核心素养指向的数学作业设计①

喻 平

(南京师范大学数学科学学院 210046)

从教材看，作业是其内容的重要组成部分；从教学看，作业是其活动的基本运行环节.与其他学科相比，数学学科的作业尤其多，这是由数学学科概念多、命题多、方法多、应用多等特性决定的.因此，研究这具有“四多”的数学作业设计是教师必须要做的工作，特别是在新课改背景下，教师应当对数学作业会在哪些方面发生变化有清晰地认识，更应当开展如何应对新课程的数学作业设计.

1 数学作业设计的原则

目标性原则.目标性原则指要紧密围绕课程教学目标来设计作业.课程目标是教学追求的目的和归宿，教学设计、教学实施与课程目标的一致性程度是判断教学是否有效的标准，作为教学过程的基本组成部分，作业的设计当然只能围绕实现课程目标来开展.

长期以来，中学数学作业设计受到中考、高考命题思路的牵制，教师关注的是考试大纲，大纲之外的内容被淡化甚至抛弃.2018年，《普通高中课程方案(2017年版)》(以下简称《课程标准2017》)出台，事实上就取消了考试大纲.2019年，《教育部关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》颁布，文中明确提出“取消初中学业水平考试大纲，严格依据义务教育课程标准命题，不得超标命题.”这些文件的颁发或许会使“考试指挥教学”的本未倒置现象得到扭转.新课程教学目标清晰地指向发展学生的核心素养，整个教学过程要围绕如何实现这个目标开展，数学作业的设计和实施当然不能例外.基本的作法就是要摈弃过分注重基础性作业的惯习，将实践性、应用性、探究性作业等纳入作业范畴.因为，单纯的基础性作业达不到培养学生高水平核心素养的目标.

评价性原则.评价性原则指要严格参照学业评价体系来设计作业.《课程标准(2017)》对6个数学核心素养做了三级水平划分，并对每一个水平的具体涵义与操作做了细致地描述，这个水平划分框架是数学作业设计的依据[1].

日常教学的作业与考试评价的功能不完全相同，作业是训练，考试是检验；作业没有限定完成时间，考试限定了完成时间.毫无疑问，考试命题必须按照核心素养水平划分框架来设计，对一套试题中各个水平的题量要有精确的界定，但是作业的设计则不一定完全严格地框定各个水平题目所占的比例.尽管如此，设计作业时还是必须明确题目编制的具体目标，明确题目是训练学生的何种关键能力.因此，作业设计与课程标准中学业质量评价的框架是对应关系，不能脱离课程标准而漫无边际地设计作业.作为教师，要认真学习课程标准，精准理解学业质量水平的涵义和操作性定义，这样才能设计有针对性的、合理的数学作业.

平衡性原则.平衡性原则指要合理平衡促进知识理解和发展关键能力两类作业的权重来设计作业.一般说来，基础性作业的功能是促进学生对知识的理解和知识的巩固，在较低水平上训练学生的数学学科核心素养；综合性、探究性作业的功能是培养学生的思维与能力发展，在较高水平上训练学生的数学学科核心素养.

既然不同类型的作业在培养学生核心素养的方面扮演着不同的角色，那么就必须考虑不同类型作业在设计时的权重问题.学生每天都要完成一套作业，在设计时要考虑作业类型的比例.一方面，模仿性、重复性、记忆性等基础性作业应当有所减少，适当增加探究性、综合性、实践性作业，提高这类作业在总量上的比例；另一方面，还要控制一套作业中训练核心素养不同水平的作业比例.难度小的作业太多，高水平的核心素养得不到发展；难度大的作业太多，学生难以完成，同样达不到提升数学核心素养的目的.如何平衡知识掌握与能力发展之间的权重，在作业设计中显得十分重要.

补充性原则.补充性原则指在充分尊重教科书中已有习题的基础上，适当补充作业，而不是将教材上习题删减之后重新设计.在习题设计方面，新教材已经有了较大的改革，栏目的设定上体现了类型不同的问题，考查不同核心素养水平的思路也有所体现.例如，人教版普通高中教科书数学必修第一册(A版)(下面简称“人教版教材”)中将习题分为练习、习题、复习题，在习题和复习题中又设置复习巩固、综合运用、拓广探索三个栏目[2]，对核心素养水平的要求逐级提升，层次分明.沪教版普通高中数学教科书(下面简称“沪教版教材”)将习题分为练习、习题、复习题，在习题中又分为A组与B组两个层次，在复习题中除了A组与B组两个层次外，还有一个“拓展与思考”栏目[3]，各种类型题目反映出对数学学科核心素养的不同水平要求.

