基于SOLO分类理论的高考函数与导数模块研究①——以全国Ⅰ卷(理科)和新高考卷为例

于 涛 薛新建

(1.广东省东莞市教育局教研室 523125； 2.广东省东莞实验中学 523120)

1 问题提出

函数是高中数学课程内容的四大主线之一，贯穿必修、选择性必修和选修课程，在选修和选择性必修课程中，函数作为独立主题，占据课程的重要板块；在选择性必修的五类课程中都有函数主题的相关专题.函数作为一种思想方法与其他主题内容密切相关，例如预备知识主题中的一元二次不等式的解法，立体几何动态过程中的最优解问题，概率分布列本身就是随机事件赋值与发生概率构成的函数，数学建模与数学探究活动更是离不开函数模型.函数主题蕴含的数学思想丰富，函数与方程，转化与化归，数形结合以及分类讨论等思想综合体现；蕴含的数学方法多样，换元法、待定系数法、图象法、分离变量法等方法穿插应用；蕴含的核心素养全面，数学运算，逻辑推理，数学抽象，数学建模等素养立意高深.

在新课程与新高考的双重改革背景下，文理不分科，越来越多省份加入使用全国卷，这就意味着全国卷出题者对各部分知识的综合考查需要做出更多的权衡，才能具有更好的普适性和选拔性.作为传统考查重点的函数与导数模块，在高考考查中有何规律，新高考卷有哪些变化，今后的备考应该注意什么，都是一线教师亟待了解的.

2 研究框架

采用定性定量相结合和案例分析的研究方法，分选择填空题和解答题两部分，对函数与导数考题中的知识点和问题类型进行统计分析、SOLO分类层次划分及统计分析，最后给出整体研究结论及建议.

2.1 研究对象

2017—2020年全国Ⅰ卷(理科)使用省份最多，最具代表性，选为研究对象；2020年北京、天津、山东、海南四省市单独命制新高考卷，选山东卷为研究对象；2021年全国Ⅰ卷和Ⅱ卷合并为全国乙卷，供12个省份使用，同时有7省启用新高考Ⅰ卷，选用新高考Ⅰ卷为研究对象.2017-2020年全国Ⅰ卷(理科)和2020-2021年新高考卷共6套卷分两组进行分析，意在对照新高考卷与全国Ⅰ卷(理科)的一致性和差异性.

对上述试卷中的函数与导数部分进行研究，不含三角函数和数列，因这两部分内容目前在高考中占有独立板块，也有自身独特的研究方法.

2.2 知识点

中国高考评价体系将高考“考什么”的问题总结为“四层”，即“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”，知识点是必备知识的基本要素，是培养关键能力的载体，也是形成学科素养的必要条件.对高考出现过的知识点进行统计，有助于师生明确高考考查的重难点，同时为下一阶段对考题的SOLO分类做好准备.下面先对知识点分级编码.

表1采用字母与数字结合的编码方式，例如A2表示函数性质中的奇偶性，G1表示利用导数判断函数的单调性.统计时以条件、问题和一般解法涉及到的知识点为统计对象.

表1 函数与导数知识点分级编码

2.3 研究理论

SOLO分类理论基于学生可观测的学习结果，对学生在学习活动中表现出来思维水平的描述更精细准确，也可被用于指导教育实践，从思维层次角度对试题命制和评价给出参考标准. SOLO分类理论将思维层次划分为5个水平：前结构水平、单点结构水平、多点结构水平、关联结构水平、拓展抽象结构水平.其中“前结构水平”在试题评价中无法体现，故不作研究，其余结构水平对应特征和举例如表2所示.

表2 试题SOLO水平划分标准

对试题的SOLO水平划分，受主观性影响较大，经过和多位同仁以及试题评价专家商讨，达成水平划分的几个一般性共识：(1)对于SOLO水平划分过程中知识点的界定：以高中所学为准，一般的运算变形不计入知识点统计，但导数运算是高中所学，计入知识点统计，并依知识点数区别单点和多点结构；(2)对于多点结构和关联结构的区别：以对多个知识点的整合程度进行判定，若只简单应用其他知识点的结论则为简单整合，判定为多点结构，若不同线索独立运算结果并行处理或需综合多个线索才能形成解题思路则计入整合，判定为关联结构；(3)抽象拓展结构需要从理论的高度分析问题，抽象概括，拓展转化，从而推进问题的解决，发现新知识，提出新猜想，得到开放性结论等都作为拓展抽象结构的判定依据.

