论数学实验在解题中的应用及能力培养①——以2020年北京高考试题为例

郝进宏 唐绍友

(1.北京市第一五六中学 100034；2. 北京市第四中学 100034)

近年来，北京高考正逐年加重对数学实验的考查，尤其是2020年高考，在题目数量以及考查形式上达到新的高度，2020年北京高考数学试题中的(6)、(8)、(10)、(14)、(19)、(21)等6道题在求解过程中，可以借助数学实验的手段获取解决思路，因此研究数学实验在解题中的应用以及探究提升数学实验能力的途径具有重要意义.

1 对数学实验的认识

何为实验？现代汉语词典有解释：为了检验某种科学理论或假设而进行某种操作或从事某种活动.按照这个意义可以描述数学实验的含义：为了检验数学理论或假设而进行的数学活动，数学教育家G·波利亚认为数学实验是学好数学的一种重要途径，他指出：“ 数学有两个侧面, 一方面它是欧几里得式的严谨科学, 从这个方面看, 数学像是一门系统的演绎科学, 但另一方面, 创造过程中的数学，看起来却像是一门试验性的归纳科学”.[1]所以，从第二个侧面来看，数学也是一门实验科学.我们在高中数学教学中看到：有诸多课题的发现与验证可以用实验操作，一些问题的解决也可以用实验作“催化剂”.数学中的实验与其他的科学实验有区别.其他科学实验需用药品、容器、机械等器材，而数学实验未必都是. 数学实验不仅需要动手，也需动脑，还可以借助计算机.因此，数学实验分为两类：操作实验和思维实验.操作实验按以下模式进行：实例出发→在计算机上实验→发现其中的规律→提出猜想→验证猜想. 思维实验的模式是：问题→取特例研究→发现结论→严格论证. 不论从哪种实验模式来看，都渗透着浓厚的数学研究的思想方法. 在实验中，学生亲自参与探究，经过自主的思维活动而获得了新的发现，无不体验到成功的喜悦. 因此，应该让数学实验成为数学学习的必要手段之一. 在此，我们重点研究第二种模式在解决数学问题中的应用.

2 数学实验在解题中的重要作用

在教学中经常看到下列两种现象：一是学生在解决数学问题的过程中，半途而废，中途解题受阻，对自己的解题思路持怀疑态度，没有自信，从而放弃；二是找不到解决问题的突破口，不知从哪里入手.出现这两种现象的主要原因之一就是对题设条件和结论的分析不足，可能是条件和结论比较抽象，理解很困难，同时还缺少了对条件所产生结论的预测，这样就会导致解题受阻.实际上，可以做一些数学实验，可以让抽象的条件和结论直观起来，可以发现数学结论，这样让人受到启发，从而获得解题思路.

2.1 数学实验是去伪存真的重要手段

对于一些可“操作”的数学问题，教师可以引导学生按照题目要求进行数学实验，通过简单的举例、排除逐步使得问题清晰化、条理化进而加深对问题本质的理解，从而使得解题路径自然显现.尤其是对于一些真假混合的命题需要判断时，可以通过数学实验否定一些命题，排除一些假命题，从而发现真命题，通过数学实验可以提高解题效率. 所以数学实验是去伪存真的重要手段.

例1(2020年北京高考第10题)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day).历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值. 按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达方式是( ).

分析此题将中国古代优秀文化与世界优秀文化有机融合，不仅让学生感受到中国文化的博大精深，更让学生感知到中西文化的相通相融，试题素材既丰富多彩，又符合时代精神.但是由于考查知识种类多、数学能力要求高，所以求解困难比较大. 如果学生在平常学习过程中，遇到实际问题具有较强的数学实验意识、养成良好的数学实验习惯，那么就可以尝试取n=1进行实验，对B、C、D三项对应的答案进行估值验算，发现他们的值远远超过了圆周率的取值范围，因此通过排除法选出正确答案A. 如果按这样的策略，那么此题就是简单问题了.

类似的解题策略在2016年北京高考理科第8题就曾出现过，例题如下：

例2(2016年北京高考理科第8题)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ).

(A)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

(B)乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

(C)乙盒中红球不多于丙盒中红球

(D)乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

分析这道高考题主要考查学生的推理论证能力，不过需要建立方程去分析解决问题，中学生在这方面的能力较弱，但是如果通过数学实验去伪存真，解题效率就提高了. 我们可以从最简单的情形一个红球和一个黑球开始实验，如果放入甲盒的是红球，则乙盒中就是黑球， 那么A、D选项错误. 现在假设两个红球和两个黑球，第一次取出的是两个红球，则甲乙盒中各一个红球，第二次取出两个黑球，则甲丙盒中各一个黑球，最后的结果是甲盒有一个红球和一个黑球、乙盒有一个红球、丙盒有一个黑球，因此选项C错.

