回归基础 找准新高考复习的着力点——从“以生为本，以学为本”设计教学

方厚石 钱 宁 董入兴

(1.金陵中学河西分校210019；2.江苏省苏州实验中学 215011；3.江苏省新海中学 222006)

2020新高考卷与2021八省高三适应性考试，让大家认识到未来的高考复习既没有考纲指导，也没有模式参照，要想学生能够适应这种新的高考要求，唯有数学教学回归本质，回归基础，落实学科核心素养，以不变应万变，学生方能在新的高考中脱颖而出.回归本质，落实素养是目的，回归基础是方式，手段，基础不等于简单，高中数学的基础是指数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，简称“四基”.回归基础就是帮助学生建构系统的、联系的知识体系，将知识与问题建立合理的联结，让学生由知识能想到问题，由问题能联系到知识.回归基础就是培养学生用数学基本思想分析和解决问题的习惯与能力，总结问题解决的基本视角.回归基础就是让学生体验不同的解题视角，在体验中学会分析、判断与选择，掌握解决数学问题的基本技能，促进学生做对、做巧，最终实现学生能力的形成与素养发展.

1 教学过程

1.1 知识与问题联结建构

师：前面我们复习了椭圆的方程与几何性质，下面我们继续研究椭圆的相关性质.

问题2：你能利用上面的结论证明PA⊥PB吗？

即kPO·kPB=-1，所以PA⊥PB.

师：生2通过“点差法”得出结论，再找kPO与kAB的关系从而证出结论.与本题相似的还有2019年全国(Ⅱ)卷21题，大家可以课后研究.关于椭圆这一性质的应用远不止此，我们继续思考下面问题.

学生能感知到，但是证明不了.

生3：由题目知直线AB斜率一定存在，令直线AB的方程为y=kx+b，联立方程

化简得b=0，所以直线过定点(0,0).

追问3：根据以上两个验证经验，你能对问题3进行证明吗？

利用韦达定理代入化简得t(t-y0+kx0)=0，对任意的k和(x0，y0)都成立，则t=0，即直线AB过定点(0,0).

师：非常了不起！生5沿着前面两个特例解决思路证明了问题3的一般性，这个化简计算量是相当大的，通过上面的证明我们可以进一步提出猜想.

师：到目前为止，我们一直在联立方程，利用韦达定理进行求解，这样做可行，但计算量大，短时间内做出来有难度.

1.2 视角与解法分析指导

追问1：根据这些条件，直线AB该怎么表示？

师：两点式找不到解题方向，不妨化简AB：(y1-y2)x-(x1-x2)y+x1y2-x2y1=0.

追问2：接下来的目标是什么？

生8：寻找(x1y2-x2y1)与(y1-y2)，(x1-x2)的关系.

x1y2-2x2y1=x1+2x2-4y1-2y2-2，

这一个式子解决不掉问题，

x2y1-2x1y2=x2+2x1-4y2-2y1-2，

师：虽然经历了很多困难，但是经过共同努力，我们从结论出发还是找到了新的问题解决突破，而且这种方法与联立方程相比，计算量减少非常明显，值得研究.

追问3：现在从结论角度来思考问题4的证明？

生9：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，P′(-x0，-y0)则AB：

(y1-y2)x-(x1-x2)y+x1y2-x2y1=0，

又(x0，y0)≠(0,0)，

生10：因为直线PA，PB都过P点，且kPA·kPB=-1，不妨把直线PA，PB看成过P斜率为k(k存在)直线的两个不同值k1和k2，把直线PA和PB抽象为y=k(x-2)+1，且k1k2=-1，令直线AB方程为y=k′x+b，

两次联立方程所得的x等价，

化简得到关于k的一元二次方程

(2b+2+4k′)k2+(4-4k′)k+b-1-2k′=0，

利用k1·k2=-1，得

求直线AB过定点，即找m与n的关系，因为x2+2y2=6，所以

[(x-2)+2]2+2[(y-1)+1]2=6，

(x-2)2+4(x-2)+4(y-1)+2(y-1)2=0，

(x-2)2+2(y-1)2+4[(x-2)+(y-1)]·

[m(x-2)+n(y-1)]=0，化简

(1+4m)(x-2)2+(2+4n)(y-1)2+4(m+n)·

(x-2)(y-1)=0，

代入lAB:m(x-2)+n(y-1)=1，

师：厉害！两位完全超出我的想象，你们能告诉我们一下你们的思路吗？

师：漂亮！2020山东这道高考题，如果解决了直线MN过定点问题，后面的问题就一目了然了.

1.3 问题与研究意识培养

问题7：经过以上学习，你能提出一个有探究意义的问题吗?

生12：若kPA+kPB=λ，则直线AB过定点.

师：好！提出一个问题比解决一个问题更有意义，这类直线过定点问题还有其它的呈现形式有待大家去探索.这一椭圆的性质虽然探究了三节课，但是仍然意犹未尽.不过通过同学们的努力学习和深入探究，我感受到大家已经具有一定的研究能力，剩下的问题将由大家独立研究完成.

