多个线性算子可同时对角化的充要条件

张巧卫

（榆林学院 数学与统计学院，陕西 榆林 719000）

0 引 言

对角矩阵作为一种特殊的矩阵，有重要的理论意义及实际应用价值。不过，存在一类非对角矩阵与对角矩阵相似，称之为可对角化的矩阵，因此，关于矩阵的可对角化问题是矩阵理论中的一个基本问题［1］。近年来，可对角化在量子信息的量子相干理论中有着广泛的应用［2-5］。矩阵理论中熟知的一个结果是：n阶方阵是可对角化的当且仅当它有n个线性无关的特征向量。文献［6］中利用矩阵可以对角化的判定以及如何求矩阵的线性无关的特征向量完全可以归纳为矩阵乘法的原理，使得可以同步求解矩阵的特征值与特征向量，从而得出矩阵可对角化更为直接的简单判定；文献［7］证明了域上的有限维向量空间上的线性算子可对角化当且仅当它的极小多项式是域上的互异一次因式之积，并利用线性算子的特征值的初等对称多项式给出了上述结论的另一个证明。2 个可对角化的矩阵的同时对角化问题是在研究稳定平衡的“最小振动”力学问题时发现的，后来有学者考虑了相似的矩阵是否可以同时对角化的问题。一个著名的结论是：2个可对角化的矩阵可经一个相似变换同时对角化当且仅当它们可交换。

Hilbert空间上有界线性算子的对角化问题是算子理论关注的重要课题。已知的主要结论有：正规紧算子可以对角化[8]，即它在一个正规正交基下可以表示为一个对角矩阵。但是，目前尚未发现关于多个线性算子的可同时对角化的相关结论。本文研究复数域上有限维Hilbert空间上的多个线性算子在同一正规正交基下的同时对角化问题，并给出所获结论在量子相干理论中的一个应用。

1 多个算子的同时对角化

定理1设T1,T2,…,Tm∈B(H)都是正规算子，则算子组{T1,T2,…,Tm}是可同时对角化的，当且仅当它是交换组，即其中的算子两两交换。

证明不妨设T1,T2,…,Tm都不是数乘算子，必要性由式（3）可知。

用归纳法证明充分性。

当m=2 时，设{T1,T2}是正规算子构成的交换组，则由引理1知{T1,T2}是可同时对角化的。

再由命题4 知：算子组{T1,T2,…,Tm}⊂B(H)是可同时对角化的。于是证明了充分性对任意m个正规算子也成立。证毕。

2 多个量子态的同时非相干性

量子相干性资源理论由自由态、资源和自由操作所构成。自由态由不相干量子态表示，资源态由相干量子态表示，自由操作由不相干量子运算表示。作为量子力学的独有特性之一，量子相干是量子理论的重要资源，量化量子态的相干性［9-10］通常被视为度量量子态的叠加程度。量子相干性已被广泛应用于纳米热力学［11-12］、量子算法［13-16］，以及相干性蒸馏［17］等多个领域，并在量化波粒二象性的方面发挥了作用［18-20］。因此，讨论是否存在正规正交基使得一组量子态可以同时对角化的问题，对量子相干态的刻画和度量研究是十分有意义的。