2.2 数学实验是归纳总结的主要思路

对于一些数学问题，我们可以尝试通过数学实验去发现问题的规律，进而获取归纳总结的思路和灵感，也许我们就能找到正确的解题方法.值得一提的是，通过数学实验得到的结论未必是真命题，还必须通过严格的证明，才能成为真命题.特别是在解决某些数列问题时，通过实验可以发现数列的规律性，从而为我们获得正确思路提供启发的线索.

例3(2020年北京高考第8题)在等差数列{an}中，a1=-9，a5=-1，记Tn=a1a2…an(n=1,2,…)，则数列{Tn}________.

(A)有最大项，有最小项

(B)有最大项，无最小项

(C)无最大项，有最小项

(D)无最大项，无最小项

分析此题有一个比较低效的方法，就是先求出通项公式再求出Tn的表达式，将Tn作为新的数列然后从表达式出发分析求出最大项和最小项，可是求数列最大项和最小项不是我们的教学重点且计算量比较大，学生求解比较困难. 如果采用数学实验的方法就会事半功倍. 首先通过计算可观察到T5及之后的值都是负的，而且绝对值越来越大，所以不会存在最小值，最大值只可能在正数中取得. 其次，再观察比较T1,T2,T3,T4,发现T2，T4是正的，经过计算T4最大.

分析这道题的解决策略是：通过计算求出前面几项依次为a1=f(1)+f(2)=-2,a2=f(2)+f(3)=-2,a3=f(3)+f(4)=4,a4=f(4)+f(5)=4,a5=f(5)+f(6)=-6,a6=-6,…于是得到数列{an}：-2,-2,4,4,-6,-6,8,8,-10,-10,12,12,…，我们发现“连续四项相加的和为定值”的分布规律，进而归纳找出求解办法，即从第一项开始，每四项为一组，每组和为4，共25组，最后和为100.

数列的规律性是其主要研究内容，由于数列是一类特殊的离散型函数，所以列举、归纳是解决数列问题的简单实用方法，而归纳举例本身就是数学实验的重要组成部分.如果要追求严格的解答过程，还必须进行如下证明：当n=4k+1(k∈N)时，an=f(4k+1)+f(4k+2)=(4k+1)·

2.3 数学实验是求次优解的重要方法

对于一些无法用系统、一般方法解决的问题，数学实验也是研究该类问题的重要方法，实际上高中教材充分重视数学实验在这方面的应用.利用二分法求解函数零点就是很好的例证，函数零点精确值无法求出，通过二分法就可以有序求出满足所需精度要求的零点的近似值.数学史上很多的近似求解都是基于这样的想法，比如圆周率的近似求解和积分、极限的逼近. 因此当问题的精确结论无法求解或者暂时不知如何解决时，退一步，数学实验是探究次优解的重要方法.

例5(2020年北京高考第6题)已知函数f(x)=2x-x-1，则不等式f(x)>0的解集是( ).

(A)(-1,1) (B)(-∞,-1)∪(1,+∞)

(C)(0,1) (D)(-∞,0)∪(1,+∞)

分析高中阶段能够求解的不等式主要有二次不等式、简单的指对型不等式等，求解的基本策略是求出对应函数的零点、再结合函数单调性或图象来解决问题. 对于此题，要求函数f(x)=2x-x-1的零点，即解方程2x=x+1，这是一个超越方程，方程的实根不能直接求出.此时我们借助数学实验来寻找该方程的根，尝试将x=1，x=0代入方程2x=x+1，发现这两个值正好满足方程. 由函数零点、方程的根以及不等式的解的关系可知不等式f(x)>0的解以x=1，x=0为边界，所以结果锁定在C、D之间. 二者要想进行取舍，还需进一步进行数学实验，因为f(2)=1>0，所以x=2满足不等式，因此选项D为正确答案.

2.4 数学实验是优化解题的重要方式

在解决问题的过程中遇到障碍，无法进行下一步时，可以考虑数学实验能否发现问题结论或其他隐含信息.因为数学实验对于寻找问题结论、进行等价转化有着重要作用. 如果在计算和证明之前，通过数学实验了解特殊情形所蕴含的结论，对于优化解题方法、提高解题效率具有积极的意义.