3 试题统计分析

选择填空题不需要解答过程，难度相对较小，考查学生思维的多样性和灵活性；解答题解题过程要充分展示，学生不但要理解数学，还要运用规范的语言去表达数学，考查学生思维的严谨性和深刻性.考虑到二者在考查形式和侧重点上的很大不同，将这两类题目分别进行知识点和SOLO层次划分统计.

3.1 选择填空题统计分析

按照前述理论框架，对2017—2021年高考选择填空题分两组统计结果如下：

将表3中的知识点利用频数条形图进行统计得到图1：

表3 函数与导数选填题统计

图1

结合表3和图1分析，函数与导数选择填空题知识点分布范围广，主干知识覆盖面全，函数性质中的单调性与奇偶性、函数图象、导数运算及其几何意义频率居高，几乎年年必考.将新高考卷与全国Ⅰ卷(理科)对比不难看出，新高考卷涵盖到的函数与导数部分的基础知识点更广泛，每题涉及到的知识点更多更具综合性，对学生基础知识的掌握要求更高.

将表3中的问题类型利用频数条形图进行统计得到图2：

图2

结合表3和图2分析，函数与导数选择填空题考查到的问题类型相对稳定，其中抽象不等式、比较大小和最值问题是对函数单调性的考查，模型问题和新定义问题是函数在实际问题或其他模块知识中的应用，最值问题和零点问题要结合单调性和图象共同求解.将问题类型与知识框架相结合得到图3，不难发现，高考主要考查函数性质、函数图象、函数应用和导数应用四方面知识. 新高考卷比全国Ⅰ卷(理科)多了函数模型和新定义问题，体现了知识考查的“应用性”和“创新性”.

图3 问题类型与知识框架图

将表3中函数与导数选择填空题的SOLO分类利用散点图进行统计得到图4：

结合表3和图4分析，函数与导数模块选填题的SOLO层次以多点结构水平(M)、关联结构水平(R)和拓展抽象结构水平(E)为主，体现高考知识考查的“综合性”特点； 2021年新高考卷出现一道单点结构水平(U)考题，没有多点结构水平考题，说明试题SOLO层次稳中有变，向关联结构水平和拓展抽象结构水平进一步集中，体现了函数与导数部分考题考查“关键能力”和“学科素养”的功能性进一步增强.

图4

3.2 解答题统计分析

按照前述理论框架，对2017—2021年高考解答题分两组统计结果如下：

将表4中的知识点和问题类型利用频数条形图进行统计得到图5和图6：

表4 函数与导数解答题统计

图5

图6

对图5和图6分析，函数与导数解答题第1问多以讨论单调性或极值的问题形式，考查利用导数研究函数单调性的知识，第2问多以零点问题、不等式证明或恒成立求参的问题形式，考查运用函数思想、数形结合思想、分类讨论思想和转化与化归思想等各种数学思想解决问题的能力.无论知识还是问题类型，都呈现出较强的收敛性.新高考卷在函数与导数解答题部分，延续了全国Ⅰ卷的传统考查热点，无太大变化，保证了新旧课程标准公共的重点内容的考查，使高考试卷改革平稳推进.

将表4中函数与导数解答题的SOLO分类结果利用散点图进行统计得到图7：

图7

对图7分析，函数与导数模块解答题第1问的SOLO层次以多点结构水平(M)和关联结构水平(R)为主，只要学生注意夯实基础，具备了函数求导和判断单调性等基础知识，不需要进行深入的关联，即可拿下第1问分数，体现高考“低起点”特点; 第2问的SOLO层次以关联结构水平(R)和拓展抽象结构水平(E)为主，题目需要学生对各条线索或综合考虑探索方向，或抽象拓展提出假设，或变形转化抓住要点，或大胆猜想严密论证才能找到解决问题的办法，体现高考“高落差”的特点.