一般说来，教科书上的习题是必须要求学生完成的，这是保障实现教学目标的底线.但是，现实情况是教科书上的习题不能满足升学考试的需求，教师会补充大量的习题，特别是在应对中考和高考的总复习阶段，会出现“题海训练”的实况.如何消解这种非正常的数学教育现象，这是另外一个话题，在这里只是想强调教师应当充分关注和研究教科书中的习题.建议教师从两个方面研究教科书中的习题：一是教师在独立解答完成习题的基础上，对章节的习题作一个全面分析，包括考察习题的类型、习题中训练不同核心素养的题目占总量的比例、习题中涉及的核心素养水平的分布等基本参数是否合理.如果在这三个方面存在某些缺陷，就应当补充适当的习题使作业体系合理化；二是对教材中一些题目进行恰当的改造，包括对题目的变式、推广，将封闭性问题改造为开放性问题.

2 数学作业设计的类型

现代汉语词典把作业定义为：教师给学生布置的功课[4].这个定义有狭义的一面，将作业限定为教师给学生安排的任务，忽视了“生主型作业”样态.“生主型作业”指学生在教师的指导和帮助下，自我激发作业动机，在一定范围内自我选择作业内容、自我设计作业方法、自我安排作业时间、自我评价作业效果的一种作业模式[5].另一方面，这个定义又有广义的一面，“功课”是比较宽泛的概念，它可以涵盖多种学习内容.反观传统意义上的数学作业概念，显现的是窄化的理解，把数学作业圈定在解答习题范畴.而且，就习题的设计来看，也多是定位在基础知识理解、基本技能形成的“双基”层面，习题中迁移应用类题目稀少，探究类题目更是鲜见.

2019年，中共中央、国务院印发的《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》指出：“促进学生完成好基础性作业，强化实践性作业，探索弹性作业和跨学科作业，不断提高作业设计质量”.同年，国务院办公厅印发的《关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》提出：“提高作业设计质量，精心设计基础性作业，适当增加探究性、实践性、综合性作业.”《课程标准(2017)》指出：“应开发一些具有应用性、开放性、探索性的问题，解决这样的问题有助于学生数学学科核心素养的提升.”[1]综合这三个文件的基本论述，可以看到国家层面对作业设计的高度重视，而且对作业类型作出了精细阐述，从而为作业的研究指明了方向.

结合上述文件，可以把数学作业划分为三种形式和四种类型.三种形式包括阅读作业、习题作业、写作作业.四种类型包括基础类、综合类、探究类、实践类.下面对四种类型作业作解读，并将三种形式嵌入其中.

(1)基础类.基础类作业指以促进学生对知识的理解、知识的简单应用和知识的巩固为目标的作业类型.阅读作业方面表现为课前预习阅读教材，课后复习阅读教材.习题作业方面表现为对概念、定理、规则的理解和简单应用，使用单一的概念或规则解决问题，使用多个知识点或多种规则解决难度一般的综合性问题.写作作业方面表现为写数学日记，要求学生写出自己今天学习新知识的感想或认识.基础类作业的指向主要是针对核心素养的一级水平.基础类作业可在新授课的课前、课中和课后安排，以课后作业为主要形式.

在传统的教科书中，由于受到“知识本位”的观念影响，基础类作业容量显得过于庞杂.核心素养指向的作业设计，应当考虑优化基础类作业，题目的数量应适当减少，质量则应有所提升.

(2)综合类.综合类作业指训练学生知识迁移能力和解决综合性问题为目标的作业类型.阅读作业方面表现为阅读数学课外读物，如数学文化作品、数学史、数学科普作品等.习题作业方面表现为解决知识迁移问题，即将数学知识迁移到现实情境、科学情境中去解决问题，数学建模是常见的题型.当然也包括数学自身内部的不同情境之间的知识迁移问题，比如需要利用多种知识或方法才能解决的综合性问题，属于数学内部的知识迁移.写作作业方面表现为撰写研究报告，例如，撰写使用数学建模方法解决现实问题的研究报告.综合性作业的指向主要针对核心素养的二级或三级水平.综合类作业可以在练习课或复习课安排，以课后作业为主要形式.

在传统教科书中，不乏综合类作业，但是大多是在数学情境中的综合，将知识迁移到其他领域的问题并不多.核心素养指向的作业设计，应该考虑将知识迁移类问题特别是数学建模问题适量纳入作业体系.