(I)求椭圆C的方程;

2.5 数学实验是理解概念的重要途径

一个比较抽象难题的解决是比较困难的，难在对抽象信息的理解，而通过数学实验的手段，构造特例验证，从而可以看到抽象的背后，见到直观的特征，为我们提供成功解决的催化剂.北京高考压轴题常常是这样的问题，一般设计3个问题，第一问的设计意图往往是让学生通过实验，逐步理解数学概念或条件，慢慢深入理解问题本质，从而发现后续问题解决需要的线索.

例7(2020年北京高考第21题)已知{an}是无穷数列，给出两个性质：

(I)若an=n(n=1,2,…),判断{an}是否满足性质①，说明理由：

(II)若an=2n-1(n=1,2,…)，判断数列{an}是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(III)若{an}是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{an}为等比数列.

3 提升学生数学实验能力的途径

上面我们谈到数学实验对于去伪存真、发现规律、求近似解、优化方法和巩固概念有着重要作用，那么接下来就是在中学数学教育中如何提升学生数学实验的能力.

3.1 形成数学实验意识

数学实验是数学学科的一种素养，首先教师要具有数学实验的意识，在实施高中数学教学的时候，教师要在适宜的原则指导下，灵活地应用数学实验创设教学情境，辅助学生探究新知，引导学生拓展数学，在丰富数学教学方式的基础上提升数学教学效果. 其次，教师要引导学生在实验操作过程中形成形象思考，在形象思考的基础上运用数学思维去加工所学习的对象，最终再将具体问题抽象概括形成自己对问题的理解，通过有计划地培养使学生体会数学实验的价值，慢慢形成数学实验的意识.

3.2 养成数学实验习惯

在平常的教学过程中要重视数学实验习惯的养成训练，讲授新知和解题训练都是很好的训练途径.比如高一幂指对函数的学习，教师应该鼓励学生敢于描点作图，然后从图象中去提炼函数的性质、去总结研究函数图象及性质的一般思路. 比如在解决导数问题时，是否进行不等式变形、是否进行参变分离，都要提前试一试，根据构造函数类型以及导函数简易程度来进行取舍.

同时，对于一些特定的数学内容以及一些专有问题，利用数学实验去发现数学结论、获取数学问题思路、优化解题方法都是不错的选择，比如数列、新概念新题型等.

数学实验对于学习数学的价值在于每一个水平层次的学生都可以尝试，都可以在自己原有基础上获得提升，这种尝试本身就是学习者应该具有的一种品质. 通过实施数学实验，学生在动手做、动手算的过程中就会动脑思考，用自己的大脑去感知这些数学实验的对象，去体会他们的内涵以及内在联系，进而再用数学思维去构思，就可以赋予抽象的数学知识以形象的载体，从而更加有利于大多数学生学好数学.

3.3 利用实验进行自检

自检是发现错误的重要环节，在做完一个问题之后，可以通过实验方法发现自己的错误，比如在求出数列通项前n项和之后，可以验证n=1,2,3,4时，通项公式与求和公式是否成立.进行代数式变形时，可以取几个特殊值进行实验，可以发现是否为恒等变形. 在遇到似是而非的问题时，可以从实验出发，澄清事实，纠正错误.比如函数y=f(x-a)与函数y=f(a-x)的图象是关于直线x=a对称，还是关于直线x=0对称？如果没有把握判断是非，可以举例进行实验，发现两个函数图象关于直线x=a对称，然后再进行严格证明，这样不仅矫正了错误，而且加深了对问题的理解.

3.4 既要实验，又要证明

在数学学习中常出现实验的负迁移：学生通过数学实验发现了数学结论，认为就是真命题，以实验代替论证，这样给学生带来了学习数学的消极影响.所以在教学中非常有必要通过举例说明数学实验的结论可能出现错误，暴露实验的缺陷，以此让学生理解证明的必要性，让学生明白“既要实验，又要证明”是解决数学问题的主流方法，正如波利亚说：“既教猜想，又教证明”，这正是数学教育追求的目标之一.

因此，我们用好数学实验这个武器，鼓励学生去试试数学，在进行数学实验的过程中建立学生学习数学的信心、激发学生学习数学的兴趣、进而去掌握学习数学的方法，这样才能让更多的学生喜欢数学、学习数学，最终才能更好地促进整个民族数学水平的共同提高.