4 分析总结和教学建议

通过对函数与导数模块高考试题的统计分析，从知识点和问题类型来看，新高考卷的函数与导数模块，一方面解答题很好地继承了全国Ⅰ卷(理)以往的考查形式和重点，保证了高考改革的平稳过渡，另一方面选择填空题又做了很好的尝试，在与其他学科或者板块知识融合领域，新情境新定义领域，充分地考查了学生的关键能力和学科素养.从SOLO分类层次的统计结果来看，函数与导数模块的选择填空题以关联结构水平考题为基准，搭配以多点结构水平和拓展抽象结构水平考题，体现了试卷搭配的合理性和层次性.2021年新高考Ⅰ卷函数选填题以一道单点结构水平考题搭配关联结构水平和拓展抽象结构水平考题，说明了函数与导数模块可以根据其他章节难易情况进行调整，使整卷的“基础性、综合性、应用性、创新性”特点更加鲜明，起到“调和剂”的功能性作用；解答题以拓展抽象结构水平考题为基准，基本处于压轴题的位置，学生在有限时间内解决此类问题的难度非常大，体现高考题目的高水平和选拔性，实现“立德树人、服务选才、引导教学”的高考目标.

基于统计结果和上述思考，对教学提出如下建议：

(1)强化四基，注重知识框架的完善

函数与导数模块中相当一部分多点结构水平考题，针对“必备知识”进行考查，对知识面提出了较高的要求.高中数学的学习，学生必须搭建完善的知识框架，强化四基，培养运用知识解决问题的能力，提升相应的学科素养，才能为大学数学的进一步学习奠定基础.

教师可以将单元整体教学融入课堂，在学生接纳知识之初就进行系统的设计，使一般性的统一观念，成为学生搭建知识框架的脉络；注重知识的延申和总结，延申是拓展和提升，总结是定位和梳理，二者结合，逐渐丰富知识框架；注重知识的应用，将所学知识融入不同板块，不同学科与不同情境，避免知识与生产生活实践的脱节，有利于构建知识模块的边界.

(2)深挖考题，强化关联点和拓展点

对于关联结构水平考题，要找准关联点展开教学.例如表2例2.3，题目中有“奇偶性”、“单调性”、“零点”三条线索，如何将这些线索关联起来？当然是“函数图象”，在得到函数f(x)的完整图象后，还要与问题不等式“xf(x-1)≥0”关联思考，确定思路方向：平移得到f(x-1)的图象或者对x-1换元求解.运用图象对条件进行关联是解决函数问题的通法，条件与问题的关联思考体现了综合法与分析法的数学基本思维方式.针对关联点的教学，可以促进知识的横向融合，形成更强的解决问题能力.

对于拓展抽象结构水平考题，要抓住拓展点进行强化训练. 例如表2例2.4，“例题具体特征”一栏简析了求切线思路中的拓展点，即“形—数—形—数”的反复转化.该题还有画切线的思路，即通过作图，发现“点(a,b)只要在y=ex图象下方且在x轴上方，即可作出两条切线”，要将这一“形”的发现转化为选项中“数”的结论，就要将“点在图象下方且在x轴上方”这一宽泛结论拓展为“点在图象上某一点的下方且在x轴上方”，才能解决问题.针对拓展点的教学，能够鼓励学生大胆尝试，勇于创新，提升学生的学科素养和理性精神.

(3)课堂建模，培养应用和创新意识

2020新高考山东卷和2021新高考Ⅱ卷都有丰富的生产生活情境问题，通过情境和情境活动两类载体实现“四层”考查内容和“四翼”考查要求.在课堂引入数学建模，搭建数学与外部世界联系的桥梁，学生在实际情境中发现问题、提出问题、分析问题、建立模型并解决问题，经历完整的数学建模，对学生应用意识和创新意识的培养具有显见的促进作用.限于时间及条件原因，高考对于数学建模的考查集中在建立模型(模型选择和模型求解)和模型应用两个环节，对数学知识的关联性和拓展性的较高要求，可以在建模课堂上逐步达到.