(3)探究类.探究类作业指训练学生解决结构不良问题、探究新问题从而提高知识创新能力为目标的作业类型.在习题作业方面表现为解决条件不充分或条件冗余或结论不唯一的开放性问题，解决将题目进行变式或推广去发现新结论的问题.写作作业方面表现为撰写数学小论文.探究性作业的指向主要针对核心素养的三级水平.探究类作业可以在练习课或复习课安排，以课后作业为主要形式.

探究类作业在传统教科书中极为稀少，这类作业需要在新教学中得到重构.

(4)实践类.实践类作业指训练学生综合实践能力为目标的作业类型.在习题作业方面表现为通过数学实验去发现或验证数学结论，实地测量感受数学在现实生活中的应用，对现实社会中的一些现象作调查研究等.写作作业方面表现为撰写实验报告或调查报告.实践性作业涉及的核心素养可能是一级水平、二级水平或三级水平.实践类作业在新授课或综合与实践课安排.

实践类作业不是作业的主流形式，但是，它对培养学生的实践能力有独特功能，因而又是一种不可缺少的作业类型.

表1给出了数学作业类型与形式的二维结构，可以给数学作业设计提供一个参考框架.

表1 数学作业类型与形式的二维结构

从表1中可以看到，基础类、综合类、探究类是数学作业的主要类型，基础类对应掌握知识，综合类对应应用知识，探究类对应创新知识.由于三种类别的作业有不同的功能，对应的核心素养水平由前向后逐步进阶.因此，在进行作业设计时就应当考虑三类作业在作业体系中的比例，总体控制在5∶3∶2或5∶4∶1比较恰当.当然，由于教科书中各章的内容有自身的特点，三类作业在各章中的比例不一定要求均衡.

3 数学作业设计的途径

3.1 基础类作业设计

基础类作业设计主要依托教科书，教科书中的练习题、基础类习题.例如，人教版教材中的练习以及习题中的“复习巩固”栏目，沪教版教材中的A组习题，基本上都属于基础类作业.但是，教师在做教学设计时，也要考虑习题的设计，主要应思考下面两个问题.

第一，要把数学阅读作为日常的数学作业.新授课之前，要求学生阅读教科书，对新知识进行预习，课堂教学结束后，做作业之前要再一次阅读教科书，加深对新知识的理解.总之，要让学生养成阅读教科书的习惯.此外，尽量鼓励学生写数学日记，培养学生的反思性思维.

第二，要对每个习题作分析.主要分析两个问题：该题目主要训练什么数学核心素养？属于核心素养的几级水平？第一个问题相对容易，按照课程标准对6个数学核心素养的定义即可确定题目涉及的数学核心素养要素.当然，一道题目涉及的核心素养往往不是唯一的，在分析时要找出与此相关的核心素养并确定主次关系.第二个问题可以参照课程标准中关于三级水平划分的操作性定义，确定题目中何种素养达到何种水平.

《课程标准(2017)》对数学核心素养的三级水平划分非常细致，但是这些指标在实践中显得有些繁琐，不太容易把握.建议教师采用并不与课程标准相左但更容易操作的另一个框架来确定核心素养的水平[6].

首先，确定题目涉及的数学核心素养.其次，对照表2确定各种素养的水平.

表2 数学核心素养对应的水平描述

在设计基础类作业时，可以对一章或一个单元的习题列一表(见表3)，从而对全章的习题有一个大概的了解，把握本章或本单元的习题涉及哪些数学核心素养，这些核心素养的训练要达到什么水平，在此基础上再来考虑本章或本单元的作业是否需要添补或对一些题目进行改造.

表3 某章节习题涉及的数学核心素养及水平

例人教版教材必修第一册习题5.5第18题[2].

观察以下各等式：

分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.

其一，这道习题要求学生能够从数学情境中抽象出比较复杂的数学问题(结构)，考察的是数学抽象，对照表2，可以判定属于数学抽象2级水平.其二，要求对得到的数学问题进行论证，考察的是逻辑推理，对照表2，逻辑推理属于2级水平.要注意的是，整个论证其实也是数学运算过程，但数学运算的本质是使用规则进行推理，因此，本题的数学运算成分不予考虑，只考虑逻辑推理.

3.2 综合类作业设计

在新的教科书中，综合类作业有很好的体现.例如，人教版教材习题中的“综合运用”栏目、“拓广探索”栏目中的部分习题均属于综合类作业.沪教版教材的B组习题中部分题目、“拓展与思考”中的部分题目属于综合类作业.

