一个不等式的探究与推广

李海军

(长春吉大附中实验学校 130021)

1 引言

《数学通报》2017年第5期问题2361[1]如下：

若x,y,z是正实数，证明：

其中“∑”表示轮换对称和.

供题者在《数学通报》2017年第6期[2]中给出了解答. 本文对该不等式进了探究，不仅得到了该不等式的另解，而且通过从几个方面深入探究，推广得到了几个定理.

2 该不等式的另解

由齐二次不等式可知3∑x2≥(∑x)2，故只需证明：

上式显然成立.

3 该不等式的探究与推广

注意到原不等式是轮换式，因此利用对称性，我们把分母轮换变成分子中相应的另一个变量，即可得到如下不等式：

命题1若x,y,z是正实数，则

将原不等式与命题1中不等式相结合，可以得到如下不等式：

命题2若x,y,z是正实数，则

命题2中的不等式已经具备极好的对称性，故可尝试将其推广至n元形式：

定理1已知x1,x2,…,xn为正实数，则

针对原不等式，考虑让分子中出现的变量，在分母中均出现，即可得到如下不等式：

命题3若x,y,z是正实数，则

命题3中的不等式同样具备极好的对称性，故可尝试将其推广至n元形式：

针对原不等式，考虑把分母的变量变成分子中未曾出现的变量，即可得到如下不等式：

命题4若x,y,z是正实数，则

命题4中的不等式同样具备极好的对称性，故可尝试将其推广至n元形式：

定理3若a1,a2,…,an为正实数，则

在得到定理3后，我们尝试在指数上进行推广，得到如下不等式：

定理4若a1,a2,…,an为正实数，k为正实数，则

4 主要结论的证明

定理1的证明

注命题1可由2中所述另解方法类似证明. 而在定理1中令n=3，即得命题2的结论.

定理2的证明

接下来我们比较等式左右两边(xi-xj)2的系数，

左边(x1-x2)2的系数为

由对称性可知，对任意的1≤i

注在定理2中令n=3，即得命题3的结论.

由幂平均不等式可知

故只需证明

再由幂平均不等式可得

注在定理4中，令n=3,k=2，即得命题4；令k=2，即得定理3.