课题2：请同学应用以上四种不同方法再次验证以上例子，并进行归纳、整理，形成复习专题.

2 回归基础的几个着力点

本专题围绕椭圆的一个性质复习展开，整节课围绕椭圆的一个性质展开，从性质的证明、应用到逆向思考，将椭圆性质与一类直线过定点问题建立有效联结.教学在帮助学生建构知识与问题联结的过程中，引导学生分析问题，教会学生研究问题，给学生提供充分的体验数学基本活动的机会，发展学生解决问题的基本技能，渗透数学基本思想的应用，在落实“四基”中回归基础.

2.1 回归基础知识，打通知识与问题的结点

2.2 回归基本技能，抓住技能训练的要点

当下的高中教学过于注重技能，强化机械的训练，忽视学生的思维培养，使数学育人变为数学应试，导致学生缺乏主动思考习惯与自主学习能力.要解决这个问题，需要我们正确认识数学基本技能与数学思维的关系，技能是操作层面，它关注的是“做对，做巧”的问题，是新课程标准明确提出的基本技能之一.思维是数学的本质，培养学生数学思维是数学育人的根本要求，培养数学思维就是教学生如何想，如何思，是解决学生“能不能想到”的问题.处理数学思维与基本技能的关系就是处理想与做的关系，我们要做的就是教会学生用想来指导做，在做中反思和总结想，实现思维与技能螺旋上升发展.孔夫子在2000多年前就提出“学而不思则罔，思而不学则殆”，这对我们今天谈数学思维与基本技能关系也有重要的指导价值.

本节课是解析几何性质复习，其特点就是大量数学运算，而数学运算是解决数学问题的基本手段，也是高中数学的学科核心素养，提升学生数学运算技能是实施新课程标准的基本要求.为了这一目标笔者从问题3到问题4的问题解决，一直沿着学生的思路，利用联立方程和韦达定理来解决问题，特别是问题3和问题4的一般情况证明对学生运算技能培养特别有意义，同时繁琐的计算也激发学生从内心渴望探索新的简洁方法.培养学生基本运算技能，笔者还通过多题一解和一题多解训练的策略，由于时间限制，教学中，前半部分主要突出多题一解，后半部分采用一题多解.这样不仅可以提升学生的运算能力，还促进了学生对问题的理解，增加学生数学活动的经历，为后续培养学生的分析能力与选择能力奠定基础.

2.3 回归基本思想，找准问题分析的切点

高三复习教学多以解题为主，解题教学核心任务是教会学生分析与选择.根据笔者教学经验，学生选择的依据主要源于学生的分析.一个问题，学生分析的程度决定着选择解决问题方法的角度.如何教会学生分析问题，笔者一直坚持站在数学基本思想的视角进行分析，视角与方法的区别就在于视角是方向，方法是途径，方向可能只有一个，但方法与途径可能有多个.从基本思想视角分析问题不是单纯地口头强调数学思想，更不是一节课下来总结各种数学思想，而是在问题解决过程中渗透数学思想，引导学生运用数学基本思想分析和解决问题.本节课直线过定点问题的四种方法实际上只有两个视角，即“结论视角”和“韦达定理视角”，生10、11的方法与问题3的证法本质是一致的，都是利用韦达定理.不同之处问题3的证明是从x的韦达定理，生10、11从k的韦达定理，正是这些视角的指引，学生才创造性提出问题解决的思路.当学生拿到一个问题，知道用哪些思想分析，该朝哪些角度思考，需要考虑哪些注意条件，特别是这种行为成为一种无意识的行为习惯时，学生应用数学基本思想的意识就初步形成了.本节还涉及许多数学基本思想，在此不再列举.

2.4 回归基本活动，提供方法选择的支点

前面我们谈到影响学生分析与选择的主要因素是数学基本思想，影响学生分析与选择还有一个因素也不能忽视——学生的基本活动经验.比如恒成立问题是选择分离参数还是讨论最值，不全取决于参数的系数符号，求直线问题是设点还是设斜率等很多问题都没有固定的判断标准，这时基本活动经验对学生而言是最直接，最可靠的分析与选择依据.因此，高三复习要尽可能给学生创造体验数学学习活动的经历.本节复习除了学生课后自主进行的大量研究外，笔者花了三个多课时，其目的就是尽可能地为学生提供参与和体验数学研究活动的机会.当然，给学生创造体验活动机会不是放任学生学习，也不是学生独自学习，这需要教师设计学习任务，指导学生研究，帮助学生解决困难，在问题研究与解决的过程中放手让学生实践.比如本节课的问题1，问题2，问题3的追问1等等，特别是最后的两个任务把问题设计为课题，把作业变为研究，弥补课堂空间不足，充分引导学生自主学习，亲历数学研究过程，在经历中感受各个视角的差异，比较优劣，促进学生选择能力的形成.同时也把学生推到复习的前沿，让学生成为复习教学的主体，变被动为主动，变备考为应考.