“审美价值”在数学教学中的应用研究——以全等三角形为案例

卢 雪 (吉林师范大学，吉林 四平 136000)

一、绪 论

(一)研究背景和意义

1.研究背景

“数学美”来源于人类的生产与生活中,是自然美的客观反映形式.即人类的日常生活中体现着“数学美”，体现着数学思维领域的美,体现着数学存在形式的美.《普通高中数学课程标准》修订以来,明确指出高中数学课程的“三维目标”,即知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观;也明确指出学生应认识数学的“四大价值”，即科学价值、应用价值、文化价值与审美价值.因此,在数学教学过程中,教师应充分利用教学资源,理性组织教学内容，有效运用教学媒体，重视学生善于发现美的眼睛，培养学生创新美、创造美的能力，提高学生对数学知识鉴赏美的认知和激励学生丰富自我的审美情趣.在学习过程中，学生发现数学美、感受心灵美、激励灵魂美.现代数学教育，教育者更多在意的是学生的学习成绩，家长更多在意的是学生在校的成绩排名，很少注意数学文化素养的渗透，对于数学美在学习中的渗透更是容易被忽略的，作为未来的教师，重视数学审美价值在学科里的渗透，是至关重要的任务.罗素曾经说过：“数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面,至少可与其他任何一种文化门类媲美.”[1]因此,着重研究审美价值在数学教学过程中的应用价值，以全等三角形为教学研究案例.

2.研究意义

哪里有数,哪里就有美,在整个数学知识体系中,在整个数学方法之中,在整个数学思想之中,无可否认,数学的美都是客观存在的,比如简洁美，阿拉伯数字的简便表示，数学符号、式子的简洁记法；对称美，数学图形中的对称轴、旋转等知识，中心对称、镜像对称、轴对称等；和谐美，黄金比例与圆锥曲线方程等都体现了数学中的“美”.因此,本论文的研究不仅有利于在数学教学中,提高缜密的逻辑思维能力，培养提高学生对数学知识探索的兴趣，认知水平和欣赏美的能力,并对学生进行辩证唯物主义思想教育，进而提升学生的综合素质.国家教育重点培养全面发展综合素质的人才，学生不仅要把书本上的知识点掌握，更应该体会数学知识中的审美价值、文化价值等；教师不仅注重培养学生的数学成绩，更应该注重养成学生的学习习惯与数学意识等；家长不仅在乎学生的考试成绩与成绩排名，更应该注重学生综合素质的培养与学习态度.

(二)国内外研究现状

1.国外研究现状

国外关于数学审美价值的研究，时间较早且成果显著,主要在数学美的理论研究和数学美的教学应用两大方面.早期,古希腊数学家毕达哥拉斯的《美在形式》中指出,“宇宙的美就在于数及蕴含其中的数学美,认识到数学美的存在并揭示了数学美的特征”;20世纪法国学家庞加莱的《科学的价值》中指出,“数学美对数学直觉的重要作用,及其数学直觉对数学的创造发明的价值”;美国数学家克莱因的《西方文化中的数学》中指出,“音乐能激发情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科技可以创造生活,但数学却能提供上述全部”[1].这无疑肯定了数学审美价值重要的地位及作用.总之,国外的理论研究从不同角度揭示了数学美的客观存在,侧重于通过审美体验进而增进学生创造、直觉、思维能力.

2.国内研究现状

我国数学家徐利治在《数学方法论选讲》中,首次提出数学美问题,引起国内数学界的广泛关注;国内学者肖柏荣在《数学教学艺术概论》中,从多个角度对数学教学艺术进行深入研究,既有理论价值,也有应用于数学教学实践的可操作性[3].因此,数学课堂教学中,教师应落实数学美学思想方法,让学生深入体会到数学美的价值及意义.

刘云章认为数学美是客观存在的，不仅从哲学观点出发，论证了数学美在学习与培养学生素质中的价值，而且从数学的简洁美、逻辑美与和谐美三个层面表达总结数学美的价值与特点.研究总结得出，提升学生的数学审美能力，培养学生的审美意识，有益于学生创造能力的提升与发现归纳等逻辑思维的提升.

