性及其应用

张 平

(广东省珠海市实验中学)

函数的周期性是函数的基本性质之一,揭示了函数值随自变量变化而呈现的循环往复的规律,能反映现实世界中周而复始、周期性变化的自然现象.在高考及竞赛试题中,以函数周期性为背景的试题屡见不鲜,它们着重考查周期性的定义与性质的简单应用,或结合函数的单调性、奇偶性、对称性等进行综合考查,对数形结合思想、转化与化归思想、赋值法等数学思想方法进行检验,对培养学生的探究精神与探索能力有着十分重要的作用,是提升学生数学核心素养的有力载体.下面对函数周期性的相关知识与方法进行总结,并分类剖析主要题型及解法.

1 函数周期性的基础知识

1.1 函数周期性的定义

对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x＋T)＝f(x),那么函数f(x)就是周期函数,非零常数T是这个函数的周期.

一般情况下,如果T是函数f(x)的周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期.如果在f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数是f(x)的最小正周期.

1.2 周期函数的常见表现形式

1.3 常用结论

结论1 若函数f(x)的图像关于直线x＝a与x＝b(a≠b)对称,则f(x)的一个周期为2(a－b).

特别地,若偶函数f(x)的图像关于直线x＝a(a≠0)对称,则f(x)的一个周期为2a.

结论2 若函数f(x)的图像关于点(a,m)与(b,m)(a≠b)对称,则f(x)的一个周期为2(a－b).

特别地,若奇函数f(x)的图像关于点(a,0)(a≠0)对称,则f(x)的一个周期为2a.

结论3 若函数f(x)的图像有一条对称轴x＝a与一个对称中心(b,m)(a≠b),则f(x)的一个周期为4(a－b).

结论4 若奇函数f(x)的图像关于直线x＝a(a≠0)对称,则f(x)的一个周期为4a.

限于篇幅,仅证结论4.

证明 由f(x)为奇函数知f(－x)＝－f(x),由f(x)的 图 像 关 于 直 线x＝a(a≠0)对 称 可 知f(－x)＝f(2a＋x),从而f(2a＋x)＝－f(x),则f(4a＋x)＝－f(2a＋x)＝f(x),即f(x)的一个周期为4a.

2 函数周期性的应用

2.1 求函数的周期

2.2 求函数解析式

2.3 求函数值

2.4 比较函数值的大小

2.5 解函数不等式

例11 设函数f(x)是定义在R 上以2为周期的偶函数,在区间[0,1]上严格递减,且满足f(π)＝1,f(2π)＝2,则当1≤x≤2时,1≤f(x)≤2的解集为.

2.6 解决与函数零点相关的问题

图1

图2

直线y＝x＋m是斜率为1的平行直线系,由于y轴右侧每一段的定义域都是左开右闭的,要使函数f(x)与直线y＝x＋m有2个交点,则m＜1,即实数m的取值范围为(－∞,1).

函数零点问题是高中数学的重点与难点,难度较大,综合性强,对学生的思维能力要求高.此类问题主要有两种考查途径:一是确定零点的个数,如例13与例14；二是已知零点个数求参数的取值范围,例13考查了思维的敏捷性与批判性,其中求得f(4)＝0是关键,也是难点；例14与例15则重点考查了数形结合思想,考查学生画图、识图、用图的能力.

对于与函数周期性相关的问题,要紧紧抓住函数周期变化这一特征,研究清楚函数在一个周期内的图像与性质.在记忆理解相关知识、方法、结论的基础上,认真审题,挖掘题目条件背后隐藏的关键信息,灵活运用赋值法、数形结合、转化与化归、迭代与归纳等数学思想方法,提高解题效率,增强用数学知识解决问题的能力,提升数学素养,逐步实现用数学的眼光观察世界,用数学的思维思考世界,用数学的语言表达世界.