与基础类作业设计一样，还是应当对每个习题作分析.主要解决两个问题：确定该题目主要训练什么数学核心素养(参考课程标准)，确定该题目考察数学核心素养的几级水平(参考本文表2).对一个章节的习题综合类作业作分析，考察数学核心素养分布是否全面，核心素养的水平分布是否合理，然后对不合理的地方进行修正和增补.

综合类作业的核心是两个问题：

(1)知识的迁移应用.知识的迁移应用主要表现形式是数学建模.传统的应用题是不是数学建模？表面上看确实是用数学模型解决问题，但是，这类问题多是模拟性、仿真性、人造性的知识应用.首先，从这些应用题的情境设计来看，许多应用题或者是情境不真实，或者是在现实中不可能发生的事情，或者情境与问题的关联性不大.因此，这类问题并不是将数学知识迁移到现实情境中去解决问题，不能算作数学的应用.其次，这类问题的条件明确、充分，解题的任务是建立方程或函数，整个过程有数学建模的因素，但是，它与数学建模有很大的差异.数学建模是要求学生对情境进行分析，自己确定问题满足的条件，自己选择数学模型，自己设计算法，并且还要对建立的模型进行验证、修正和完善.可以看出，解答传统的应用问题不能或者至少不能完全归入数学建模范畴.

在设计知识迁移应用作业时，要强调问题情境的真实性，突出情境与问题的关联性，还可以体现情境的情节性，即把情境设计成一个故事，甚至可以考虑将品格与价值观的教育元素渗透到故事中去，通过数学作业对学生进行品格教育.如果是数学建模问题，则要展现建模过程的完整性和规范性.

例(2021年八省联考数学卷第20题)北京大兴国际机场(如图1)的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零, 多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π/3，所以正四面体在各顶点的曲率为2π-3×π/3=π，故其总曲率为4π.(1)求四棱锥的总曲率.(2)若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2，证明：这类多面体的总曲率是常数.

图1

其实，这是一道很好的探究类问题，可以精准地考查学生的数学抽象和逻辑推理能力水平.但是，这道题目不属于知识应用(综合类)的问题，因为这个情境与解决问题过程没有实质的关联性.

(2)知识的综合应用.知识的综合应用指解决问题需要用到多个知识点或多种规则或多种方法，这些知识或规则可能来自数学理论体系中的不同结构.例如，用代数方法解决几何问题，用方程理论解决三角恒等式问题等.其实，知识综合应用可以视为数学内部知识或方法的迁移应用，同样反映出知识或方法迁移的通性.

知识综合应用的作业设计，要强调两点：

第一，不要一味追求题目的高难度，要在一定程度上消除过分强调技能技巧的倾向，注重通性通法.例如，①二次曲线的中点弦问题；②二次曲线一组平行弦的中点轨迹问题；③二次曲线的弦长问题.这三类问题的通性是“二次曲线”以及“与中点相关”，通法就是“韦达定理”.因此，用数学思想方法串联题目来组成题组，是一种行之有效的综合类作业设计方式.

第二，为了能够使知识得到迁移，可以设计一些完善学生认识结构的题目.认知心理学的迁移理论强调个体认知结构的作用，完备的、优良的认知结构有助于知识的迁移应用.而完善认知结构并不是课堂教学能够完全解决的问题，数学作业在其中起着举足轻重的作用.按照奥苏伯尔的解释，认知结构就是内化的知识结构，那么就可以通过对知识结构的优化来发展学生的认知结构.例如，如何证明两直线垂直？这个问题涉及平面几何、立体几何、解析几何、向量等领域里的若干定理，可以让学生围绕这个问题，用概念图的形式将这些定理联系起来，并解析这些定理之间的联系，将一幅完整的知识图内化于个体头脑便形成“两直线垂直判定”的优良认知结构(CPFS结构).

3.3 探究类作业设计

在数学作业中，探究类作业不宜太多但不能太少甚至完全没有.从出版的新教科书来看，人教版教材习题中“拓广探索”栏目的部分习题属于探究类作业；沪教版教材B组习题中的部分题目、复习题中“拓展与思考”栏目的部分题目属于探究类作业.总体而言，还是感觉探究类作业偏少，特别是缺乏开放性问题.由于探究性作业多是指向核心素养的三级水平，缺少这类作业的训练，学生的数学核心素养水平难以拔高，因此在作业设计时，需对这类问题进行适当的补充.

探究性作业设计，可以考虑下面几种做法.

