具有对流项的（2，p）-Laplace方程非负解的存在性

张 沐，黄永艳

（山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006）

1 引言与主要结果

本文主要研究（2，p）-Laplace方程

方程（1）是由Laplace 算子和p-Laplace 算子构成的椭圆型方程，在诸多数学物理模型中有着广泛的应用，如生物数学、量子物理学和等离子体物理学等学科［1-5］。 近几年来，利用变分方法，（2，p）-Laplace 方程已经有了许多解的存在性和多重性结果［6-16］。但是，由于对流项的存在，方程不具有变分结构，所以不能使用通常的变分方法。

文献［17］利用上下解方法和伪单调算子理论，证明了带有对流项的Laplace方程弱解的存在性;文献［18］利用比较原则和强极大值原理，证明了带有对流项的p-Laplace 方程正解的存在性。在文献［19］中，作者利用不动点指数理论和锥理论，研究下列带有基尔霍夫项的椭圆方程解的存在性：

受此启发，本文将这一方法推广到（2，p）-Laplace 方程，得到了方程（1）非负解的存在性。首先给出下列条件：

假设1∃d＞0,α,γ∈(0,p-1),β ＞[p*/(1+α)]′，以及m∈Lβ(Ω,(0,∞))，有

f(x,t,y)≤m(x)tα+d|y|γ,x∈Ω,y∈RN,t∈R+

式中：p*=Np/(N-p)是p的临界Sobolev 指数；r′=r/(r-1)是r的共轭指数。

本文的主要结论如下：

2 预备知识

引理1算子A具有下列性质［16］：

（i）A是一个连续、有界的算子；

3 主要结果的证明

E是实Banach 空间，K是E中某非空凸闭集，并且满足：

（i）∀λ≥0，有λK⊂K;

（ii）K⋂(-K)={0}

那么称K是E中的一个锥。

在E中的元素间引入半序：u≤ν，如果ν-u∈K。

设D是E中某有界开集，设F:Dˉ⋂K→K全连续且∀u∈K⋂∂D，都有u≠F(u)，则F在D上关于K的不动点指数i(F,D,K)具有Leray-Schauder度的所有性质。

下面是文献［20］中的一个重要结论：

定理1的证明:当R ＞0 充分大时，

u≠tP(u),t∈[0,1],u≥0,||u||=R