新出版的数学课程标准中，尤其重视发展全面素质教育，提升学生的数学素养，将数学文化渗透到教学中，让学生更深层次体会与感受数学美，培养学生用数学的眼光去发现问题与解决问题的能力，融合环境与审美主体意向.数学不仅仅是学习数学课上的概念、法则、定理与公式，更是促进学生数学的思想、精神和方法的养成.

二、数学审美教育的概念和特征

(一)数学审美教育的概念

科学社会主义的创始人,伟大的革命大师马克思指出社会的进步就是人类对美的追求的结晶,审美教育又称为美育.美育即审美价值在教育活动中不断渗透,21世纪是科技时代、信息时代，学生要用自己的审美能力,主动接受审美教育,教师通过学生对审美教育的反馈，教师通过运用现代媒介积极影响学生审美价值.因此,数学审美价值,是在数学课堂教学中,教师在数学审美对象上,满足学生在数学学习中的审美需要,引起学生审美感受的体验.数学学科具有多种价值和特点，是一门不可或略的自然学科，学习数学的人多数认为数学的美极其特别与精致.数学课堂上，教育者应该将数学美渗透在教学知识的方方面面，贯穿教学的各个环节，引领学生善于发现蕴含在数学知识点中的美学，感受数学的简洁美、对称美、和谐美等带来的数学思想，进而提升每名学生的审美能力，提升每名学生的数学情趣，提升每名学生的创造能力等.因此，数学教学中，教育者应将数学美贯穿在教学的各个环节，引领学生发现并感受数学的内在美，提升学生的数学思维品质，培养学生的综合素质.

(二)数学审美价值的特征

1.数学的简洁美

数学的简洁美,是指数学的表达形式和数学理论体系的结构简洁,是数学结构美的重要标志.例如以往其他记数符号都很烦琐,而阿拉伯数字(0，1，2，3，4，5，6，7，8，9)因其简洁性而成为国际上的通用符号;又如函数y=f(x),数学家笛卡尔用这一简洁的表达式,就使两个变量x和y通过对应法则联系在一起.这些都深刻地、灵活地表现了数学的简洁美.数学中的简洁美，更多展现的是数学思想与数学方法的“化繁为简”.

数学归纳法的巧妙运用，在数学问题中试图进行数学猜想，并进行一般性验证时，不仅减少了运算量，也设计出了简洁的计算推理步骤，进而得出数学问题的答案，既节省学生的宝贵时间，也免得让学生感受复杂冗长重复的核验而感到枯燥乏味；笛卡尔，坐标系的发明人，大胆提出设想，当遇到几何问题时，利用数形结合思想，将几何图形看成是由无数个点组成或由具有某种特点的点的运动轨迹构成，并以方程的形式体现这个特定的点的运动轨迹，而方程的解就是图像上每一个点的坐标，进而不管多么繁杂且困难的几何问题，都可转化成代数问题进行解决，简洁且有效；数学中的转化与化归思想，将未知转变为已知，将复杂问题转化为简单问题，也体现了数学的简洁美.

2.数学的对称美

数学的对称美在几何学部分得到了完美的诠释,中心对称、镜像对称、轴对称都给人一种舒适的、均衡的、美观的感受.毕达哥拉斯派曾提出：“一切平面图形中最美的是圆形,而一切立体图形中最美的是球体.”对称是一种形式的、匀称的、圆满的美感[2].

数学美中最常见、最普遍的就是对称美，最容易发现的就是数学知识点中的对称性，是最常见的一种形式，即数学内容与知识结构间的协调所表现出来的对称.比如在学生学习数学概念、数学法则、数学定理和数学公式中也存在着对称关系，函数与减函数及二项式定理体现出的统一、对称都展现了其美的价值；指数与对数体现出的统一、对称使人感到对称美的奇妙；在数学图形几何知识点中平移对称、旋转对称、镜像对称，使得枯燥乏味的数学知识处处充满美感，给人以视觉享受，时时刻刻都体现数学美.在数学教学中，让学生多观察几何图形、定理等蕴含的对称性，发现其对称美，提高学生的审美能力，培养学生的数学学习兴趣，提高学生在解题中构造对称并寻求解题策略与解答方法的意识.