(1)将探究性作业与对教科书或教辅资料的题目改造联系起来.可以将某些封闭性问题改造为开放性问题；将某些特殊性问题推广为一般性问题；将某些问题进行变式产生出新的问题等等[7].一般可以考虑在原题后面增加一个探究性问题.

例人教版教材必修第一册习题8.5第9题[2].

如图2，E，E′分别为长方体ABCD-A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中点，求证∠BEC=∠B′E′C′.

图2

在这道题目的后面可以增加两个问题：

问题1：如果E，E′分别为长方体ABCD-A′B′C′D′的棱AD，A′D′的三等分点，

求证∠BEC=∠B′E′C′.

问题2：由以上两个问题的启示，你还能提出什么问题？请解决你提出的问题.

(2)将探究性作业与探究性课堂教学联系起来.课堂中讲授的知识都有来龙去脉，“来龙”揭示知识产生的来源和缘由，“去脉”指出知识可能生长的方向和路径，因此，一堂课总有问题探究的空间.例如，人教版教材数学必修第一册3.2“函数的单调性”一节，在学习了函数的单调性概念之后，在“思考”栏目设计了两个问题[2]：

①设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1，x2∈A，当x1

②函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？

另一种情况，课堂教学就是在进行探究性教学，但教师并不把探究的完整结果展现出来，保留一些可以继续探究的空间，以作业形式让学生在课后探索，即把探究性作业作为课堂中探究过程的延续.

例通过下面题目的解答，探究解决这类问题的通法.

①设奇函数f(x)是R上的可导函数，当x>0 时有f′(x)+cosx<0 ，则当x≤0时，f(x)+sinx≥f(0).

解析：联想[f(x)+sinx]′=f′(x)+cosx，可设g(x)=f(x)+sinx.则g(x)在(0，+∞)内是减函数.又因为f(x)为奇函数，所以g(x)也是奇函数.故当x≤0时，g(x)≥g(0)，即f(x)+sinx≥f(0)+sin 0=f(0).

②定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足xf′(x)-1<0，且f(1)=1，则不等式f(2x-1)>ln (2x-1)+1的解集是.

在解答这些问题之后，归纳出这类题目可以构造y=[f(x)±g(x)]型可导函数模型.

作业：探究哪些题型可以构造y=f(x)·g(x)型可导函数模型.

(3)将探究性作业与学生数学写作联系起来.在完成探究性作业之后，可以鼓励学生进行小论文写作.题材、形式多样化，可以是一道题目的多种解答、学习新知识的体会与联想、数学知识在现实生活中的应用、题目的推广、题目的变式、问题解决的探究过程、问题发现的过程描述、对数学文化的理解等等.例如，上例的作业“探究哪些题型可以构造y=f(x)g(x)型可导函数模型”，在完成探究之后，让学生将探究过程写成一篇小论文.

探究性作业是传统数学作业中最缺失的一个部分，理论研究尚不深入，实践层面也尝试不多，因而需要广大教师对这个问题开展全面深入的研究.

3.4 实践类作业设计

虽然实践类作业在数学作业体系中的占比不高，但它对数学作业形态的完备性是不可缺少的组成部分.长期以来，数学教科书中的内容基本上是学科的理论知识，与实践相关的内容寥寥无几.反映出学生学了数学知识但解决与数学相关的现实问题的能力低下，更严重的问题是这样一种在学习内容与现实世界之间建立围墙的作法，事实上切断了从理论思维到实践思维发展的通路，学生不会用数学的眼光看待世界，不会用数学的思维分析世界，不会用数学的语言表达世界，这样的结果，显然与发展学生数学学科核心素养的宗旨背道而驰.实践类作业的作用，就是要破除这道围墙，使学生的思维从狭窄走向开阔.

《课程标准(2017)》把课程内容分为五个主题，其中主题五为数学建模活动与数学探究活动，这就把实践类作业纳入到课程体系之中.对数学建模的描述为：“在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型，确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题.”[1]而且，将数学建模活动与数学探究活动与课题研究结合起来，课题研究包括选题、开题、做题、结题四个环节.显然，这就是典型的实践类作业.

实践类作业与数学建模密切相关，如果是通过文本阅读方式进行数学建模，那么这类作业既可以归入综合类作业，也可归入实践类作业；让学生走进社会，在实际情境中选题，完成课题研究，这就是实践类作业.无论是哪种情况，在实践类作业设计时都要求情境必须真实，必须让学生经历数学建模的整个探究过程，课题研究必须要求学生完成四个基本环节.