3.数学的和谐美

学生学习的数学概念、法则、定理和公式，在满足一定的条件后，即使在各种各样的数学分支下，也能将知识统一，融合到一起，将杂乱无章转化成有序和谐的整体.在教学中，教育者将数学的和谐美体现在数学概念、数学法则、数学定理和数学公式中，将数学知识与自然融合，将数学思想与生活问题融合，将数学习惯与人生哲理融合，数学的和谐美至关重要.

三、“审美价值”在数学教学案例中的应用研究

(一)全等三角形的审美教学设计

1.审美因素分析

从字面来看,全等三角形就是两个或多个图形之间完全重合,通过平移、旋转、翻折等几何操作过程体现数学的简洁美、对称美、和谐美等美学意义.教师利用多媒体展示全等的图片,引起学生对全等图形的好奇,有助于创设美的教学情境[4].

2.教学目标

(1)情境与问题：通过全等形图片的引入创设美的教学情境,在情境中发现图形中的全等；联系生活实际，学生动手、动脑、动用感官来发现图形中的全等.

(2)知识与技能：掌握全等三角形的判定条件，并会准确判断两个图形或多个图形是否全等；理解全等图形、全等三角形的概念.

(3)思维与表达：分析全等图形之间的特征，类比出全等三角形之间的特征；锻炼数学思维与方法，学会用类比等思想来学习新知识，建立新旧知识之间的联系.

(4)交流与反思：通过平移、旋转、翻折变换两个重合三角形的位置,培养学生动态研究几何图形的意识,让学生体验数学的变换美、统一美；多与同学间交流讨论，培养团队意识，对自己解决出的问题，感受到成就感与满足感.

3.教学重、难点

(1)重点：理解全等三角形的概念、性质;掌握全等三角形的判定条件.

(2)难点：掌握全等三角形的判定条件,并完成有关计算题.

4.教学过程

(1)创设情境：教师展示图片,学生小组讨论,创设教学审美的教学情境.

(2)引入新课：教师引导学生得出全等图形、全等三角形的概念;引入平移、翻折、旋转等几何变换.教师引导学生得出全等三角形的判定条件，学生在推导过程中体会数学的统一美；判定条件由字母表示为边角边SAS、边边边SSS、角边角ASA、角角边AAS，在归纳判定条件中感受数学的简洁美.

(3)巩固训练：设置证明题,在数学观察与解题中感受数学的美.

问题：如图1所示，在△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD，CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E，G.

图1

①在图中找出三对全等三角形；

解：图中的三对全等三角形分别为

△BCF≌△CBD、△BHF≌△CHD、△BDA≌△CFA.

②在你找出的三对全等三角形中，选一对给出证明过程.

证明：因为AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB.

又因为BD，CF是∠ABC=∠ACB的角平分线，

所以∠BCF=∠CBD.

所以，在△BCF和△CBD中，

所以△BCF≌△CBD(ASA).

在解题过程中，应用到所学的新知识，即证明全等三角形的判定条件.学生通过习题，对新知识掌握更加牢固，在第①题中，学生对题目进行分析，迅速抓到解题的关键信息，准确判断出全等条件，进而得△BCF≌△CBD,△BHF≌△CHD，△BDA≌△CFA三对全等三角形.在第②题中，需要证明过程，在证明过程中，重要的是，写清楚逻辑关系，即因为、所以，数学符号的正确书写、运用，让学生充分感受到数学中的简洁美、和谐美.

(4)布置作业：在生活中找到全等的例子，从生活中感受数学知识的色彩，从数学知识中发现生活的影子,体会数学中图形的对称美、和谐美.

四、结语与展望

数学审美教学是新型的数学教学方式,其核心就是重视数学的审美价值并充分挖掘数学内容中的美育因素并将其恰当地融入课堂教学中,以此来优化传统数学教学枯燥无味的弊端[4].教育者应该有效合理地创设教学情境，在各个教学环节中渗透数学美的元素，培养学生善于发现数学美的眼睛，在学习知识中体会数学带给我们的审美价值与乐趣，使学生不再觉得数学是枯燥乏味的，而是喜欢上数学，体现其价值.

随着教育教学改革，新课标的修订，数学审美价值更受重视，数学审美价值教学也不断发展,望有更多的人从更多的方面对此进行深入细致的研究.